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MOEDELAGEM E SIMULAÇÃO HIDROLÓGICA ESCOAMENTO
PROF. CARLOS RUBERTO FRAGOSO JR. PROF. MARLLUS GUSTAVO F. P. DAS NEVES
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Tópicos Importância do Escoamento Tipos de Escoamento
Equações do escoamento não permanente ou equações hidrodinâmicas Equação da continuidade Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica Simplificações das Equações de Saint Venant Onda cinemática Propagação de cheias em rios O método Muskingum O metodo de Pulz - reservatórios
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Importância do Escoamento
Precipitação que não infiltra pode se acumular sobre a superfície e pode se movimentar sobre a superfície escoamento superficial Outras formas de escoamento = subsuperficial, subterrâneo Escoamento superficial é muito importante na hidrologia porque admite-se que é o responsável pelos picos dos hidrogramas (cheias) Escoamento está relacionado à disponibilidade da água para usos múltiplos Escoamento transporta sedimentos, matéria orgânica, nutrientes e organismos
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Tipos de Escoamento na bacia
Tipos e características do Escoamento Tipos de Escoamento na bacia Escoamento superficial Escoamento sub-superficial Escoamento subterrâneo
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Fase terrestre no ciclo hidrológico
Tipos e características do Escoamento Fase terrestre no ciclo hidrológico Esc. superficial Esc. sub-superficial Esc. subterrâneo
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Fase terrestre no ciclo hidrológico
Tipos e características do Escoamento Fase terrestre no ciclo hidrológico Para onde vai o escoamento superficial? Escoamento até a rede de drenagem rios e canais Reservatórios
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Tipos de escoamento bacia
Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Superficial Sub-superficial ? Subterrâneo
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Tipos de escoamento bacia
Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Chuva, infiltração, escoamento superficial
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Tipos de escoamento bacia
Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Chuva, infiltração, escoamento superficial, escoamento subterrâneo Camada saturada
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Tipos de escoamento bacia
Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Escoamento sub-superficial
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Tipos de escoamento bacia
Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Depois da chuva: Escoamento sub-superficial e escoamento subterrâneo Camada saturada
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Tipos de escoamento bacia
Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Estiagem: apenas escoamento subterrâneo Camada saturada
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Tipos de escoamento bacia
Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Estiagem: apenas escoamento subterrâneo Camada saturada
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Tipos de escoamento bacia
Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Estiagem: apenas escoamento subterrâneo Camada saturada
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Tipos de escoamento bacia
Tipos e características do Escoamento Tipos de escoamento bacia Estiagem muito longa = rio seco Rios intermitentes Camada saturada
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Geração de escoamento superficial
Tipos e características do Escoamento Geração de escoamento superficial Precipitação que atinge áreas impermeáveis, áreas com capacidade de infiltração limitadas, áreas de alta declividade,... Processo hortoniano escoamento superficial hortoniano Intensidade de precipitação excede a capacidade de infiltração Escoamento superficial em áreas saturadas Saturação do horizonte superficial do solo Fluxo direto (preferencial) Infiltração e percolação rápidas em macroporos (fendas, buracos de raízes, ...)
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Tipos e características do Escoamento
Áreas Impermeáveis Telhados Ruas Passeios General audience Planners Detailed spatial planning should not disable implementation of broad spectrum of individual SUDS techniques Provide space for links with downstream SUDS elements Developers Providing links with preventive measures Choosing or selecting the most appropriate solution for individual household Assessing the links with downstream SUDS units Preventing the adverse effects on environmentally sensitive areas Geração de escoamento superficial é quase imediata Infiltração é quase nula
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Áreas de capacidade de infiltração limitadas
Tipos e características do Escoamento Áreas de capacidade de infiltração limitadas Gramados Solos Compactados Solos muito argilosos General audience Planners Detailed spatial planning should not disable implementation of broad spectrum of individual SUDS techniques Provide space for links with downstream SUDS elements Developers Providing links with preventive measures Choosing or selecting the most appropriate solution for individual household Assessing the links with downstream SUDS units Preventing the adverse effects on environmentally sensitive areas Capacidade de infiltração é baixa
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Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
Tipos e características do Escoamento Intensidade da chuva x capacidade de infiltração Precipitação Escoamento Infiltração tempo Infiltração
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Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
Tipos e características do Escoamento Intensidade da chuva x capacidade de infiltração Considere chuva com intensidade constante Infiltra completamente no início Gera escoamento no fim Precipitação Infiltração início do escoamento Intensidade da chuva Capacidade de infiltração tempo
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Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
Tipos e características do Escoamento Intensidade da chuva x capacidade de infiltração Considere chuva com intensidade constante Infiltra completamente no início Gera escoamento no fim Precipitação Infiltração início do escoamento Intensidade da chuva Capacidade de infiltração tempo volume infiltrado
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Intensidade da chuva x capacidade de infiltração
Tipos e características do Escoamento Intensidade da chuva x capacidade de infiltração Considere chuva com intensidade constante Infiltra completamente no início Gera escoamento no fim Precipitação Infiltração início do escoamento volume escoado Intensidade da chuva Capacidade de infiltração tempo volume infiltrado
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Escoamento em áreas de solo saturado
Tipos e características do Escoamento Escoamento em áreas de solo saturado Precipitação Infiltração
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Escoamento em áreas de solo saturado
Tipos e características do Escoamento Escoamento em áreas de solo saturado Precipitação Solo saturado
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Escoamento em áreas de solo saturado
Tipos e características do Escoamento Escoamento em áreas de solo saturado Precipitação Solo saturado Escoamento E mesmo que as características do solo propiciem alta, a capacidade de infiltração a taxa de I é baixa
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Geração de escoamento superficial
Tipos e características do Escoamento Geração de escoamento superficial Intensidade da precipitação é maior do que a capacidade de infiltração do solo Processo hortoniano (Horton, 1934) I (mm/h) Q (mm/h) F (mm/h) Q = I – F
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Geração de escoamento superficial
Tipos e características do Escoamento Geração de escoamento superficial Precipitação atinge áreas saturadas Processo duniano (Dunne) Q (mm/h)
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E isto tudo pode ocorrer na mesma bacia e no mesmo instante!
Fonte: Rampelloto et al. 2001
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Hidrograma Hidrograma Representação gráfica da vazão ao longo do tempo
Resultado da interação de todos os componentes do ciclo hidrológico
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Hidrograma 1
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Hidrograma 2
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Hidrograma 3
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Hidrograma 4
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Hidrograma 5
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Hidrograma 6
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Hidrograma 7
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Hidrograma 8
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Hidrograma 9
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Hidrograma 10
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Hidrograma 11
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Hidrograma 12
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Hidrograma 13
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Hidrograma 14
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Hidrograma 15
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Hidrograma 16
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Formação do Hidrograma
Tipos e características do Escoamento Formação do Hidrograma Superficial e Escoamento subterrâneo Sub-superficial 1 – Início do escoamento superficial 2 – Ascensão do hidrograma 3 – Pico do hidrograma 4 – Recessão do hidrograma 5 – Fim do escoamento superficial 6 – Recessão do escoamento subterrâneo 3 2 4 5 6 1
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Tipos e características do Escoamento
Difuso x concentrado Escoamento difuso ocorre na bacia, sobre superfícies ou em pequenos canais efêmeros tem profundidade pequena e largura indefinida Escoamento concentrado ocorre em canais num rio, por exemplo, tem profundidade maior e largura definida Até onde o escoamento é considerado difuso vai depender da escala em que o fenômeno vai ser representado
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Tipos e características do Escoamento
Outros Escoamento num conduto pode estar sob pressão, mas tem seção constante Escoamento num lago sofre atuação de forças como a do vento e de Coriolis (grandes lagos) Fundamentos dos escoamentos Mecânica dos fluidos e hidráulica (equações da continuidade, Euler, Navier-Stokes) Retratam-se os processo nas 3 dimensões e no tempo (caso geral) Rios direção predominante longitudinal equações unidimensionais de Saint Venant
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ESCOAMENTO: MODELOS DE RIOS E RESERVATÓRIOS
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Tipos e características do Escoamento
Comportamento em rios e reservatórios rios Hidrograma de entrada Hidrograma de saída Ocorre atenuação: Armazenamento Atrito (efeitos dinâmicos) Igual a este (sem Qlateral) Volume armazenado acumulado
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Tipos e características do Escoamento
Comportamento em rios e reservatórios
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I Q S Tipos e características do Escoamento
Comportamento em rios e reservatórios rios Z2 Pode haver o mesmo S para cotas Z diferentes Z1 I Q S
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I Q S2 S1 Tipos e características do Escoamento
Comportamento em rios e reservatórios reservatórios Relação biunívoca Z x S Velocidade pequena Linha d’água horizontal Z2 S2 I Q S1 Z1
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Tipos e características do Escoamento
Comportamento em rios e reservatórios reservatórios h h S Q Q S
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Tipos e características do Escoamento
Comportamento em rios e reservatórios reservatórios
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Equações hidrodinâmicas
Hipóteses (Escoamento não permanente em canais) Escoamento unidimensional Distribuição de pressão hidrostática declividade menor que 10% (Baptista e Lara, 2010) Canal de baixa declividade menor que 15% (Fread, 1993 – handbook of hydrology) Fluido incompressível e homogêneo com vazão dada por Q (x,t) = V(x,t).A(x,t) Perda de carga no regime variado computada por uma equação de resistência do regime permanente e uniforme Funções contínuas em relação ao tempo t e ao espaço x
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Equações hidrodinâmicas
Equação da continuidade Volume de controle elementar de comprimento dx escoamento entre as seções 1 e 2 x medida ao longo do canal, A a área molhada, y altura, profundidade ou tirante de água, B a largura da superfície livre, V a velocidade média na seção 1
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Equações hidrodinâmicas
Equação da continuidade Equação integral Fluido incompressível Obs.: sem aporte lateral
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Equações hidrodinâmicas
Equação da continuidade A variação de volume é resultado de uma modificação na superfície livre B (x,y) dy A (x,y)
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Equações hidrodinâmicas
Equação da continuidade O fluxo na superfície de controle é resolvido expandindo-se Vx.A na série de Taylor
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Equações hidrodinâmicas
Equação da continuidade A equação resultante Canais com declividade fraca Vx pode ser considerada igual à V = Q/A (vel. média na seção) q vazão lateral (Q por unidade de comprimento) negativa (influxo) e positiva (efluxo ou saída)
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Equações hidrodinâmicas
Equação dinâmica Forças Devido à pressão hidrostática nas seções 1 e 2 Força gravitacional no sentido do escoamento Força de atrito nas paredes e no fundo do canal
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Equações hidrodinâmicas
Equação dinâmica
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Equações hidrodinâmicas
Equação dinâmica Um processo semelhante ao da equação da continuidade leva a: Ver Hidráulica básica de Rodrigo de Melo Porto, capítulo 14
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Equações hidrodinâmicas
As equações foram estabelecidas pela primeira vez por Adémas Jean-Claude Barré, conde de Saint Venant, engenheiro francês ( ) Constituem um sistema de equações com duas incógnitas, em derivadas parcias de x e de t
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Equações hidrodinâmicas
Também são escritas como abaixo (continuidade e quantidade de movimento)
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Equações hidrodinâmicas
Equação dinâmica significado dos termos Termo de gravidade Termos de inércia Termo de pressão Termo de atrito
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Importância dos termos da equação dinâmica em rios Determinada pela situação hidráulica do curso d’água (declividade, largura da seção, ...) Henderson (1966) para rios com I0 > 0,02 m/m termos de inércia, em geral, muito pequenos, podendo ser desprezados força da gravidade preponderante Cunge (1980) ordem de grandeza dos termos de inércia = 10-5, enquanto dos termos de atrito e gravidade = 10-3
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Importância dos termos da equação dinâmica em rios Exemplo rio Kitakami (A=7.860 km2) Máximo 1,5% Normal <1%
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Importância dos termos da equação dinâmica em rios Exemplo rio Kitakami (A=7.860 km2) Termo de pressão é pequeno Termo de advecção e termo de variação temporal da quantidade de movimento são muito pequenos frente aos outros termos
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Simplificações das Equações de Saint Venant
O que queremos representar com os modelos? Efeitos que ocorrem com a onda de cheia quando se propaga ao longo de um rio ou canal Que efeitos são esses? Ocorre atenuação e deslocamento devido ao: Armazenamento tanto na calha normal como nas áreas de inundação Atrito com as superfícies do canal e difusão devido ao gradiente de pressão
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Translação (deslocamento) A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Amortecimento A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Efeito de jusante A h em B (maré) B Q Hidrograma em A Hidrograma em B t
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Onda cinemática e modelos de armazenamento
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Tópicos Importância do Escoamento Tipos de Escoamento
Equações do escoamento não permanente ou equações hidrodinâmicas Equação da continuidade Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica Simplificações das Equações de Saint Venant Onda cinemática Propagação de cheias em rios O método Muskingum O metodo de Pulz - reservatórios
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Voltando aos termos da equação dinâmica Eles podem ser considerados como uma representação de um gradiente ou declividade Permanente e uniforme Não permanente e não uniforme Permanente e não uniforme
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Voltando aos termos da equação dinâmica Eles podem ser considerados como uma representação de um gradiente ou declividade Permanente e uniforme Não permanente e não uniforme Permanente e não uniforme
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Voltando aos termos da equação dinâmica Desprezando todos os termos de inércia Associando esta equação dinâmica à equação da continuidade base do modelo de difusão ou não inercial Aplicado quando não há grande variação temporal e espacial de V
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Voltando aos termos da equação dinâmica Desprezando também o termo de pressão Associando esta equação dinâmica à equação da continuidade base do modelo de onda cinemática se não há variação da linha d’água movimento uniforme (UM)
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada Não utilizam a equação dinâmica
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Critérios (Fread, 1993 – handbook of hydrology) Modelos de onda cinemática e difusão: relação y x Q biunívoca e o produto do tempo de ascensão do hidrograma pela declividade de fundo não seja pequeno Onda cinemática (Erro em relação aos modelos com equações completas)
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Critérios (Fread, 1993 – handbook of hydrology) Modelos de onda cinemática e difusão: relação y x Q biunívoca e o produto do tempo de ascensão do hidrograma pela declividade de fundo não seja pequeno Difusão (Erro em relação aos modelos com equações completas)
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Parâmetros importantes: grande variedades de valores possíveis Canais de declividades suaves e ondas de cheia que sobem rapidamente TrS0 pequeno modelos com equações completas de Saint Venant
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Partindo de uma expressão do escoamento uniforme como a de Chézy Desprezam-se Onda cinemática
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
As duas equações juntas da Onda cinemática Como é possível MU (geralmente associado ao escoamento permanente) e uma variações de Q com x e de A com t? OU
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
A onda passa ... Durante e após sua passagem sem mudança na declividade da linha d’água (escoamento principal) não há desequilíbrio por causa de forças de pressão as forças de resistência se equilibram com a gravidade y2 Q2 Q1 y1
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Relação biunívoca entre Q e V e y Não biunívoca nas equações completas largura do laço indica importância relativa dos termos de inércia e pressão
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Relação Q = f(y) cota-descarga ou curva chave Esc. Não perman. Q para 2 para duas prof. Y onde de cheia em ascenção ou depleção influência do termo de aceleração local (1/g)(∂V/ ∂t)
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Relação Q = f(y) cota-descarga ou curva chave Nível máximo da água atingido não corresponde à máxima vazão, que ocorre antes dele Linha tracejada escoamento uniforme onda cinemática
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Q = f(y) A = f(y) A = f(Q) e Q = f(A) y A A Q
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Conceito de onda cinemática introduzido por Lighthill e Whitham (1955) Na equação da continuidade Por outro lado
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Celeridade da onda cinemática Espaço percorrido em Dt Só admite valores positivos (sentido da corrente)
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Outras formas de escrever a equação
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Propriedades da onda cinemática Propaga-se somente pra jusante O aspecto não muda ao longo do percurso, não havendo atenuação da altura da onda Percurso em Dt
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Propriedades da onda cinemática Onda cinemática não tem dispersão nem difusão (sem amortecimento) A onda é transladada sem sofrer alterações na forma A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Propriedades da onda cinemática Demonstração que o termo ∂V/∂A é sempre positivo a celeridade é superior à velocidade média do regime uniforme velocidade de propagação
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Quando usar o modelo de onda cinemática? ∂y/∂x desprezado não usar onde há efeito de jusante (canais próximos a lagos, barragens, estuários, estrangulamentos, oceanos ou rios maiores) força da gravidade preponderante escoamento unidirecional (montante para jusante)
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Quando usar o modelo de onda cinemática? Usados em modelos chuva-vazão (escoamento superficial) não são recomendados para canais, exceto quando o hidrograma ascende devagar, a declividade é moderada para íngreme e a atenuação do hidrograma é bastante pequena.
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
verifiquem
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Qp Montar o hidrograma de entrada no trecho Propagá-lo 2.1. Calcular y para cada Q (Manning) 2.2. Calcular CK para cada y 2.3. Calcular o tempo de viagem Dt = L/CK Q Q0 t
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
Montagem o hidrograma de entrada no trecho
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
2) Propagação
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
2) Propagação
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Simplificações das Equações de Saint Venant onda cinemática
2) Propagação
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Simplificações das Equações de Saint Venant
Propagação de cheias em rios Para escapar do trabalho com as equações completas (Saint Venant) modelos menos complexos para se propagar cheias em rios chamados modelos hidrológicos ou de armazenamento não levam em consideração e equação da QM Os modelos com equações completas modelos hidráulicos ou hidrodinâmicos
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Propagação de cheias em rios métodos hidrológicos (armazenamento)
Equação da QM substituída por uma do tipo: S = f (I, Q, I’, Q’) S = kQ S = K [xI +(1- x) Q] S = a/Qb Reservatório linear simples Muskingum SSARR
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Propagação de cheias em rios métodos hidrológicos (armazenamento)
Não utilizam a equação dinâmica
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Propagação de cheias em rios métodos hidrológicos (armazenamento)
Baseiam-se nos conceitos de prisma de armazenamento e cunha de armazenamento Declividade da linha d’água I ≠ O
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Propagação de cheias em rios métodos hidrológicos (armazenamento)
Continuidade Relação Se Muskingum e
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O modelo Muskingum S = K[xI +(1- x)Q]
Desenvolvido por McCarthy em 1938 trabalhos e controle de cheias na bacia do rio Muskingum, EUA Baseia-se na equação da continuidade e relações aproximadas entre o armazenamento na calha e as vazões de entrada I e saída Q É do tipo concentrado no espaço Continuidade Relação S = K[xI +(1- x)Q]
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O modelo Muskingum Sprisma = KQ Scunha = Kx(I-Q) S = K[xI +(1- x)Q]
Ascenção I > Q K = tempo de viagem da vazão de pico ao longo do trecho X = fator de ponderação das vazões de entrada e saída (0 ≤ X ≤ 0,5) Canais naturais 0 ≤ X ≤ 0,3 Depleção Q > I S = K[xI +(1- x)Q]
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O modelo Muskingum Tanto I quanto Q variam com o tempo para um intervalo de tempo Dt aproximados pela média aritmética dos valores do início e do fim do intervalo Rearranjando os termos C1 + C2 + C3 = 1
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O modelo Muskingum K tempo médio de deslocamento da onda no trecho X ponderador entre as vazões de entrada e saída varia entre 0 e 0,5, com valor típico para muitas correntes naturais igual a 0,2 K, X, It, It+1 e Qt são conhecidos K e Dt devem estar na mesma unidade, horas ou dias
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O modelo Muskingum Os coeficientes C1 e C3 podem se tornar negativos de acordo com os valores dos parâmetros C1 negativo quando Dt/K é menor que 2X distância entre as seções é muito grande (valor alto de K) ou intervalo de tempo é muito pequeno evitar vazões negativas subdivide-se o trecho reduz o K de cada um ou se aumenta Dt
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O modelo Muskingum Os coeficientes C1 e C3 podem se tornar negativos de acordo com os valores dos parâmetros C3 negativo Dt/K é maior que 2(1-X) intervalo de tempo é muito grande evitar vazões negativas diminui-se o intervalo de tempo Dt
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O modelo Muskingum Para que os coeficientes da equação sejam positivos
Condições de estabilidade numérica 0,5 X 2 K / t D 1 Região válida
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O modelo Muskingum Faixa de validade dos parâmetros
I(t) Romper este limite K alto e a distância entre as seções alta criar subtrechos Romper este limite Dt alto reduzir Q(t)
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Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X K Diferença entre os centros de gravidade dos hidrogramas I e Q I Q K t X escolhido, geralmente, entre 0,1 e 0,3
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Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Se houver dados Tradicional Método da Laçada o volume acumulado ∑S é grafado contra a vazão ponderada xI + (1-x)Q para vários valores de X O gráfico que mais se aproximar de uma função linear é o que prever melhor o valor de X o coeficiente angular da reta é então o valor de K
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Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Se houver dados Tradicional Método da Laçada S/Δt X=X1 X= Xn Quando a inclinação mostra várias tendências K varia com a vazão sistema é não-linear tg = K xI+(1-x)Q S = K [xI +(1-x) Q]
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Determinação dos parâmetros K e X o gráfico armazenamento
O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X o gráfico armazenamento versus vazão ponderada visualização do que ocorre na cunha Início da enchente aumento do armazenamento segundo um gradiente íngreme Após o pico diminuição do armazenamento com gradiente menor e em sentido contrário
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Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Se houver dados Tradicional Método da Laçada
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Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Se houver dados Tradicional Método da Laçada
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K O melhor O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X
Se houver dados Tradicional Método da Laçada
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Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Mínimos quadrados minimização quadrática da função de armazenamento Tende a dar maior peso aos maiores valores (vizinhança do pico) Sc Di So
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Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Otimização de parâmetros Utilizar um dos métodos de otimização com restrições condições iniciais Nash (do modelo Nash) do primeiro momento de uma função linear diferença entre os CGs Do segundo momento
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Determinação dos parâmetros K e X
O modelo Muskingum Determinação dos parâmetros K e X Relação de momentos das funções Dooge (1982) Método considera o modelo linear e estima os parâmetros por características físicas velocidade Número de Froude profundidade Declividade do fundo Distância entre montante e jusante
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Tópicos Importância do Escoamento Tipos de Escoamento
Equações do escoamento não permanente ou equações hidrodinâmicas … Simplificações das Equações de Saint Venant O método Muskingum O método Muskingum-Cunge O método Muskingum-Cunge-Todini
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Voltando aos termos da equação dinâmica
O modelo de difusão Voltando aos termos da equação dinâmica Eles podem ser considerados como uma representação de um gradiente ou declividade Permanente e uniforme Não permanente e não uniforme Permanente e não uniforme
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O modelo de difusão despreza os termos de inércia do escoamento dinâmico pode ser usado onde não há grandes gradientes de velocidade considera os efeitos de jusante no escoamento de montante, como o próximo ao mar e confluência dos rios relação entre nível, vazão e declividade da linha d’água para uma seção de rio Equação dinâmica Equação da continuidade
136
Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada
O modelo de difusão Utilizam a equação dinâmica na forma simplificada
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O modelo de difusão A partir da equação dinâmica e usando Sf a partir da equação de Manning y Z datum Qo = vazão de escoamento sem efeito de jusante
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O modelo de difusão Positivo quando dZ/dx < 0
Se dZ/dx = S0 (dy/dx = 0) escoamento uniforme S0 = Sf condição de onda cinemática Permite corrigir uma curva de descarga sujeita a efeito de jusante, função da declividade da linha d’água Aplicabilidade (PONCE et al., 1978)
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O modelo de difusão Exemplos Afluente a um rio maior A B B A
Afluente ao mar ou lago
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O modelo de difusão Exemplos Afluência da bacia 2 Afluência da bacia 1
Canal de ligação Reservatório 1 Reservatório 2
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Funções da seção de um rio
O modelo de difusão h2 Funções da seção de um rio h1 Armazenamento ou Onda Cinemática h1 Para valores de h2 h Sem remanso Q Q dQ Com remanso
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O modelo de difusão
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O modelo de difusão Sem efeito de jusante Com efeito de jusante A B
ZA – ZB > 0,2 m Com efeito de jusante Q0
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Equação de convecção-difusão
O modelo de difusão Equação de convecção-difusão Obtida da forma seguinte: Derivando a eq. da continuidade em relação a x e a eq. Dinâmica (modelo de difusão) em relação a t Trabalhando em cima da derivada e K em relação a t Conhecida também como equação do calor
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Equação de convecção-difusão
O modelo de difusão Equação de convecção-difusão Os coeficientes dependem da vazão e da profundidade modelo não-linear É necessário fornecer condições de contorno de montante e de jusante (regime subcrítico), além das condições iniciais Pode-se utilizar diferenças finitas
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Equação de convecção-difusão
O modelo de difusão Equação de convecção-difusão Há uma forma de resolvê-la como modelo linear difusão linear Celeridade = c Difusividade = D Translação e difusão Não representa efeitos de jusante A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B
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O modelo Muskingum-Cunge
Cunge (1980) o método Muskingum é equivalente à solução da onda cinemática com um esquema numérico de diferenças finitas Podemos aplicar um esquema de diferenças finitas no modelo de onda cinemática atingiremos um modelo semelhante ao Muskingum
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O modelo Muskingum-Cunge
Assim fazendo, o que descobrimos? Difusão da onda de cheia resultante do uso do modelo Muskingum resultado de um erro numérico dependente dos intervalos de discretização utilizados nas derivadas do tempo e do espaço
149
O modelo Muskingum-Cunge
Cunge então propôs uma forma de estimar os valores de K e X para que a difusão causada pelo erro numérico se iguale à difusão real da onda de cheia O modelo de Muskingum passou a ser chamado modelo Muskingum-Cunge A B Q t Hidrograma em A Hidrograma em B
150
O modelo Muskingum-Cunge
Para uma seção em um ponto específico xo Derivada total da vazão Para uma vazão constante Da equação da continuidade sem vazão lateral
151
O modelo Muskingum-Cunge
Equação da continuidade, sem vazão lateral, transformada com base no conceito de que existe uma relação biunívoca entre vazão e área (modelo de onda cinemática e armazenamento)
152
O modelo Muskingum-Cunge
Esquemas numéricos para a onda cinemática Esquema de primeira ordem Esquema de segunda ordem
153
O modelo Muskingum-Cunge
Esquema de primeira ordem Número de Courant
154
O modelo Muskingum-Cunge
Esquema de segunda ordem Número de Courant
155
O modelo Muskingum-Cunge
Exemplo onda cinemática Arquivo Excel onda cinemática Ocorre difusão porque o esquema numérico não representa perfeitamente a equação Difusão numérica
156
O modelo Muskingum-Cunge
Onda cinemática versus equação de difusão Diferença Cunge utilizou um esquema numérico de 4 pontos para discretizar esta equação chegou numa equação semelhante à do modelo Muskingum
157
O modelo Muskingum-Cunge
Onda cinemática versus equação de difusão Onda cinemática versus equação de difusão Diferença Modelo Muskingum equivalente a uma solução numérica da equação hiperbólica da onda cinemática
158
O modelo Muskingum-Cunge
t t+1 t x j j+1
159
O modelo Muskingum-Cunge
Derivada no tempo Ponderação entre duas diferenças adiantadas no tempo
160
O modelo Muskingum-Cunge
Média entre duas diferenças adiantadas no espaço Derivada no espaço
161
O modelo Muskingum-Cunge
Onda cinemática versus equação de difusão Diferença Como já dito solução por métodos numéricos gera um amortecimento artificial devido à discretização Cunge (1969) expandiu por série Taylor os termos numéricos
162
O modelo Muskingum-Cunge
Onda cinemática versus equação de difusão Diferença Resultado
163
O modelo Muskingum-Cunge
Dispersão numérica Para que D seja nulo (onda cinemática) X = 0,5. Caso contrário é introduzida um amortecimento numérico Cunge (1980) sugeriu uma equação para o parâmetro X, onde a difusão numérica seria equivalente à difusão real:
164
O modelo Muskingum-Cunge
Dispersão numérica Estas equações permitem a estimativa dos parâmetros do modelo Muskingum para que ele funcione como um modelo de difusão É necessária uma vazão de referência As estimativas são baseadas em dados físicos do trecho
165
O modelo Muskingum-Cunge
Muskingum Cunge Linear (MCL) essa vazão de referência Q0 é fixa para todo o período de cálculo Tucci (2005) sugere que Q0 seja cerca 70% da vazão máxima do hidrograma de entrada no trecho Muskingum-Cunge Não Linear (MCNL) Q0 é calculada em cada passo de tempo de simulação. Desta forma, os parâmetros K e X também variam em cada passo de tempo várias formas esquema de 3 pontos e esquema de 4 pontos (método iterativo)
166
O modelo Muskingum-Cunge
MCL c0 pode ser obtida com base na equação de Manning por O uso dela está em contradição com o modelo de difusão: equação de Manning onda cinemática Jones (1981) analisou a precisão numérica do esquema numérico do modelo Muskingum para resolver a equação de difusão Apresentou relações entre K/Dt e X
167
O modelo Muskingum-Cunge
MCL Intervalo ajuste de uma curva que atenda as duas funções dentro de uma margem de erro de 2,5%
168
O modelo Muskingum-Cunge
MCL
169
O modelo Muskingum-Cunge
MCL Ajuste A seguir roteiros para uso do modelo para os casos sem dados e com dados
170
O modelo Muskingum-Cunge
MCL roteiros Sem dados: roteiro 1 Se Dx é determinado em função dos dados e das características dos trechos Dt determinado visando à faixa de precisão das curvas e Dt ≤ tp/5, onde tp é o tempo de pico do Hidrograma de entrada Fixe Dt = tp/5 Determine Dx com a equação Chute inicial, adotando X = 0,3 (melhor precisão) Adote Qo = 2/3 Imax ou ajuste Calcule K e X, verifique a precisão (faixa de 5%) se não estiver, reavalie Dx
171
O modelo Muskingum-Cunge
MCL roteiros Sem dados: roteiro 2 Se Dx é determinado em função dos dados e das características dos trechos Dt determinado visando à faixa de precisão das curvas e Dt ≤ tp/5, onde tp é o tempo de pico do Hidrograma de entrada Fixe Dt = tp/5 e determine Dx com a equação Calcule K e X, verifique a precisão (faixa de 5%) se não estiver, reavalie Dx
172
O modelo Muskingum-Cunge
MCL roteiros Com dados Dx pode ser fixado em função das características físicas ou ajustado com outros parâmetros Utilizando a equação parâmetros de ajuste Q0 e n Outras etapas iguais aos casos anteriores
173
O modelo Muskingum-Cunge
MCL Dx ideal Muskingum Cunge Jones Fread
174
O modelo Muskingum-Cunge
175
O modelo Muskingum-Cunge
176
O modelo Muskingum-Cunge
177
O modelo Muskingum-Cunge
MCNL A celeridade não é constante Os parâmetros do método de Muskingum Cunge deveriam variar Celeridade varia com o nível da água ou com a vazão Celeridade diminui Celeridade aumenta
178
O modelo Muskingum-Cunge
MCNL Evidências experimentais Murrumbidgee river - Wang e Laurenson, 1983 Water Resources Research
179
O modelo Muskingum-Cunge
MCNL Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3) Só o que não muda é o Dx
180
O modelo Muskingum-Cunge
MCNL Qual vazão usar como referência? iterativos
181
O modelo Muskingum-Cunge-Todini
MCT fazer resumo do artigo PONTES, P. R. M. ; COLLISCHONN, W. . Conservação de volume em modelos simplificados de propagação de vazão. Revista Brasileira de Recursos Hídricos, v. 17, n.4. p , 2012.
182
Contribuição lateral
183
Contribuição lateral O tratamento do escoamento em rios pelos modelos anteriores resolve somente o fluxo na calha Mas o hidrograma de jusante recebe um volume correspondente à vazão lateral (Qlat) Tem que ser avaliada a importância da contribuição lateral M Contribuição lateral Propagação J
184
Avaliação da influência (ajuste e verificação)
Contribuição lateral Avaliação da influência (ajuste e verificação) tomar eventos na seções de montante e de jusante do trecho calcular os volumes: hidrograma de montante (Vm) e de jusante (Vj) Vi = Vj – Vm nt número de intervalos de tempo
185
Avaliação da influência (ajuste e verificação)
Contribuição lateral Avaliação da influência (ajuste e verificação) Dados os hidrogramas (entrada e saída) observados influência da Qlat no hidrograma de saída pode ser verificada por: Para valores de Pi < 15% influência da Qlat tende a ser pequena deslocamento da onda do rio é o processo principal Caso contrário (há Qlat significativa) procedimento a seguir
186
Obtida na verificação anterior
Contribuição lateral Avaliação da influência (ajuste e verificação) Qlat significativa pode-se adotar uma distribuição uniforme para a contribuição lateral (vazão lateral constante ao longo do evento): Obtida na verificação anterior
187
Avaliação da influência (ajuste e verificação)
Contribuição lateral Avaliação da influência (ajuste e verificação) Vazão de jusante sem contribuição num tempo t qualquer
188
Contribuição lateral Prognóstico
Quando não é conhecido o hidrograma de jusante contribuição lateral: estimada com base nos valores de Pi (de eventos anteriores registrados) e do hidrograma de montante:
189
Contribuição lateral Prognóstico
E quando não se tem eventos a jusante e sabemos que a contribuição lateral é importante? Pode-se utilizar proporção de área com dados de contribuintes, que tenham dados, julgados representativos M Contribuição lateral Propagação J
190
Contribuição lateral Exercício Planilha - Exemplo 12.3 Tucci
Determine o valor do parâmetro K do método de Muskingun, considerando o seguinte evento observado Planilha - Exemplo 12.3 Tucci
191
Modelos de reservatórios
192
Tópicos Importância do Escoamento Tipos de Escoamento
Equações do escoamento não permanente ou equações hidrodinâmicas Equação da continuidade Equação da quantidade de movimento ou equação dinâmica Simplificações das Equações de Saint Venant Onda cinemática Propagação de cheias em rios O método Muskingum O metodo de Pulz - reservatórios
193
Escoamento em reservatórios
Linha d’água horizontal, grande profundidade e velocidade baixa velocidade baixa termos dinâmicos são desprezíveis perto da grande variação de armazenamento Simula-se a propagação de vazão com a equação da continuidade concentrada
194
Escoamento em reservatórios
Já vimos
195
Método de Pulz Simula a propagação na bacia de detenção com três equações: Equação da continuidade: dS/dt = I - Q Função de armazenamento: S = f(Q) Equação do controle hidráulico: Q = f(H) Necessário o emprego de métodos numéricos O hidrograma de entrada I pode assumir diferentes formas a equação dinâmica de propagação S = f(Q) é quase sempre não linear
196
1 equação e 2 Incógnitas equação adicional: Q = f(S/Dt)
Método de Pulz Equação da continuidade Incógnitas Variáveis conhecidas 1 equação e 2 Incógnitas equação adicional: Q = f(S/Dt)
197
Método de Pulz Relação volume x vazão Função auxiliar
Q = f(S/Dt) Função auxiliar Q = f1(Q + 2.S/Dt) Q S/Dt Construídas a partir da curva cota x S e cota x Q saída pelas estruturas hidráulicas
198
Método de Pulz Metodologia f1 G
Estabeleça as condições iniciais So (volume inicial) calcular Q0 = f(S0/Dt) no gráfico Q = f(S/Dt); 2. Calcule o valor G = lado direito da equação acima 3. Este valor é igual a f1t+1 = lado esquerdo da equação acima 4. No gráfico Q = f1(Q + 2S/Dt) determinar Qt+1 e St+1 5. Repete-se os itens 2 a 4 até o último intervalo de tempo
199
Tempo It 1 I0 2 I1 3 I2 ... Método de Pulz Metodologia f1 G
Da curva Q = f(S/Dt)
200
Método de Pulz Metodologia f1 f e f1 Q
Q=f1(Q+2S/DT) Q=f(S/DT) Q Cálculo de G com o hidrograma de entrada S/Dt G = f1
201
Método de Pulz Curva Q = f(S) Curva cota x volume (armazenamento) Batimetria do reservatório ou projeto (reservatório de geometria regular)
202
Método de Pulz Sistema WGS 84 Diferença +/- 5 m
203
Método de Pulz Cota: 6,5 m Área inundada: 32 ha Volume: 0,1 Hm3
Vazão regularizada: ?
204
Método de Pulz Cota: 7 m Área inundada: 200 ha Volume: 0,7 Hm3
Vazão regularizada: ?
205
Método de Pulz Cota: 8 m Área inundada: 815 ha Volume: 5,7 Hm3
Vazão regularizada: 1,0 m3/s
206
Método de Pulz Cota: 9 m Área inundada: 1.569 ha Volume: 17,6 Hm3
Vazão regularizada: 1,5 m3/s
207
Método de Pulz Cota: 10 m Área inundada: 3.614 ha Volume: 43,6 Hm3
Vazão regularizada: 3,5 m3/s
208
Método de Pulz Cota: 11 m Área inundada: 7.841 Volume: 101 Hm3
Vazão regularizada: 5,0 m3/s
209
Método de Pulz Cota: 12 m Área inundada: 10.198 ha Volume: 191 Hm3
Vazão regularizada: 7,0 m3/s
210
Método de Pulz Cota: 13 m Área inundada: 12.569 ha Volume: 305 Hm3
Vazão regularizada: 8,0 m3/s
211
Método de Pulz Cota: 14 m Área inundada: 14.434 ha Volume: 440 Hm3
Vazão regularizada: 8,0 m3/s
212
Método de Pulz Cota: 15 m Área inundada: 16.353 ha Volume: 594 Hm3
Vazão regularizada: 8,5 m3/s
213
Método de Pulz Curva Q = f(S)
Curva cota x vazão de saída função do tipo de dispositivo hidráulico usado na saída (orifício, vertedor, etc.)
214
Método de Pulz Curva Q = f(S) z z z1 z1 S1 S Q1 Q S Q Q1 S1
215
Método de Pulz Estruturas de saída
216
Método de Pulz Estruturas de saída
217
Método de Pulz Estruturas de saída
218
Método de Pulz Estruturas de saída
Qual a relação cota x vazão de saída da estrutura abaixo? Equação de vertedor Equação de orifício
219
Método de Pulz Estruturas de saída Para a cota 561’ h = 0,83’
220
Método de Pulz
221
Método de Pulz - exemplo
Calcule o hidrograma de saída de um reservatório com um vertedor de 25 m de comprimento de soleira, esta na cota 120 m, considerando tabela cota-volume para o reservatório e o hidrograma de entrada apresentados abaixo, e considerando que nível da água no reservatório está inicialmente na cota 120 m.
222
Método de Pulz - exemplo
Hidrograma de entrada no reservatório
223
Método de Pulz - exemplo
O primeiro passo criar uma tabela relacionando a vazão de saída com a cota. Considerando um vertedor livre, com coeficiente C = 1,5 e soleira na cota 120 m, a relação é dada por: ver tabela
224
Método de Pulz - exemplo
Esta tabela pode ser combinada à tabela cota – volume, acrescentando uma coluna com o valor do termo 2.S/t+Q, considerando o intervalo de tempo igual a 1 hora:
225
Método de Pulz - exemplo
No primeiro intervalo de tempo o nível da água no reservatório é de 120 m, e a vazão é zero. O volume acumulado (S) no reservatório é m3. O valor 2.S/t+Q para o primeiro intervalo de tempo é m3.s-1. Para cada intervalo de tempo seguinte a vazão de saída pode ser calculada pelos passos do método. Ver planilha PulsExemploSlides.xls
226
Método de Pulz - exemplo
Metodologia f1 f e f1 Q=f1(Q+2S/DT) Q=f(S/DT) Q Cálculo de G com o hidrograma de entrada S/Dt G = f1
227
Método de Pulz - exemplo
Metodologia Tempo It 1 I0 2 I1 3 I2 ... f1 G Da curva Q = f(S/Dt)
228
Método de Pulz - exemplo
O cálculo de propagação de vazões em reservatórios, como apresentado neste exemplo, pode ser utilizado para dimensionamento de reservatórios de controle de cheias, e para análise de operação de reservatórios em geral. Mediante algumas adaptações, pode ser aplicado para reservatórios com vertedores controlados por comportas e para outras estruturas de saída Limitações: métodos como este (level-pool routing) são menos exatos quando o comprimento do reservatório aumenta, a profundidade média do reservatório decresce e o tempo de ascenção do hidrograma decresce.
229
Método de Pulz – exemplo 2
Determine a capacidade de um reservatório amortecer uma cheia, considerando que o volume inicial do reservatório deve garantir uma demanda de irrigação de 0,1 m3/s e 60 dias a demanda de abastecimento (0,2 m3/s). Considere também as seguintes relações:
230
Método de Pulz – exemplo 3
Exercícios Puls Calcule o hidrograma de saída de um reservatório com um vertedor de 10 m de comprimento de soleira, com a soleira na cota 120 m, considerando a seguinte tabela cota–volume para o reservatório e o hidrograma de entrada apresentado na tabela abaixo, e considerando que nível da água no reservatório está inicialmente na cota 120 m
231
Hidrograma de entrada no reservatório.
Método de Pulz – exemplo 3 Hidrograma de entrada no reservatório. Tempo (h) Vazão (m3.s-1) 1 350 2 720 3 940 4 1090 5 1060 6 930 7 750 8 580 9 470 10 380 11 310 12 270 13 220 14 200 15 180 16 150 17 120 18 100 19 80 20 70 Qual deveria ser o comprimento do vertedor para que a vazão de saída não superasse 600 m3/s?
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