Equação de Euler / Bernoulli. IM250 Prof. Eugênio Rosa Equações de Q. Movimento: Linha do Tempo (300 anos), Re >> 1 Re ~ 1 Stokes (1850), Re << 1 George.

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1 Equação de Euler / Bernoulli

2 IM250 Prof. Eugênio Rosa Equações de Q. Movimento: Linha do Tempo (300 anos), Re >> 1 Re ~ 1 Stokes (1850), Re << 1 George Stokes – Inglês (  1819  1903) Balanço: atrito e pressão Ausente: força inércia Daniel Bernoulli - Suíço (  1700  1782) Bernoulli (1738) Balanço: inércia e pressão Ausente: força viscosa L. Euler – Suíço(  1707  1783) Euler (1750) Balanço: inércia e pressão Ausente: força viscosa Navier(1823) Stokes(1845) Claude Navier – Frances (  1785  1836) George Stokes – Inglês (  1819  1903) Balanço: inércia, atrito e pressão

3 IM250 Prof. Eugênio Rosa Escoamento Re L >> 1: Camada Limite & Euler Região onde o atrito é desprezível. Eq. Euler é válida, fora da Camada Limite 1 Região onde o atrito (viscoso) não é desprezível. Eq. Euler não é válida, dentro da Camada Limite L  (1) conceito introduzido por Ludwig Prandtl – Alemão (  1875  1953) Eq. Euler reduz a ordem da eq. Q.M. de 2 para 1. Satisfaz a uma condição de contorno para cada variável e não mais duas como na eq. N-S. Isto implica que a eq. Euler permite deslizamento na parede!

4 IM250 Prof. Eugênio Rosa Todos os fluidos reais possuem viscosidade entretanto, há regiões do escoamento onde os efeitos viscosos estão ausentes. Estes casos ocorrem com freqüência em escoamentos externos com Re elevados. A viscosidade influi no escoamento somente próximo da parede caracterizando uma camada limite, Na região externa à parede os termos viscosos são 1/Re vezes menores que os termos inerciais e portanto eles são descartados da equação da quantidade de movimento.

5 Equação de Euler: Equação da Quantidade de Movimento Sem Atrito. Coordenadas Cartesianas

6 IM250 Prof. Eugênio Rosa Euler: algumas características: Balanço: Inércia, Pressão (tensão normal) e força g; cisalhamento não causa movimento do fluido em Euler; ausência de viscosidade! A ordem da Eq. Q.M. reduziu de 2  1 só atende 1 c.c. para cada variável para cada direção  Euler permite deslizamento na parede! Escoamentos Reais x Euler Fluidos reais possuem viscosidade entretanto para Re>>1: os efeitos viscosos concentram-se numa camada limite; externo à camada limite termos viscosos são O(1/Re) vezes menores que os termos inerciais;

7 IM250 Prof. Eugênio Rosa Plano da Aula Parte (I) – Dedução da Eq. Bernoulli Integração da eq. Euler ao longo de uma linha de corrente & aplicações. Escoamento de Euler irrotacional e a eq. de Bernoulli. Bernoulli e sua relação com a 1ª e 2ª leis da Termodinâmica. Conclusões Parte (II) – Aplicações da Eq. Bernoulli Escoamento incompressível Equações linearizadas (acústica) Escoamento compressível regime permanente Escoamento compressível 1D (invariantes de Reimann) Referencial não inercial (escoamento geotrópico)

8 IM250 Prof. Eugênio Rosa Parte I Seção – I06

9 IM250 Prof. Eugênio Rosa Há pelo menos duas formas para demonstrar Bernoulli: Equação Euler; 1ª Lei da Termodinâmica. Questão: quais condições afetam na uniformidade de C? C vale ao longo de uma linha de corrente ou para qualquer ponto? Qual é a relação C p/ escoam. barotrópico ou processo isoentrópico? C altera se o escoamento for rotacional ou irrotacional? Motivação

10 IM250 Prof. Eugênio Rosa Seção I-A Eq. Euler em Coordenadas Ajustadas à Linha de Corrente Seção – I06

11 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Euler em Coordenadas Ajustadas à Linha de Corrente A eq. de Euler para um sistema de coordenadas ortogonal local composto por dois versores: um tangente (s) e outro normal (n) à linha de corrente Como V é sempre tangente à linha de corrente, ela não possui componente normal, i.e. V=(Vs,0n) e V = |V|. A representação com s e n aplica-se a sistemas 2D. Caso contrário seria necessário introduzir um versor binormal para definir uma base ortogonal 3D. ^ ^ ^ ^ ^ ^ Q RcRc linha de corrente n s V ^ ^ dldl Seção - I

12 IM250 Prof. Eugênio Rosa Componentes da eq. Euler: Aceleração A derivada total : Pode-se determinar a derivada do versor s com relação ao comprimento de arco ‘l’. Seção - I Abrindo as derivadas e agrupando os termos :

13 IM250 Prof. Eugênio Rosa Componentes da eq. Euler: a derivada Sistema de coordenadas local, a posição de s varia ao longo da curva que possui raio de curvatura Rc: A taxa de variação do versor s com o arco l é um vetor que aponta na direção normal, sentido negativo, cujo módulo é o inverso do raio de curvatura da linha de corrente! RcRc RcRc  ll Q logo: para  ->0, Seção - I  Q  |s| ^  s/2 ^ ^

14 IM250 Prof. Eugênio Rosa Componentes da eq. Euler: Aceleração Escoamento transiente : linhas de corrente paralelas → o módulo V pode variar com o tempo mas a direção do versor s não, portanto,  s/  t = 0. linhas de corrente com curvatura → a direção do versor s pode mudar com o tempo,  s/  t  0 e seu valor não pode ser determinado à priori. ^ ^ A aceleração nas direções s e n: Escoamento permanente,  s/  t = 0 ^ Seção - I ^ ^ ^ ^

15 IM250 Prof. Eugênio Rosa Componentes da eq. Euler: Pressão P* O termo  P/  para ser expresso nas direções s e n é necessário que  seja uma função apenas da pressão; Isto é genericamente denominado por escoamento ‘Barotrópico’ onde  = f(P) a ser definida posteriormente; A transformação permite trabalhar com notação mais compacta! ^ ^ As componentes nas direções s e n são: ^ ^ Seção - I

16 IM250 Prof. Eugênio Rosa Componentes da eq. Euler: Acel. g As componentes da aceleração da gravidade nas direções s e n são: As componentes g s e g n passam a ser: Produtos escalares expressos por meio da taxa de cota z em função de ‘s’ e de ‘n’: RcRc linha de corrente n s V ^ ^ g k ^ z Q dldl Seção - I   Q

17 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Euler: direções s e n Eq. de Euler ao longo da linha de corrente: Eq. de Euler normal à linha de corrente: ^ ^ Seção - I ou

18 IM250 Prof. Eugênio Rosa Integração Euler direção s  BERNOULLI Integrando a equação ao longo de uma linha de corrente entre os pontos (1) e (2): Q RcRc n s V 1 2 g z z1z1 z2z2 ^ ^ ^ dldl Modelo transiente válido só p/ linhas corrente paralelas  s/  t = 0. O lado direito muda instante a instante. ^ Seção - I Resta definir a função barotrópica ρ(P).

19 IM250 Prof. Eugênio Rosa Hipótese de Escoamento Barotrópico:  =  (P) Processo reversível (s gen = 0) Fluido Compressível: processo politrópico reversível e gás ideal:  =  (P) → P/  n = P 1 /  1 n Para fluidos com apenas um modo de trabalho (compressível), ρ=ρ(P,s) porém, s=c te → ρ=ρ(P) (+) hipótese será verificada contra 1ª e 2ª leis na seção III Seção - I Fluido incompressível  =const. 1< n <  → Q ≠ 0 e  = C p /C v n =  → Q = 0 ‘n’ é determinado conhecendo Q trocado ao longo de cada L.C. mas, raramente esta informação é disponível. Para estender a aplicação de Bernoulli é feita uma hipótese (+) : processo adiabático, Q = 0, ou isoentrópico:

20 IM250 Prof. Eugênio Rosa Resumo :Bernoulli ao longo Linha de Corrente (processo reversível e adiabático) Escoamento Compressível: p 1 /ρ 1  = p 2 /ρ 2  Escoamento Incompressível,  = c te   dp  = p  | 1,2 Seção - I O termo transiente pode variar instante a instante e aplica somente para linhas de correntes paralelas. Compressibilidade ~ Ma 2, veja nota nos ‘Slides Complementares’

21 IM250 Prof. Eugênio Rosa http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ Teorema de Bernoulli: originalmente proposto: incompressível, ao longo de uma linha de corrente e regime permanente. Seu sucesso deve-se ao fato que ela é uma das ‘poucas’ (talvez a única) expressões analíticas na área que relaciona velocidade e pressão de forma genérica. Seção - I Nota Histórica 26

22 IM250 Prof. Eugênio Rosa Algumas Aplicações Bernoulli s Avança ^

23 IM250 Prof. Eugênio Rosa Altura Piezométrica Total Carga Elevação Carga Velocidade Carga Pressão Carga Total Constante Retorna

24 IM250 Prof. Eugênio Rosa Manifestação Experimental Bernoulli A passagem do ar entre os balões faz com que a pressão diminua e surja uma força radial aproximando as esferas; Patm P < P atm Retorna

25 IM250 Prof. Eugênio Rosa Escoamento num Vertedouro A vazão volumétrica Q num vertedouro pode ser estimada utilizando Bernoulli. (1) V = 0, z = 0 e P atm (2) V = ?, z = -h e P atm  V 2 =  2gh P atm (1) (2) Considerando na seção ‘d’ a velocidade é uniforme e igual a V 2, então: Retorna

26 Tubo de Pitot (1732) Pressão Estática Corrente Livre: P, V, T Manômetro Diferencial Pressão Estagnação ou Pressão Total (1) Corrent e Livre (2) Estagnação; V=0 P. Estat P. Din P. Estag. = 0 Retorna

27 IM250 Prof. Eugênio Rosa Aplicação: Bernoulli Transiente Reservatório de água com nível constante é conectado a uma tubulação de descarga com uma válvula na extremidade. Determine como a velocidade evolui com o tempo. h=c te D L d 1 2 z se d >V 1 Retorna 00

28 IM250 Prof. Eugênio Rosa Aplicação: Bernoulli Transiente a) o tempo para Q atingir um valor constante; A equação diferencial ordinária não-linear pode ser resolvida isolando V de t e integrando: Denominando vamos encontrar que O tempo para atingir 99% de V  é quando V = 0.99 V , logo:

29 IM250 Prof. Eugênio Rosa Aplicação: Bernoulli Transiente b) como a velocidade evolui com o tempo; Usando a transformação de Ricatti, a EDO de 1 a ordem pode ser transformada numa EDO Linear de 2 a ordem: Resolvendo para u e fazendo a transformação inversa para encontra V, teremos:

30 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Euler Direção n A eq. Euler n relaciona-se com duas linhas de corrente adjacentes que possuem os mesmos Rc entre os pontos (1) e (2): RcRc g z z1z1 z2z2 2 1 n s V ^ ^ Simplificações 1.Escoamento incompressível; 2.Força gravitacional desprezível Se há L.C com curvatura há gradiente de pressão normal. A pressão aumenta do centro para a periferia ao longo do raio de curvatura. ^ ^

31 IM250 Prof. Eugênio Rosa Equação de Euler Seção - I Lembrando que para escoamento incompressível, P* = P/ 

32 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Euler direção n Relaciona o gradiente de pressão normal a linha de corrente à força centrífuga! RcRc g z z1z1 z2z2 2 1 n s V ^ ^ Simplificações: 1.Escoamento incompressível; 2.Força gravitacional desprezível Curvatura das linhas de corrente causa um gradiente de pressão normal. Corolário: linhas de correntes paralelas não possuem gradiente de pressão normal! A pressão aumenta do centro para a periferia ao longo do raio de curvatura. ^ Seção - I

33 Efeito da Curvatura na Linha de Corrente Linha de corrente curva - O gradiente de pressão n ‘empurra’ a partícula para dentro: força centrípeta. Há um equilíbrio entre os termos (  V 2 /R c ) e grad P na direção n. PiPi PePe  V 2 /R c V RcRc  RcRc fluido sólido Separação centrífuga sólido,  <  s - O gradiente de pressão n do líq. é menor que a aceleração centrífuga do sólido. Sólido desloca-se radialmente para fora. ^ ^ ^ Seção - I Aplicação

34 IM250 Prof. Eugênio Rosa Escoamento Secundário: Tea Cup Flow (filme)filme Vaso cilíndrico com escoamento de linhas de corrente circulares e concêntricas. Devido a curvatura das linhas de corrente P 2 >P 1 pois o gradiente de pressão deve ‘equilibrar’ a força centrífuga. Próximo ao fundo do vaso a viscosidade impede que o fluido tenha movimento tangencial, a força centrífuga diminui e o gradiente de pressão P 2 -P 1 ‘empurra’ o fluido para o centro do vaso criando a corrente secundária. P2P2 P1P1 Seção - I

35 IM250 Prof. Eugênio Rosa Escoamento Secundário: Dutos e Canais Curvos A curvatura do canal estabelece um gradiente de pressão de (1) para (2). No fundo do canal a viscosidade impede que o fluido ganhe velocidade tangencial (não deslizamento) mas o gradiente de pressão impõe o escoamento de (1) para (2) Seção - I

36 Formação de Curvas e Lagos em Rios O escoamento secundário é um dos mecanismos físicos que atua nos fenômenos de: assoreamento das margens de rios, formação de curvas em rios, e, eventualmente, formação de lagoas. Seção - I

37 IM250 Prof. Eugênio Rosa Seção I-B A Equação de Bernoulli é Válida Somente ao Longo de Uma Linha de Corrente? - generalização para casos 3D - Seção - II39

38 IM250 Prof. Eugênio Rosa Para responder esta pergunta é necessário reescrever a eq. de Euler com o auxílio das identidades vetoriais: sendo. Substituindo estas definições em Euler: (+) por hipótese um processo isoentrópico: p 1 /ρ 1  = p 2 /ρ 2  Seção - II Observe similaridade com Euler ao longo de uma L.C.

39 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Euler para Escoamento Irrotacional Se o escoamento for irrotacional o campo de velocidades é definido pelo potencial de velocidades e a vorticidade é identicamente nula: Nestas condições a eq. Euler reduz para: Pode-se definir um novo potencial  ’ tal que:  ’=  +  h(t)dt. Substituindo na expressão encontra-se h(t) = f(t), para que sempre seja verdadeira h(t) = f(t)=C portanto ela não depende de ‘t’: O termo destacado pode depender do tempo, por ex: f(t), mas f(t) é desconhecido e não possui significado físico. Seção - II com C válido para qualquer ponto no escoamento

40 IM250 Prof. Eugênio Rosa Geração Vorticidade pela Viscosidade Vorticidade gerada pelo cisalhamento entre camadas de fluidos. Bernoulli é aplicável fora desta região. Vorticidade gerada nas paredes. Bernoulli aplica-se somente no núcleo que está acelerando. Vorticidade gerada nas paredes e transportada para a esteira. Bernoulli é aplicável fora da região de esteira. Seção - II Veja geração de vorticidade por aquecimento nos ‘Slides Complementares’

41 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Euler para Escoamento Irrotacional (cont.) Para um processo reversível, adiabático e irrotacional a equação de Euler reduz para uma equação escalar, uma incrível simplificação! Seção - II Junto com a equação da massa, e com a relação isentrópica:  =  P  c 2(+), as variáveis P e  podem ser determinadas. (+) c é a velocidade de propagação do som, c 2 =  p/  | s

42 IM250 Prof. Eugênio Rosa Eq. Euler para Escoamento Irrotacional A constante ‘C’ passa a ser válida para qualquer região do domínio: Seção - II Esta equação pode ser simplificada para dois casos: a)Um deles é para regime permanente onde o potencial não varia com o tempo e há um balanço entre pressão, velocidade: b)O 2º caso ocorre ligado a grandes pressões presentes no início do escoamento gerado pelo movimento impulsivo de uma fronteira:

43 IM250 Prof. Eugênio Rosa Seção I - C A Relação de Bernoulli com as 1 a e 2 a Leis da Termodinâmica e o Teorema de Crocco Seção - III Até o momento Bernoulli foi analisado a partir da integração da equação de Euler; Pretende-se analisar Bernoulli a partir das 1ª e 2ª leis da termodinâmica. 45

44 IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli & 1 a Lei para Regime Permanente Bernoulli – 1 a Lei (+) – Pelo fato que ambas equações possuem: o as mesmas unidades (energia específica) e o termos semelhantes Pode-se imaginar que, sob determinadas condições, estas equações sejam linearmente dependentes! (+) ‘u’ é a energia interna específica Seção - III

45 IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli & 1 a Lei  q = w eixo = 0 Igualando Bernoulli com a 1ª lei e fazendo os estados (1) e (2) se aproximarem encontra-se: Considerando que: dh = V dP+Tds, logo para ser verdadeira a igualdade é necessário que o escoamento seja isoentrópico. ds=0 valida a hipótese de escoamento barotrópico (seção I)! é o volume específico (m 3 /kg) Bernoulli ↔ 1 a Lei Seção - III =

46 IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli: um Caso Particular da 1ª Lei Quando o processo for: 1.Reversível  s gen = 0 2.Sem trabalho eixo  w =0 3.Sem Transf. de Calor  s in = s out 1ª Lei e Bernoulli e são concidentes: Resta esclarecer dependência com a vorticidade. Ela está relacionada com a pressuposta uniformidade das propriedades nas fronteiras. Seção - III ao longo L.C.→ ω ≠ 0 qualquer pto.→ ω = 0 Releitura Bernoulli: a energia total se conserva! Para fluidos com densidade constante calor e energia mecânica ficam desacoplados, veja discussão nos ‘Slides Complementares’.

47 IM250 Prof. Eugênio Rosa Teorema de Crocco (1937) Escoamento em regime permanente e isoentrópico: Aplicando  no lado direito da expressão chega-se ao  C: Luigi Crocco – Italiano (  1908  1986) (+)  não é apenas função de P; Seção - III (+) s ≠ c te  Bernoulli não existe s = c te  C válido ao longo L.C.  C válido qualquer ponto C é um parâmetro que depende de s e  : 

48 IM250 Prof. Eugênio Rosa Uniformidade de C ao Longo Linha Corrente Multiplicando-se ambos os lados da eq. de Crocco pelo arco da linha de corrente, d l O 2º termo é nulo pq é sempre normal à linha de corrente! Resta: dldl Para que C seja uniforme (  C  0) ao longo de uma linha de corrente é necessário escoamento isoentrópico. Seção - III

49 IM250 Prof. Eugênio Rosa Uniformidade de C para Qualquer Ponto Se o escoamento for irrotacional e isoentrópico então: dldl 0, s = const. 0,  = 0 C é uniforme em todo escoamento e não somente ao longo de uma linha de corrente. Seção - III

50 IM250 Prof. Eugênio Rosa Seção I - D Estudo de casos particulares Fluido com densidade constante Escoamento transiente

51 IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli para fluido com densidade constante Em um processo reversível com um fluido  =c te a transf. de calor altera a energia interna mas a energia mecânica (P, V e g) permanece c te porque não há trabalho de compressão. Em primeira ordem (+) as relações entre calor e energia mecânica ficam desacopladas: Neste cenário pode-se mostrar que a equação da energia mecânica coincide com a eq. Euler. Partindo da eq. energia mecânica: (+) a transf. calor pode alterar as prop. transporte e, indiretamente, alterar campo de escoamento Substituindo K = V.V/2 e considerando  c te. :    Mas V=    

52 IM250 Prof. Eugênio Rosa Bernoulli para fluido com densidade constante, II Para um fluido com densidade constante as restrições para aplicação de Bernoulli ficam mais relaxadas daquelas para o fluido compressível. Quando o processo for: 1.Reversível  s gen = 0 (sem atrito,  = 0) 2.Sem trabalho eixo  w =0 Bernoulli e eq. Energia mecânica são concidentes mas a uniformidade de C depende se há ou não transferência de calor e vorticidade:  ao longo L.C. qualquer pto→ ω=0 → ω≠0

53 IM250 Prof. Eugênio Rosa Análise para Regime Transiente

54 IM250 Prof. Eugênio Rosa Demonstração Euler Transiente ↔ 1ª Lei Formalmente não foi demonstrado se Euler transiente e compressível satisfaz a 1ª lei. A igualdade será demonstrada partindo da 1ª lei, com as hipóteses: irrotacional, reversível e adiabático para chegar em Euler transiente. 1 a Lei – s/ transf. calor e s/ efeitos viscosos (função dissipação nula): Para um processo isoentrópico: Subst. Du/Dt e usando o fato que Dρ/Dt= - ρ .V A equação acima é identificada como de transporte da En. Cinética. Ela é obtida multiplicando por V a eq. Navier Stokes

55 IM250 Prof. Eugênio Rosa Demonstração Euler Transiente ↔ 1ª Lei (cont.) Colocando em evidência V: Subst. V=  chega-se a: Ou exatamente na forma de Euler transiente Abrindo os termos c/ K, e expressando em 

56 IM250 Prof. Eugênio Rosa Conclusões (I) Bernoulli requer escoamento isoentrópico,  =  (P), mas uniformidade de C depende se o esc. for rotacional ou não! Válido ao longo de uma L.C. Regime permanente Válido p to escoamento Regime trans + perm. Escoamento Rotacional Escoamento Irrotacional, 55 Veja demonstração de que Bernoulli irrotacional é coincidente com a 1ª lei transiente nos ‘Slides Complementares’

57 IM250 Prof. Eugênio Rosa Escoamento rotacional -> cada linha de corrente possui uma energia total distinta da outra. Qual é a diferença física entre os escoamentos rotacional e irrotacional para que C valha somente ao longo da L.C. ou seja uniforme para qualquer ponto  Escoamento irrotacional -> todas linhas de correntes possuem a mesma energia total. C1C1 C2C2 C4C4 C5C5 C6C6 C7C7 C 1 = C 2 = C 3 = C

58 IM250 Prof. Eugênio Rosa Conclusões (II) A equação de Bernoulli requer escoamento isoentrópico,  =  (P). Matematicamente é necessário que a viscosidade e a condução térmica do fluido sejam nulas. Isto por definição é um fluido perfeito (ou ideal): Considerando um fluido real (  e k não nulos) e escoamento irrotacional (ou rotacional) não garante que  e  T sejam nulos! Porém assegurando as condições: i.ausência transferência de calor ii.restringindo para Re >>1 em regiões onde o efeito da viscosidade é desprezível, p. ex., exterior C.L., sem separação Então Ds/Dt  0 garante a aproximação de Bernoulli! 00 ≠  Veja definição de  nos ‘Slides Complementares’

59 IM250 Prof. Eugênio Rosa Fim da parte I

60 IM250 Prof. Eugênio Rosa PARTE II Modelando fenômenos com Bernoulli: Escoamento incompressível Equações linearizadas (acústica) Escoamento compressível regime permanente Escoamento compressível 1D (invariantes de Reimann) Referencial não inercial (escoamento geotrópico)

61 IM250 Prof. Eugênio Rosa Equação de Massa e Q. Movimento Os campos de velocidades e de pressão são determinados, de forma geral, resolvendo-se simultaneamente as eqs. da massa e de Bernoulli : O sistema traz uma grande simplificação uma vez que a eq. Q. Mov. Foi reduzida para uma eq. escalar e a solução de P e V depende agora de suas equações escalares. O sistema de equações ainda pode ser melhor expresso em termos do potencial  e de P*.

62 IM250 Prof. Eugênio Rosa Equação de Massa e Q. Movimento Reconhecendo que: dP* = dP/ ,  P/  | s = c 2 e V= , então: O sistema de eqs. define de forma única  e P* para um fluido irrotacional, isoentrópico e homogêneo desde que aplicadas as condições de contorno. O sistema é não linear e não possui uma solução geral, entretanto pode ser extraídas soluções aproximadas.

63 IM250 Prof. Eugênio Rosa Casos Particulares a)Fluidos incompressíveis (  = constante) b)Velocidade V/c << 1, equação acústica c)Regime permanente e compressível d)Uni-dimensional, compressível e transiente A seguir será analisado cada um dos casos particulares.

64 IM250 Prof. Eugênio Rosa A velocidade do som ‘c’ é uma propriedade do material e é genericamente definida em função do módulo de elasticidade E; c 2 = E/  ‘E’ é definido para cargas de tensão ou compressão e expressa a razão entre tensão e taxa de deformação: E = dP/(d  /  ) ou E   dP/d . Substituindo na definição de c, encontra-se c 2 = dP/d .

65 IM250 Prof. Eugênio Rosa (a) Fluido Incompressível (ii) Se incompressível, E   assim como c  , logo toda informação do contorno é transmitida para todo domínio instantaneamente. Neste caso massa reduz para: O potencial está desacoplado da pressão. Resolve-se a equação de Laplace e depois determina-se a Pressão por meio de Bernoulli:

66 IM250 Prof. Eugênio Rosa (b) Acústica (i) Quando a velocidade for muito pequena ou  /c << 1 a variação na densidade produzida por ‘g’ for desprezível, as eqs. Massa e Bernoulli reduzem para Inserindo P* de Bernoulli na eq. Massa encontra-se:  e P estão desacoplados e definidos pela eq. de onda! Aplicando  /  t na massa e substituindo  /  t de Bernoulli:

67 IM250 Prof. Eugênio Rosa (b) Acústica (ii) Para que o escoamento seja isoentrópico (sem choques), ds = 0, é necessário que d  /   0. Logo  =  0 +  ’ e P=P 0 +p onde ‘0’ é um estado base e  ’ e p são flutuações: Se dP* = dP/  então  P*=(1/  )  P,  2 P*/  t 2 = (1/  )  2 P/  t 2 e  2 P*=(1/  )  2 P logo: Uma solução geral para caso 1D onde ‘c’ = constante é:

68 IM250 Prof. Eugênio Rosa (b) Acústica (iii) A solução da pressão acústica para uma onda plana é: A e B são as amplitudes das ondas que deslocam ao longo das direções +x e –x, respectivamente;  e k são a frequência e o número de onda tais que (  /c) 2 = k 2 O potencial vem de Bernoulli: O campo de velocidades vem do potencial

69 IM250 Prof. Eugênio Rosa (c) Fluido Compressível e Regime Permanente (i) Para regime permanente as eqs. Massa e Bernoulli reduzem para: Substituindo a definição de P* de Bernoulli na massa: Expandindo em termos de  a equação acima chega-se à equação do potencial de velocidade: ‘c’ também é variável e depende de 

70 IM250 Prof. Eugênio Rosa (c) Fluido Compressível e Regime Permanente (ii) Considerando um estado de estagnação, ‘0’, pode-se definir que: Como ‘c 0 ’ é constante, a eq. fornece ‘c’ em função do potencial. A equação acima está acoplada com a eq. abaixo: Estas duas equações devem ser resolvidas simultaneamente sujeitas as condições de contorno. Estas equações são não-lineares válidas para escoamentos irrotacionais, isoentrópicos em regimes subsônicos, transônicos e supersônicos. Para escoamento incompressível, c   ela reduz para  2  =0

71 IM250 Prof. Eugênio Rosa (d) Escoamento 1D compr. & trans. (i) O escoamento 1D permite simplificações no tratamento das equação da Massa e Bernoulli. Considere que  =  (x,t) e u = d  /dx, além disto multiplique Bernoulli por c: O sistema de equações não lineares definido pela massa e Bernoulli é: Some termo a termo as eqs:

72 IM250 Prof. Eugênio Rosa (d) Escoamento 1D compr. & trans. (ii) De modo similar pode-se subtrair Bernoulli da massa de tal maneira que as somas das derivadas lagrangeanas nos caminhos dx/dt = u  c é nula: Isto sugere que a soma do valor delas é uma constante: A linha onde a derivada é nula é uma linha característica. O valor de  dp/  c  u é um invariante de Riemann. Pode-se mostrar, utilizando as identidades: (p/p 1 )=(  /  1 )  ; (c/c 1 )=(p/p 1 ) (  -1)/2  e c 2 =  P/ , que:

73 IM250 Prof. Eugênio Rosa (d) Escoamento 1D compr. & trans. (iii) As eqs abaixo mostram que os invariantes de Riemann são transportados sem variação dos seus valores ao longo de suas linhas características. A eq. Euler/Bernoulli junto com a massa permitem uma solução tipo ‘onda’: A forma das eq. acima constituem a base do método das características. x tp 1 2 c 1, u 1 c 2, u 2

74 IM250 Prof. Eugênio Rosa Referencias não Inerciais (forças em sistemas rotativos) Assista ‘Rotating Flows’ e leie também ‘Film Notes’Rotating FlowsFilm Notes

75 IM250 Prof. Eugênio Rosa Ref. Não Inercial x não uniformidade de C Forças de campo não conservativas, p. exemplo força de Coriolis num referencial rotativo não inercial, fazem com que Bernoulli não seja válido para qualquer ponto: A força centrífuga é conservativa pq. pode ser expressa por um potencial (gradiente), semelhante à força de campo: Neste caso a Eq. Crocco mostra que C não é uniforme:  R R’ 0

76 IM250 Prof. Eugênio Rosa Escoamento Geostrópico A razão entre força de inércia e coriolis define o n. de Rosby Escoamento dominado pela força de Coriolis, típico na atmosfera, ocorre quando Ro << 1, portanto a equação de Euler reduz para: 1.O gradiente de pressão é normal as linhas de corrente! 2.A pressão é constante ao longo de uma linha de corrente!

77 IM250 Prof. Eugênio Rosa Efeito de Rotação (Rotating Flow – Dave Fultz NCFMF book) O tanque gira no sentido anti- horário e um jato é introduzido no tanque. O termo Coriolis causa uma força normal ao jato defletindo-o no sentido horário. 22 V -2  xV V 22

78 IM250 Prof. Eugênio Rosa Porque os furacões no hemisfério N giram no sentido anti-horário e no S no sentido horário? Ciclone em Sta. Catarina, 2004 Sentido: horário Ciclone Fran, golfo do México, 1996 Sentido: anti- horário

79 IM250 Prof. Eugênio Rosa Consequência esc. Geotrópico na circulação da atmosfera do planeta Linhas isobáricas coincidem com as linhas de corrente (direção dos ventos), O gradiente pressão varia normal as linhas de corrente. Quanto maior for  P maior a velocidade dos ventos

80 IM250 Prof. Eugênio Rosa Bibliografia 1.Anderson, J.D., 1982, Modern Compressible Flow, McGraw Hill. 2.Batchelor GK, 1967, An Introduction to fluid dynamics, Cambridge Un. Press. 3.Darrigol, O., 2009, Worlds of flow: a history of hydrodynamics from Bernoulli to Prandtl, Oxford Press. 4.Joseph, D.D., 2006, Potential flow of viscous fluids: Historical notes, IJMF, 32, pp. 285–310. 5.Lamb H, 1932, Hydrodynamics, Dover. 6.Lighthill, J., 1986, An informal introduction to theoretical fluid mechanics, Oxford Press 7.Prandtl L. and Tietjens O.J., 1934, Fundamentals of hydro and aeromechanics, Dover. 8.Rosa, E.S.,2002, Formas diferenciais eqs. transporte, Apostila http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS%20E%20MINI-CURSOS/EQ%20TRANSPORTE/EQ%20TRANSPORTE.pdf http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS%20E%20MINI-CURSOS/EQ%20TRANSPORTE/EQ%20TRANSPORTE.pdf 9.Shapiro AH, 1972, The NCFMF book of film notes, MIT Press. 10.Wiki-book - fundamentals of acousticfundamentals of acoustic

81 IM250 Prof. Eugênio Rosa Geração de Vorticidade: Adição de Calor No contexto de Bernoulli, fluidos incompressíveis conservam a energia mecânica. Havendo transferência de calor ela se transformará em energia interna mas não modificará a en. mecânica (P, z e V). Entretanto, a transferência de calor pode gerar vorticidade e pode impedir que Bernoulli seja válido para qualquer ponto. A geração de vorticidade será analisada por meio da taxa de Circulação: A taxa de variação de  seguindo um elemento de fluido para um fluido incompressível pode ser expressa por: onde C é uma curva fechada que encerra uma superfície S.

82 IM250 Prof. Eugênio Rosa Geração de Vorticidade: Adição de Calor (cont.) Considerando que os efeitos viscosos sejam de 2ª ordem devido a aproximação Re >>1 o termo  x  2 V será descartado. A identidade vetorial rot(grad(  ))=0 faz com que  x  gz = 0, isto é, não há torques devido as forças de campo. A taxa de variação de  simplifica para: Não haverá variação em  desde que  ρ e  P sejam paralelos, ou seja, barotrópicos ρ=f(P). Entretanto para aquecimento frequentemente  ρ e  P não são paralelos, veja figura. A intensidade deste mecanismo pode variar entre desprezível a significativa.

83 IM250 Prof. Eugênio Rosa Nomenclatura Variáveis C – constante de Bernoulli c – velocidade do som g – vetor acel. gravidade h – entalpia específica h – cota na direção normal à L.C. k – versor paralelo eixo z l – comprimento da L.C. L.C. – linha de corrente Ma – número de Mach n – versor normal a L.C. P – pressão R c – raio de curvatura s – versor tangente a L.C. s - entropia t – tempo u – energia interna específica V – vetor velocidade v – volume específico z – cota vertical Símbolos gregos  - função dissipação viscosa  - razão calores específicos  - função potencial  - viscosidade dinâmica  - densidade  - vetor vorticidade Símbolos matemáticos  - operador nabla  x i x – produto vetorial ^ ^ ^   