Instrumentos de Segunda Ordem

Apresentação em tema: "Instrumentos de Segunda Ordem"— Transcrição da apresentação:

1 Instrumentos de Segunda Ordem
A definição matemática de equação de segunda ordem: Para o caso somente são importantes os parâmetros a2, a1, a0 e b0

2 Manipulações Algébricas da Equação de 2a ordem

3 Raízes para o Sistema masa-mola-amortecedor (sub-amortecido)

4 Definições para a Equação de 2a Ordem
Freqüência Natural não amortecida Sensibilidade Estática é chamado de coeficiente de amortecimento

5 Definições para a Equação de 2a Ordem
Freqüência Natural não amortecida (rad/seg) Sensibilidade Estática coeficiente de amortecimento (adimensional)

6 Usando as Definições

7 Função de Transferência de um Sistema de 2o grau

8 Um sistema Masa-Mola-Amortecedor
k c Sistema Mecânico com Mola e Amortecedor m F

9 Identificando entradas e saídas do sistema
A saída do sistema será identificada como o deslocamento da massa Denominaremos este deslocamento de x k c m F Podemos identificar como entrada a força externa aplicada ao sistema

10 O Caminho para obter um Modelo Dinâmico (neste caso de segunda ordem)
Um primeiro passo é abstrair os elementos mecânicos Neste caso nos importam os com os efeitos destes elementos sobre o Sistema Em particular, nos interessam as forças ligadas a estes elementos F_mola F_amortecedor m F_aplicada

11 + O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
Tomando uma convenção podemos estabelecer sinais para as forças: para acima = positivo F_mola F_amortecedor + m F_aplicada

12 + O Caminho para obter um Modelo Dinâmico m
F_mola F_amortecedor + m F_aplicada Agora podemos aplicar a 2a lei de Newton:

13 + O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
F_mola F_amortecedor + m F_aplicada Neste caso, obtemos a equação: F_aplicada - f_mola - f_amortecedor = ma

14 F_aplicada - kx - cv = ma
O Caminho para obter um Modelo Dinâmico Na equação podemos identificar facilmente os elementos: F_aplicada - f_mola - f_amortecedor = ma F_amortecedor = cv c = constante do amortecedor v = velocidade F_mola = kx k = constante da mola x = deslocamento Podemos obter, então: F_aplicada kx cv = ma

15 O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
Podemos assumir as convenções: aceleração = a = velocidade = v = Força_aplicada = F

16 O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
Desta maneira, o nosso modelo fica: F_aplicada kx cv = ma Na verdade o nosso modelo está representado por uma equação ordinária de segundo grau

17 O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
Fazendo manipulações algébricas temos: Este modelo pode ser trabalhado usando Transformada de LAPLACE Queremos levar o nosso modelo para o Domínio D

18 O Caminho para obter um Modelo Dinâmico
Aplicando o operador D temos:

19 Obtendo a Função de Transferência
Desta maneira podemos obter a expressão: Esta equação representa um relação entre entrada e saída do sistema Esta forma é denominada de Função de Transferência

20 Raízes para o Sistema masa-mola-amortecedor (sub-amortecido)

21 Raízes para o Sistema masa-mola-amortecedor (sub-amortecido)
p e denominado de “decay rate” p é denominada de freqüência natural amortecida correspondente à freqüência natural não-amortecida n . Assumimos p < n

22 Aplicando as nossas Definições
Freqüência Natural não- amortecida (rad/seg) Sensibilidade Estática coeficiente de amortecimento (adimensional)

23 Aplicando as nossas Definições

24 Resposta ao Degrau qis Cond. Ini.:

25 A Solução da Equação Diferencial de 2o grau
Solução Particular: qopi = Kqis Solução da função complementar (homogênea): Caso 1: raízes reais diferentes (caso sobre-amortecido) Caso 2: raízes reais iguais (caso criticamente amortecido) Caso 3: raízes conjugadas complexas (caso sub-amortecido)

26 Obtendo as raízes da Equação Característica
Discriminante

27 Solução para raízes reais e diferentes (Caso 1: sobre-amortecido)
Avaliando Condições Iniciais obtemos os valores para C1 e C2 qo(t=0+) = 0 qo´ (t=0+) = 0

28 Solução para raízes reais e diferentes (Caso 1)

29 Solução para raízes reais iguais (Caso 2: criticamente amortecido)
Avaliando Condições Iniciais obtemos os valores para C1 e C2

30 Solução para raízes reais iguais (Caso 2)

31 Solução para raízes reais e iguais (Caso 2)

32 Solução para raízes Conjugadas Complexas (Caso 3: sub-amortecido)
Forma da solução homogênea

33 Solução para raízes Conjugadas Complexas (Caso 3)

34 Solução para raízes Conjugadas Complexas (Caso 3)

35 Resposta a Rampa para Instrumentos de Segunda Ordem
Cond. Ini.:

36 Solução para raízes reais e diferentes (Caso 1: sobre-amortecido)
Para este caso a solução é:

37 Solução para raízes reais e diferentes (Caso 2: criticamente amortecido)
Para este caso a solução é:

38 Solução para raízes reais e diferentes (Caso 3: sub-amortecido)
Para este caso a solução é: Onde:

39 Erro e Atraso de Estado Estacionário
Erro de Estado Estacionário: Atraso em Estado Estacionário: O erro estacionário pode ser reduzido incrementando n ou reduzindo 

40 Erro de medida adimensional para a função Rampa
Para um dado n decrementos em  levam a grandes oscilações