Elementos de Estatística

Apresentação em tema: "Elementos de Estatística"— Transcrição da apresentação:

1 Elementos de Estatística
Por LUCIANO MENESES CARDOSO DA SILVA Engenheiro Civil Especialista em Recursos Hídricos da ANA Doutor em Desenvolvimento Sustentável (UnB - CDS) M.Sc. Recursos Hídricos (UFRGS - IPH) Especialista em Saneamento Ambiental (Universidade de Linköping - Suécia) Slides próprios e obtidos de Tucci, Porto e Ahy.

2 Conceitos básicos Variável aleatória: não possui um explicação determinista da sua ocorrência: P. Ex. a precipitação de um local; qual o número que sairá numa roleta População é o universo de possibilidades de ocorrência de uma variável aleatória. P. ex. num dado são seis possibilidades, sendo que cada número tem igual chance de ocorrer. Amostra é a quantidade de indivíduos (valores) que permite estimar as estatísticas da população. Por ex. após jogar o dado vezes é possível determinar qual a probabilidade de ocorrer cada um dos número e certamente será 1/6, mas se tivesse jogado o dado apenas 10 vezes, provavelmente minha estimativa da probabilidade seria errada porque minha amostra é pequena.

3 Conceitos Estatísticas: uma variável aleatória tem várias estatísticas que a caracterizam como: média, desvio padrão, assimetria, etc. A média pode ser aritmética, geométrica, etc. A média aritmética é simplesmente a média dos valores da amostra; o desvio padrão retrata a distribuição dos valores da variável com relação a média. Quanto maior o valor, maior a dispersão em relação a média; A assimetria retrata como os dados se distribuem com relação a média. Uma assimetria positiva mostra que a maioria da freqüência do valores fica são maiores que a média.

4 Número de intervalos (k):
2k ≥ n; k: menor inteiro; n: número de elementos da amostra

5

6

7 Tipos de curva de freqüência
Negativa Positiva Tipos de curva de freqüência

8

9

10

11 Desvio quadrático médio da média
Medida da dispersão dos dados Raiz quadrada da Variância

12 Conceitos básicos Risco: é a possibilidade de ocorrência de valores da variável aleatória fora do planejado. Por ex. qual o risco de ocorrência de um número do dado maior que 4? Incerteza é o erro da diferença entre as estatísticas da amostra e da população na estimativa do risco. Em hidrologia a incerteza pode estar na medida das vazões, no processamento dos dados, no tamanho da amostra e na metodologia.

13 Conceitos Variável estacionária: uma variável é estacionária quando as suas estatísticas não variam com o tempo e não-estacionária no caso contrário. Ex. a mudança da média do escoamento de uma bacia urbana devido a impermeabilização; aumento ou diminuição da vazão de estiagem depois da construção de uma barragem, são exemplos de variáveis não- estacionárias. Hidrologia estocástica: trata da estatística temporal. Conceitos de probabilidade para avaliar a variabilidade temporal de uma variável aleatória.

14 Conceitos Probabilidade e tempo de retorno: A probabilidade é a chance de ocorrência de uma variável. Esta probabilidade pode ser cumulativa ou individual. Ex. A probabilidade de sair o número 3 é de 1/6 a chance de que ocorra uma número maior que 3 é de 3/6 ou ½. O tempo de retorno (utilizado em hidrologia) retrata a freqüência seqüencial de ocorrência de valores. Ex. o número 3, em média, ocorre a cada seis jogadas. Portanto TR = 1/P Em hidrologia é utilizado para caracterizar a freqüência de repetição de um evento. Ex. Uma inundação que tem a chance de ser maior ou igual num ano qualquer de 0,05 ou 5%, tem um tempo de retorno de 1/0,05 = 20 anos. Significa que, em média, a inundação ocorrerá a cada 20 anos. Não significa repetição cíclica.

15

16 P ( x >=X)= ? T = 1/P (anos) QUESTÃO Conceito:
Qual é a probabilidade P de uma variável hidrológica X ser igualada ou excedida em um ano qualquer ? Conceito: Período de Retorno ( ou Recorrência) T T = 1/P (anos) Intervalo de tempo médio, em anos, em que uma variável hidrológica é igualada ou excedida. Para não-excedência: T = 1/(1-P)

17 Se uma vazão Q tem um período de recorrência de 50 anos isto significa que, em média(!), esta vazão é igualada ou excedida a cada 50 anos. Em outros termos: A vazão Q tem uma probabilidade P= 1/T = 0.02 (ou 2%) de ser igualada ou excedida, em um ano qualquer OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: É um conceito probabilístico (não significa periodicidade!)

18 Risco é a probabilidade de uma obra falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, N. Pode ser deduzido: R = 1 - (1 - 1/T)N Exemplo: Qual o risco que a canalização do rio Tamanduateí tem de falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, estimada em 50 anos? A obra foi projetada para T = 500 anos.

19

20 Hidrologia

21 Valores usuais de T (ANOS)
Qual a vazão de projeto? É um dos problemas mais comuns (e importantes) em hidrologia, uma vez que envolve diretamente as dimensões da obra - e, portanto, o seu custo - e o risco que esta obra tem de falhar durante sua vida útil. Valores usuais de T (ANOS) Obras de microdrenagem a 10 Obras de macro drenagem a 500 Barragens a 10000

22 Risco de não ocorrer em qualquer ano = 90% = 0,90
Hidrologia Solução: Risco de não ocorrer em qualquer ano = 90% = 0,90 Risco de não ocorrer 5 anos seguidos = (0,9)5 = 0,5905 ≈ 59%

23 Condições Valores independentes: os valores da amostra não devem apresentar correlação entre si. P. ex. Numa amostra de vazões máximas anuais, o valor de cada ano não devem ter correlação com o do ano seguinte. Por isto que os valores são escolhidos dentro do ano hidrológico. Variável estacionária: as estatísticas da série não podem se alterar ao longo do tempo. Amostra representativa: as estatísticas da amostras devem ser representativas da população. O número de anos de uma amostra de valores é importante, mas não significa tudo.

24 Exemplo de Blumenau Cheias máximas em Blumenau/SC: 1852 – 16,52 m
Entre 1911 e 1984 não houve nenhuma inundação com cota maior que 16,90 m, período pouco representativo

25 Função de distribuição Normal

26 N(μ;σ) Observe como os valores de média (μ) de desvio padrão (σ)
alteram a forma e aposição da curva {N(μ;σ)}.

27 Variável reduzida (tabelada)

28 A área sob a curva significa a probabilidade cumulativa de 0 a 1.
Z = (X – μ)/σ 1 x σ 2 x σ 3 x σ

29 Z = (X – μ)/σ

30

31 10

32 Z = (X – μ)/σ A = 0,4 A = 0,5 = ? Área = 0,4  Z ≈ 1,28

33 1

34 Z = (X – μ)/σ X = Z* σ + μ Exemplo: Qméd(μ) = 311 m³/s e desvio padrão (σ) = 169,7 m³/s. Calcule a vazão (X) com 200 anos de retorno (Tr = 200 anos). X = Z.σ + μ ; Para Tr = 200, Z = 2,5758 Então, X = 2, , = 748,1 m³/s

35 Determinação da Relação Q = f (T)
Metodologia 1. Processamento dos dados 2. Escolha da distribuição de probabilidades: determinação da relação entre a vazão (Q) e o tempo de retorno (T) Q = f(T)

36 1. Processamento dos dados
a) coletar uma série de observações hidrológicas de vazões, a mais longa possível (N > 30 anos), de um posto próximo do local de interesse. b) escolher a maior vazão diária de cada ano hidrológico:

37 1. Processamento dos dados

38 1. Processamento dos dados
c) ordenar as vazões em ordem decrescente (m) e atribuir a cada uma delas uma probabilidade empírica dada pela expressão: P(q > Q) = m/(N+1) Empírico como na Tabela:

39 1. Processamento dos dados

40

41

42 Distribuições de probabilidade
Eventos máximos: Gumbel, Log-Normal (2 e 3 parâmetros), Pearson III e Log-Pearson III Eventos mínimos: Log-Normal (2 e 3 parâmetros), Pearson III, Log-Pearson III e Weibull

43 e e

44

45

46 e

47 DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL (TIPO 1)
Posição de Plotagem 200 180 Q100= 136 m3/s 160 140 120 100 80 Reta empírica 60 40 20

48

49 Valores de Kt para Pearson III
Tr

50

51

52 Curva de permanência “Curva que indica a percentagem do tempo em que um determinado valor de vazão foi igualado ou ultrapassado durante um período de observações” Valores diários, semanais ou mensais Útil para: Critérios de outorga, navegação, qualidade da água, estudos hidrelétricos, etc.

53 Curva de Permanência mensal Hidrograma mensal
X Curva de Permanência mensal Hidrograma mensal

54 25 Q90

55 Curva de Permanência Manancial regularizado

56

57 IMPORTANTÍSSIMO!

58 Salários das carreiras de Especialista em Recursos Hídricos
e de Geoprocessamento da Agência Nacional de Águas - ANA

59 Ex-aluno(a) do OBCursos
30/06/2006  30/06/2006

60 PERGUNTAS?