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MATLAB Comandos Básicos. Introdução Desenvolvido inicialmente na década de 70 nas Universidades do Novo México e Stanford. Destinado a princípio a cursos.

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1 MATLAB Comandos Básicos

2 Introdução Desenvolvido inicialmente na década de 70 nas Universidades do Novo México e Stanford. Destinado a princípio a cursos de teoria matricial, álgebra linear e análise numérica. Voltado basicamente para matemática numérica. Possui várias ferramentas para aplicação em diversas áreas do conhecimento.

3 Prompt de Comando Ao iniciarmos o MATLAB a tela abaixo aparece em conjunto com o símbolo >> indicando que o software está pronto para receber comandos: To get started, select "MATLAB Help" from the Help menu. >>

4 Operações Básicas Adição+ Subtração– Multiplicação* Divisão/ ou \ Potenciação^

5 Cálculo de Expressões Numéricas Ao digitarmos a expressão abaixo seguida da tecla : >> 12/2+3*(2^4) Teremos a resposta: ans = 54

6 Variáveis Podemos armazenar valores em variáveis no MATLAB. Variáveis devem ter um nome único, começando com uma letra e podem conter dígitos ou o símbolo _ (underline). O MATLAB distingüe letras maísculas de minúsculas.

7 Exemplos de variáveis >> distancia = 100 distancia = 100 >> tempo = 3 tempo = 3 >> velocidade_media = distancia / tempo velocidade_media =

8 Variáveis Note que ao digitarmos o nome da variável, o símbolo = e o seu valor o matlab armazena a variável e a apresenta na tela. Para suprimir a exibição da variável adicionamos um ponto-e-vírgula ao final do comando. Quando criamos uma expressão e não a armazenamos em uma variável o matlab a salva automaticamente na variável ans.

9 Variáveis O comando who mostra todas as variáveis armazenadas durante uma sessão do MATLAB. >> who Your variables are: ans tempo distancia velocidade_media

10 Variáveis O comando clear apaga uma ou mais variáveis. >> clear tempo Apaga somente a variável tempo. >> clear velocidade_media distancia Apaga as variáveis velocidade_média e distancia. >> clear Apaga TODAS as variáveis da sessão.

11 Salvando Sessões Para salvar uma sessão do MATLAB, vá no menu File e escolha a opção Save Workspace As. Escolha uma pasta e um nome para o arquivo e clique em salvar. Para abrir uma sessão salva anteriormente escolha novamente o menu File e vá na opção Open. Escolha a pasta onde se encontra o arquivo, selecione o arquivo e clique em Abrir.

12 Recuperando Comandos Para evitar redigitação, o Matlab armazena todos os comandos do usuário durante uma sessão. Para acessar os comandos anteriores basta pressionar a tecla (seta para cima) seguidas vezes até encontrar o comando desejado. O comando então pode ser editado e executado novamente,

13 Variáveis Especiais ans Nome de variável padrão usado para resultados. pi eps Menor número que somado a 1, cria um número maior do que 1. inf Infinito. NaN Não número. i e j realmin menor número real positivo realmax maior número real positivo

14 Algumas Funções Matemáticas Elementares abs(x)Valor absoluto acos(x)Arco cosseno asin(x)Arco seno atan(x)Arco tangente cos(x)Cosseno exp(x)Exponencial (e x ) log(x)Logaritmo natural (base e) log10(x)Logaritmo na base 10 sin(x)Seno sqrt(x)Raiz quadrada tan(x)Tangente

15 Expressões com Funções >> sin(pi/2) ans = 1 >> cos(pi/4)^2 ans = >> asin(1)*180/pi ans = 90

16 Vetores O Matlab pode trabalhar com vetores de elementos, realizando operações sobre eles. Definindo um vetor: >> A = [ ] A = >> X = [0 0.2*pi 0.4*pi 0.6*pi 0.8*pi pi] X =

17 Vetores Outra forma de se criar um conjunto: >> A = 1:1:5 A = >> X = 0:pi/5:pi X = O primeiro valor é o valor inicial, o segundo o saltoe o terceiro o valor final.

18 Vetores Função linspace - Gera um vetor linearmente espaçado a partir de um valor inicial, um valor final e um número de elementos. >> X = linspace(0,pi,6) X =

19 Vetores Função logspace - Gera um vetor logaritmicamente espaçado a partir de uma potência inicial, uma potência final e um número de valores. >> V = logspace(0,2,5) V =

20 Operações com Vetores >> B = 2 * A B = >> Y = sin(X) Y = >> Z = A.^2 Z =

21 Operações com Vetores O operadores *, / e ^ devem ser precedidos por um ponto para serem utilizados em vetores quando queremos realizar uma operação sobre cada um de seus elementos. A^2 significa potência de matrizes. A.^2 significa elevar cada elemento do vetor A ao quadrado.

22 Operações com Vetores Elevando cada elemento do vetor A ao quadrado: >> Z = A.^2 Z = Elevando o vetor A ao quadrado: >> Z = A^2 ??? Error using ==> ^ Matrix must be square. Teremos um erro pois o vetor A é uma matriz 1x5 e não uma matriz quadrada.

23 Acesso a Elementos de Vetores Acesso a um elemento do vetor: >> Z(1) ans = 1 >> Z(2) ans = 4 >> Z(6) ??? Index exceeds matrix dimensions. Temos um erro quando acessamos uma posição inexistente do vetor.

24 Acesso a Elementos do Vetor Podemos acessar mais de um elemento: >> Z(1:3) ans = >> Z(3:5) ans = >> Z(2:4) ans =

25 Matrizes Podemos criar uma matriz da seguinte forma: >> M = [1 0 -1; 2 3 4; ] M = Criamos uma matriz 3x3. Note que os elementos da linha são separados por espaço em branco e as linhas são separadas por ponto-e-vírgula.

26 Matrizes Podemos criar matrizes a partir de vetores ou outras matrizes >> b = [2 -3 1]; >> Mx = [b' M(:,2:3)] Mx = M(:, 2:3) significa a parte da matriz M compreendida por todas as linhas (:) e as colunas 2 e 3 (2:3). A matriz Mx foi gerada concatenando-se o vetor b transposto e as colunas 2 e 3 da matriz M.

27 Operações com Matrizes Transposição - Utilizamos o operador ' (aspas simples) >> M' ans =

28 Operações com Matrizes Determinante >> det(M) ans = -18 Matriz inversa >> inv(M) ans =

29 Operações com Matrizes Todas as operações vistas para os vetores funcionam para as matrizes. Devemos tomar o cuidado em operações que exigem concordância das dimensões das matrizes. >> A = [1 2 3]; >> B = [4 5 6]; >> A*B ??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. >> A*B' ans = 32

30 Gráficos em Duas Dimensões Podemos gerar gráficos a partir de matrizes: >> X = linspace(0,2*pi,100); >> Y = sin(X); >> plot(X,Y)

31 Gráficos em Duas Dimensões Duas linhas no mesmo gráfico (seno e cosseno): >> Z = cos(X); >> plot(X,Y,X,Z)

32 Gráficos em Duas Dimensões Título para o gráfico: >> title('seno(x) e cosseno(x)') Nome para o eixo x: >> xlabel('grau (em radianos)') Nome para o eixo y: >> ylabel('variaveis dependentes')

33 Gráficos em Duas Dimensões Resultado:

34 Gráficos em Duas Dimensões Linhas de grade >> grid

35 Gráficos em Três Dimensões Gráficos de Linhas - Função plot3 >> X = linspace(0, 10*pi, 300); >> Y = sin(X); >> Z = cos(X); >> plot3(X,Y,Z) >> grid

36 Gráficos em Três Dimensões

37 Gráficos de Superfícies - funcão mesh >> v = linspace(-10,10,20); >> [X, Y] = meshgrid(v,v); >> Z = X.^2 + Y.^2; >> mesh(X,Y,Z) Utilizamos a função meshgrid para gerar X e Y como matrizes com valores repetidos que são utilizadas para gerar a matriz Z.

38 Gráficos em Três Dimensões

39 Função mesh - superfícies em rede Função surf - superfícies coloridas(opacas) Função surfl - superfícies coloridas com uma fonte de luz. Exemplo 1: >> surf(X,Y,Z) Exemplo 2: >> colormap(gray) >> surfl(X,Y,Z)

40 Exemplo 1

41 Exemplo 2

42 Rotação em Gráficos 3D Para rotacionar um gráfico 3D primeiro clique no botão presente na janela do gráfico. Após isto, clique sobre o gráfico e mantenha o botão do mouse pressionado. Uma caixa irá aparecer indicando a direção do gráfico. Agora, basta movimentar o mouse para ajustar a posição desejada do gráfico.

43 Superfícies de Contorno Função contour - Gera superfícies de contorno. >> contour(X,Y,Z,30) Os três primeiros parâmetros são as matrizes com os dados para os gráficos. O quarto parâmetro é o número de contornos.

44 Superfícies de Contorno

45 Função pcolor - Gráfico de pseudocores >> pcolor(X,Y,Z)

46 Matemática Simbólica O Matlab não foi desenvolvido originalmente para trabalhar com matemática simbólica. Outros softwares concorrentes são voltados para matemática simbólica como Mathematica e Maple. Entretanto o Matlab possui uma toolbox que nos permite trabalhar com expressões simbólicas.

47 Variáveis Simbólicas Precisamos informar ao Matlab as nossas variáveis simbólicas: >> syms x y >> z = x^2 + y^2 z = x^2+y^2 Acima definimos x e y como variáveis simbólicas com o comando syms e definimos z como uma expressão simbólica em função de x e y.

48 Limite Limite em um ponto >> y = sin(x)/x y = sin(x)/x >> limit(y,x,0) ans = 1 A função limit tem como parâmetros: 1) a função, 2) a variável livre, 3) o ponto onde deve ser calculado o limite.

49 Limite Limite à esquerda (left) e à direita (right) do ponto: >> y = tan(x) y = tan(x) >> limit(y,x,pi/2,'left') ans = inf >> limit(y,x,pi/2,'right') ans = -inf

50 Derivada Função diff - Usada para diferenciar funções de uma ou mais variáveis. >> y = x^3+2*x^2 y = x^3+2*x^2 >> diff(y,x) ans = 3*x^2+4*x No exemplo acima diff(y,x) deriva a função y em relação a variável x.

51 Derivada Funções de duas variáveis (derivadas parciais) >> syms x y >> z = x^2 + y^2 z = x^2+y^2 >> diff(z,x) ans = 2*x >> diff(z,y) ans = 2*y

52 Derivada Derivadas de ordens superiores >> syms y x >> y = (x^2 -1)/(x-3) y = (x^2-1)/(x-3) >> diff(y,x,2) ans = 2/(x-3)-4*x/(x-3)^2+2*(x^2-1)/(x-3)^3 O terceiro parâmetro para a função diff é o número de vezes que queremos diferenciar y em relação a x.

53 Integral Para integrar uma função utilizamos a função int : >> y = x^2 y = x^2 >> int(y,x) ans = 1/3*x^3

54 Integral Integral definida >> int(sin(x),x,0,2*pi) ans = 0 >> int(sin(x),x,0,pi) ans = 2 O terceiro e quarto parâmetros da função int são os limites inferior e superior de integração.

55 Simplificar Expressões Comando simple : >> y = (x^3-1)/(x+4) y = (x^3-1)/(x+4) >> diff(y,x) ans = 3*x^2/(x+4)-(x^3-1)/(x+4)^2 >> simple(y) ans = (2*x^3+12*x^2+1)/(x+4)^2

56 Exibir Expressões Comando pretty - Exibe uma expressão em um formato mais amigável. ans = (2*x^3+12*x^2+1)/(x+4)^2 >> pretty(ans) x + 12 x (x + 4)

57 Gráficos com Funções Simbólicas Para gerar gráficos com funções baseadas em variáveis simbólicas utilizamos a função ezplot : >> syms x >> y=log(x) y = log(x) >> ezplot(y,0.001,10) A função ezplot acha automaticamente a variável livre dentro da expressão da função. Precisamos informar apenas a função a ser plotada e o intervalo de plotagem no caso acima [0.001, 10].

58 Gráficos com Funções Simbólicas

59 Substituição de Variáveis Usamos o comando subs para substituir variáveis por valores ou outras variáveis em expressões simbólicas: >> syms a x >> y = a*x^2 y = a*x^2 >> subs (y,a,2) ans = 2*x^2

60 Resolução de Equações Função solve - Resolve uma equação algébrica: >> syms x; y = -3*x^2+2*x+3; >> solve(y) ans = [ 1/3+1/3*10^(1/2)] [ 1/3-1/3*10^(1/2)] >> numeric(ans) ans = A função solve resolveu a equação y=0. A função numeric encontrou valores numéricos para a solução da equação.

61 Exercícios Plotar os gráficos das funções (escolha um intervalo válido e representativo): f(x) = x 2 + 2x - 3 f(x) = ln(x) f(x) = e x f(x) = tan(x) f(x,y) = x 3 + y 2

62 Exercícios Resolva os sistemas de equações lineares

63 Exercícios Resolva o problema: Fulano está no alto de um edifício. Ele pega uma maçã, debruça-se sobre a beirada do terraço e atira-a no ar diretamente para cima a uma velocidade inicial v 0 =20m/s. O terraço encontra- se a 30 metros acima do nível do solo. Onde estará a maçã a um intervalo arbitrário de t segundos mais tarde? Quando ela alcançará a altura máxima? Qual será esta altura? Quando a maçã atingirá o solo? Com qual velocidade? Considere desprezível a resistência do ar e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s 2


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