Matemática Discreta 1 – MD 1

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1 Matemática Discreta 1 – MD 1
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Semestre de 2013 Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret Aula 7: Proposições (2)

2 Introdução As proposições (simples ou compostas) possuem valores lógicos (ou valores verdade) Verdadeiro (V) ou Falso (F): As operações realizadas sobre as proposições também possuem valores lógicos. A Tabela Verdade – TV é uma ferramenta útil para avaliar o valor verdade resultante da aplicação dos operadores lógicos sobre as proposições: Ela mostra o resultado das operações lógicas, supondo os diferentes valores verdade para as proposições.

3 TV - Resumo (1)

4 TV - Resumo (2)

5 Sintaxe (1) A Matemática é uma ferramenta para modelagem e abstração do “mundo real”, e a Lógica Matemática pode se constituir numa das linguagens pela qual se descreve fatos e idéias sobre este mundo. Assim como a Língua Portuguesa é uma linguagem e que portanto, possui uma gramática e formas de escrever corretamente uma frase que expresse alguma fato ou idéia, a Lógica Matemática também possui uma linguagem, com seus elementos e gramática, a qual se chama de Cálculo Proposicional. A sintaxe do Cálculo Proposicional especifica os símbolos e os modos de combiná-los para formar uma expressão válida da linguagem, a qual pode ser chamada de “fórmula bem formada ou fórmula bem formulada” (fbf).

6 Sintaxe (2) Elementos Válidos: Operadores Lógicos: Adicionalmente:
Letras maiúsculas do alfabeto tais como A, B, C, ..., são usadas para representar proposições ou fórmulas proposicionais. Opcionalmente letras minúsculas do alfabeto, tais como p, q, r, ... , podem ser usadas para representar proposições. Operadores Lógicos: Para o conectivo de conjunção, usa-se o símbolo ∧. Para o conectivo de disjunção, usa-se o símbolo ∨. Para o conectivo de condicional, usa-se o símbolo →. Para o conectivo de bicondicional, usa-se o símbolo ↔. Para o conectivo de negação, usa-se o símbolo ¬. Adicionalmente: Parênteses ( , ).

7 Sintaxe (3) Há algumas regras para verificar se uma cadeia de letras de proposição (uma expressão proposicional) é considerada uma expressão válida: Uma letra proposicional sozinha é gramaticalmente correta ou uma fórmula bem formada (fbf). Se qualquer expressão proposicional A (tal como p ∨ q) é bem formada, então também o é sua negação ¬A (ou seja, ¬(p ∨ q) neste caso). Se A e B são expressões ou fórmulas bem formadas, então também o são (A ∧ B), (A ∨ B) e (A → B). Exemplos: ¬((p ∨ q) → r) fbf? p)) ∧ ∧ → qr fbf?

8 Sintaxe (4) Assim como na aritmética, as operações lógicas devem ser realizadas segundo uma ordem de prioridade imposta pelos operadores (conectivos) lógicos. A ordem de prioridade é: 1 Negação 2 Conjunção 3 Disjunção 4 Condicional 5 Bicondicional Exemplo:

9 Sintaxe (5) Uma outra forma de definir ordens de prioridade na expressão é com o uso de parênteses. Neste caso, as expressões “mais internas” aos parênteses devem ser analisadas primeiro. Exemplo: ¬p ∧ (q → r) Numa fórmula bem formada (fbf) com vários operadores lógicos envolvidos, o último operador a ser aplicado é o denominado operador ou conectivo principal da expressão. A ∧ ¬(B → C) ((A ∨ B) ∧ C) → (B ∨ ¬(C))

10 Análise de Expressões Lógicas (1)
Para análise de uma expressão lógica e construção da Tabela Verdade deve-se: Respeitar a ordem de prioridade das operações definida pelos parênteses. Respeitar a ordem de prioridade das operações definida pelos operadores. Calcular os valores verdade da expressão, supondo todas combinações de valores verdade para as proposições simples.

11 Análise de Expressões Lógicas (2)
Observações: As colunas da Tabela Verdade estão dispostas de acordo com a ordem de prioridade das operações, pois isso auxilia na organização dos cálculos. A última coluna é reservada para a expressão proposicional. O número de linhas da Tabela Verdade é igual a 2 elevado ao número de proposições simples (n) que compõe a expressão proposicional (ou seja, = 2n).

12 Análise de Expressões Lógicas (3)
Calcular a Tabela Verdade da seguinte expressão proposicional: (p ∧ ¬q) ↔ r

13 Análise de Expressões Lógicas (3)
Calcular a Tabela Verdade da seguinte expressão proposicional: (p ∧ ¬q) ↔ r

14 Análise de Expressões Lógicas (4)
Resumo: Dada uma expressão proposicional, a Tabela Verdade permite verificar o “comportamento” desta expressão em diferentes circunstâncias. Etapas importantes para construção da Tabela Verdade - Identificar as proposições simples (definir uma coluna da tabela para cada uma). Identificar a ordem de prioridade das operações lógicas na expressão (subexpressões). Calcular cada subexpressão (em diferentes colunas da tabela). Calcular o valor verdade da expressão lógica para cada configuração de valores verdade das proposições simples.

15 Análise de Expressões Lógicas (5)
Montar a Tabela Verdade das seguintes expressões proposicionais: ¬(p ∧ ¬q) ¬q → (p ∨ ¬r )

16 Análise de Expressões Lógicas (3)
Montar a Tabela Verdade das seguintes expressões proposicionais em português: Se o cavalo estiver descansado e a armadura for forte, então o cavaleiro vencerá. O cavalo estará descansado se, e somente se, a armadura for leve e o cavaleiro vencer. Se o cavaleiro não perder, então o cavaleiro vencerá, ou, o cavaleiro perderá. O cavaleiro vencerá se a armadura for forte, ou, o cavalo estará descansado se a armadura for leve. Observação: Nas expressões em forma discursiva (linguagem natural), a vírgula pode ser utilizada para separar subexpressões, como fazem os parênteses na notação matemática.

17 Tautologia (1) Tautologia é toda expressão proposicional cujo valor verdade é sempre verdadeiro, independentemente dos valores verdade das proposições simples que a compõe. Seja a seguinte expressão proposicional: (p ∧ ¬p) → (q ∨ p) Diz-se que a expressão proposicional acima é uma Tautologia se, independente dos valores verdade associados às proposições p e q, o resultado lógico da expressão sempre será Verdadeiro (V).

18 Tautologia (2) Contradição é toda expressão proposicional cujo valor verdade é sempre falso, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõe. Seja a seguinte expressão proposicional: (p ∧ ¬p) ↔ (¬p ∧ q) Diz-se que a expressão proposicional acima é uma Contradição se, independente dos valores verdade associado às proposições p e q, o resultado lógico da expressão sempre será Falso (F).

19 Tautologia (3) Contingência é uma expressão proposicional que pode assumir o valor lógico Verdadeiro ou Falso. Exercícios: Verifique se as expressões proposicionais a seguir são tautologias, contradições ou contingências (Dica: montar a tabela verdade e observar a última coluna). p → (q →p) p → (q → (p ∨ q)) ¬p ∨ (p ∧ q) ¬(p ∧ ¬p)

20 Implicação Lógica (1) Dadas as proposições p e q, diz-se que ocorre uma implicação lógica (ou uma relação de implicação) entre as proposições p e q quando a proposição condicional p → q é uma tautologia. Notação: p  q onde se lê p implica (logicamente) q ou se p, então q.

21 Implicação Lógica (2) Observação:
Os símbolos  e  têm significados diferentes. O símbolo  entre duas proposições dadas indica que há uma relação, ou seja, que a proposição condicional associada é uma tautologia. Enquanto que o símbolo  realiza uma operação entre as proposições, dando origem a uma nova proposição p  q, que pode conter valores lógicos V ou F.

22 Implicação Lógica (3) Exemplo: Verificar se a expressão abaixo é uma implicação lógica. (p ∧ q)  (p ∨ q)

23 Implicação Lógica (4) Exemplo: (p ∧ q)  (p ∨ q)
Obs.: Para verificar se a expressão proposicional acima é uma implicação lógica - Monta-se a tabela verdade da expressão Substitui-se o símbolo  por →.

24 Equivalência Lógica (1)
Dadas as proposições p e q, diz-se que ocorre uma equivalência lógica entre p e q quando suas tabelas verdades forem idênticas. De forma intuitiva, isto significa que proposições logicamente equivalentes transmitem a mesma informação (valor lógico), a partir das mesmas proposições componentes. A proposição p é logicamente equivalente à proposição q ou seja, p  q, sempre que a proposição bicondicional p ↔ q for uma tautologia. Notação: p  q.

25 Equivalência Lógica (2)
Exemplo: ¬(p  q) ↔ (p ∧ ¬q)

26 Equivalência Lógica (3)
Exemplo: ¬(p  q) ↔ (p ∧ ¬q) Logo, pode-se dizer que há uma equivalência lógica entre as expressões ¬(p  q) e (p ∧ ¬q), simbolizada abaixo: ¬(p  q)  (p ∧ ¬q)

27 Equivalência Lógica (4)
Exercício: Verifique se as expressões a seguir são implicações, equivalências ou contingências. (Dica: substituir os símbolos  e  por → e ↔ respectivamente, e montar a tabela verdade, analisando a última coluna) . ¬(p ∨ ¬q)  ¬p ∧ q p ∧ ¬q  ¬(p  q) (p  q) ∧ ¬p  ¬q p ↔ ¬q  q  p

28 Equivalência Lógica (5)
As relações de equivalência podem ser comparadas com a relação de igualdade (operador =): Assim, dada uma expressão lógica composta por duas subexpressões lógicas, se uma das subexpressões for substituída por uma outra subexpressão equivalente, então a nova expressão tem o mesmo sentido (valor verdade ou valor lógico) que a expressão original. Exemplo: Já se viu que ¬(p  q)  (p ∧ ¬q). Seja a expressão r  (p ∧ ¬q). Pode-se dizer que o seu significado é o mesmo que ¬(p  q)  r.

29 Equivalência Lógica (6)
Dada a proposição condicional p  q, ela tem associadas três outras proposições, as quais contém p e q: Recíproca do Condicional: q  p. Contrapositiva: ¬q  ¬p. Recíproca do Contrapositivo ou Inversa: ¬p  ¬q. Obs.: Condicional e Contrapositiva são logicamente equivalentes. p  q  ¬q  ¬p Recíproca e Inversa são logicamente equivalentes. q  p  ¬p  ¬q

30 Equivalência Lógica (7)
Outro Exemplo: p: T é um triângulo equilátero. q: T é um triângulo isósceles (dois lados iguais). p  q (condicional): Se T é equilátero, então T é isósceles. É o mesmo que dizer ~q  ~p (contrapositiva) Se T não é isósceles, então T não é equilátero. q  p (recíproca): Se T é isósceles, então T é equilátero. É o mesmo que dizer: ~p  ~q (contrária) Se T não é equilátero, então T não é isósceles.

31 Equivalência Lógica (8)
Exemplo: p: O céu está nublado. q: Vai chover. Condicional: p  q: Se o céu está nublado, então vai chover. Recíproca: q p : Se vai chover, então o céu está nublado. Contrapositiva: ¬q  ¬p: Se não vai chover, então o céu não está nublado. Inversa: ¬p  ¬q: Se o céu não está nublado, então não vai chover.

32 Equivalência Lógica (9)
Devido sua importância e uso freqüente, algumas equivalências lógicas são consideradas como Leis do Cálculo Proposicional. (L1) Comutatividade na disjunção: p ∨ q  q ∨ p (L2) Comutatividade na conjunção: p ∧ q  q ∧ p (L3) Associatividade na disjunção: p ∨ (q ∨ r )  (p ∨ q) ∨ r (L4) Associatividade na conjunção: p ∧ (q ∧ r )  (p ∧ q) ∧ r (L5) Idempotência na disjunção: p ∨ p  p

33 Equivalência Lógica (10)
(L6) Idempotência na conjunção: p ∧ p  p (L7) Distributividade com relação a disjunção: p ∨ (q ∧ r )  (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) (L8) Distributividade com relação a conjunção: p ∧ (q ∨ r )  (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) (L9) Lei de De Morgan para disjunção: ¬(p ∨ q)  ¬p ∧ ¬q (L10) Lei de De Morgan para conjunção: ¬(p ∧ q)  ¬p ∨ ¬q (L11) Dupla negação: ¬¬p  p

34 Equivalência Lógica (11)
(L12) Lei de Passagem: p  q  ¬(p ∧ ¬q) (L12a) Lei de Equivalência: p ↔ q  (p  q) ∧ (q  p) Considerando V uma proposição verdadeira e F uma proposição falsa, algumas proposições podem ser simplificadas diretamente, como por exemplo: (L13): p ∨ ¬p  V (L14): p ∧ ¬p  F (L15): p ∧ V  p

35 Equivalência Lógica (12)
p ∨ F  p (L17): p ∨ V  V (L18): p ∧ F  F

36 Equivalência Lógica (13)
Resumo:

37 Equivalência Lógica (14)
Com o conhecimento destas leis, a equivalência entre proposições podem ser verificada, utilizando apenas as leis do cálculo proposicional, sem fazer uso das Tabelas Verdade: Uma outra utilidade importante destas leis é simplificar longas proposições, reduzindo-as em proposições equivalentes mais simples.

38 Equivalência Lógica (15)
Exemplo: Simplificar (p ∨ q) ∧ ¬p. (p ∨ q) ∧ ¬p = (L2) p ∧ q  q ∧ p ¬p ∧ (p ∨ q) = (L8) p ∧ (q ∨ r )  (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) (¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ q) = (L14) p ∧ ¬p  F F ∨ (¬p ∧ q ) = (L16) p ∨ F  p (¬p ∧ q ) Logo (p ∨ q) ∧ ¬p  (¬p ∧ q) Obs.: Simplificar significa chegar-se numa expressão lógica mais simples (com menos proposições ou conectivos)

39 Equivalência Lógica (16)
Exemplo: Mostrar que p ∧ (¬p ∨ q)  p ∧ q. p ∧ (¬p ∨ q) = (L8) p ∧ (q ∨ r )  (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) (p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q) = (L14) p ∧ ¬p  F F ∨ (p ∧ q) = (L16) p ∨ F  p p ∧ q = Logo p ∧ (¬p ∨ q)  p ∧ q. Obs.: Mostrar neste caso significa que a partir da primeira expressão proposicional p ∧ (¬p ∨ q), chega-se na segunda expressão proposiconal p ∧ q ou vice-versa.

40 Equivalência Lógica (17)
Exemplo: Seja a expressão proposicional p ∨ q: “O rio é raso ou o rio é poluído”. Qual é o significado da expressão ¬(p ∨ q) ? Pela lei de De Morgan para disjunção, ¬(p ∨ q)  ¬p ∧ ¬q Logo, ¬(p ∨ q): “O rio não é raso e nem poluído”. Obs.: Note que ¬(p ∨ q) não é equivalente a: “O rio não é raso OU não é poluído”.

41 Equivalência Lógica (18)
Exercício: Mostrar as seguintes equivalências abaixo, ¬(p ∨ ¬q)  ¬p ∧ q p  q  ¬p ∨ q Simplificar, p ∨ (p ∧ q) Fazer a negação da frase, “Joaquim é alto e é magro”.

42 Equivalência Lógica (19)
Exercício: Como negar (p  q) ? Ou ¬(p  q)  ?

43 Equivalência Lógica (20)
Exercício: Como negar (p ↔ q) ? Ou ¬(p ↔ q)  ?