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Álgebra Linear e Geometria Analítica 10ª aula. Vectores no plano Vectores no espaço Vectores em n.

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1 Álgebra Linear e Geometria Analítica 10ª aula

2 Vectores no plano Vectores no espaço Vectores em n

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5 (u 1,u 2 ) (v 1,v 2 ) (u 1 +v 1, u 2 +v 2 )

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8 (u 1,u 2 ) (ku 1,ku 2 ) ku u

9 Produto interno u = (u 1, u 2 ); v = (v 1,v 2 ) u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2

10 Produto interno e norma u = (u 1, u 2 ); v = (v 1,v 2 ) u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2

11 Produto interno em n u = (u 1, u 2, u 3, u 4..., u n ); v = (v 1, v 2, v 3, v 4..., v n ); u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 4 v u n v n

12 Propriedades do produto interno u. v = v. u u. (v + w) = u. v + u. w ( u. v ) = ( u). v = u. ( v) u. u 0 u. u = 0 u = 0

13 Produto interno e norma em n u = (u 1, u 2, u 3, u 4..., u n );

14 EXEMPLOS u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) u. v = 1 (-1) (-1) (-2) = = = -6

15 EXEMPLOS u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) u. v = 1 (-1) (-1) (-2) = = = -6

16 EXEMPLOS u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) u. v = 1 (-1) (-1) (-2) = = = -6

17 Propriedades da norma Desigualdade triangular Desigualdade Cauchy-Schwartz

18 B A

19 B A ||A|| ||B|| ||A+B|| Desigualdade triangular

20 A ||A|| B ||B|| ||A+B|| A+B

21 A ||A|| B ||B|| ||A+B|| A+B Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:

22 A ||A|| B ||B|| ||A+B|| A+B Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:

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24 Ortogonalidade: Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo

25 Ortogonalidade: Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo Exemplo: u = (1, 2, 3, 4) ; v = (-4, -3, 2, 1) u. v = = 0

26 B A

27 B A tB

28 B A tB é a projecção do vector A sobre B

29 B A tB C

30 B A = tB + C tB C

31 B A = tB + C tB C A. B = (tB + C). B = t B. B + C. B = t B.B

32 B A = tB + C tB C A. B = (tB + C). B = t B. B + C. B = t B.B

33 B A = tB + C tB C

34 B A = tB + C tB C

35 B A = tB + C tB C

36 Definição de projecção de um vector sobre outro: Sejam u e v vectores de n A projecção de u sobre v é o vector v sendo

37 Definição de ângulo de dois vectores: Sejam u e v vectores não nulos de n O ângulo entre os vectores u e v é tal que

38 Definição de ângulo de dois vectores: Sejam u e v vectores não nulos de n O ângulo entre os vectores u e v é tal que

39 Limites do valor de cos

40 Exemplo:

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43 Produto externo Só se define produto externo em 3 ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 sen 2

44 Produto externo Só se define produto externo em 3

45 Regra prática:

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50 Propriedades do produto externo: u v = - (v u) u (v + w) = u v + u w (u v) = ( u) v u. (u v) = 0 v. (u v) = 0 ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – (u. v) 2 u v = 0 u e v linearmente dependentes

51 Propriedades do produto externo: O produto externo não é associativo! Exemplo:

52 Propriedades do produto externo: O produto externo não é associativo! Exemplo:

53 Propriedades do produto externo: u e v linearmente independentes {u, v, u v} linearmente independente Qualquer vector ortogonal a u e a v é múltiplo de u v

54 Propriedades do produto externo: u e v linearmente independentes {u, v, u v} formam base de 3

55 Propriedades do produto externo: ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – (u. v) 2

56 Propriedades do produto externo: ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – (u. v) 2 u. v = ||u|| ||v|| cos

57 Propriedades do produto externo: ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – (u. v) 2 u. v = ||u|| ||v|| cos (u. v) 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 cos 2

58 Propriedades do produto externo: ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – (u. v) 2 u. v = ||u|| ||v|| cos (u. v) 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 cos 2 ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – ||u|| 2 ||v|| 2 cos 2

59 Propriedades do produto externo: ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – (u. v) 2 u. v = ||u|| ||v|| cos (u. v) 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 cos 2 ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – ||u|| 2 ||v|| 2 cos 2 ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 (1 – cos 2 )

60 Propriedades do produto externo: ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – (u. v) 2 u. v = ||u|| ||v|| cos (u. v) 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 cos 2 ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 – ||u|| 2 ||v|| 2 cos 2 ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 (1 – cos 2 ) ||u v|| 2 = ||u|| 2 ||v|| 2 sen 2

61 B A ||A||sen

62 B A ||A||sen Área do paralelogramo: :||A B|| = ||A|| ||B|| sen

63 Produto misto O produto misto só se define em 3 u, v, w 3 O produto misto de u, v e w é: u. (v w)

64 Regra prática para calcular o produto misto u, v, w 3

65 Propriedades do produto misto u, v, w 3 u. (v w) = 0 {u, v, w} linearmente dependente u. (v w) = (u v). w u. (v w) = v. (w u) u. (v w) = - u. (w v) = - v. (u w)

66 Interpretação geométrica: (u v). w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w.

67 Interpretação geométrica: (u v). w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w. Se u e v definem a base, ||u v || é a área da base

68 Interpretação geométrica: (u v). w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w. Se u e v definem a base, ||u v || é a área da base ||w||cos dá a altura, sendo o ângulo entre w e u v

69 Interpretação geométrica: (u v). w dá o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w. Se u e v definem a base, ||u v || é a área da base ||w||cos dá a altura, sendo o ângulo entre w e u v Volume = ||u v || ||w||cos = (u v). w

70 u v w

71 u v w

72 u v w u v

73 u v w altura

74 u v w u v Altura = ||w|| cos

75 u v w u v Altura = ||w|| cos Área da base = ||u v||

76 Bases ortonormadas Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se os vectores forem ortogonais dois a dois. Um conjunto de vectores diz-se ortonormado se for ortogonal e todos os vectores tiverem norma unitária

77 Bases ortonormadas Um vector que tiver norma igual a um diz-se unitário. Dado um qualquer vector não nulo u, é possível construir um vector unitário a partir de u fazendo:

78 Como obter uma base ortogonal? Seja {u 1, u 2,..., u n } uma base de um espaço vectorial de dimensão n. Obtém-se a partir daqui uma base ortogonal {v 1, v 2,..., v n } aplicando o chamado processo de ortogonalização de Gram-Schmidt que consiste em:

79 Ortogonalização de Gram-Schmidt

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