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CAPITULO II DINÂMICA DE MÁQUINAS Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial.

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1 CAPITULO II DINÂMICA DE MÁQUINAS Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

2 SUMÁRIO DO CAPITULO 2 Momentos de inércia de massa Teorema dos eixos paralelos Introdução Equações do movimento de translação e rotação de um corpo rígido Equações do movimento plano geral DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO: FORÇA E ACELERAÇÃO Objectivos DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO:TRABALHO E ENERGIA Introdução Energia cinética de um corpo rígido Trabalho de uma força e de um binário Objectivos Princípio do trabalho e energia Conservação da energia Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

3 Associar as forças envolvidas com possíveis falhas das máquinas e métodos de manutenção aplicados. DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO: FORÇA E ACELERAÇÃO OBJECTIVOS: Apresentar os procedimento utilizados para determinar o momento de inércia de massa de um corpo Desenvolver as equações de movimento da dinâmica no plano de um corpo rígido. Discutir as aplicações dessas equações a corpos em translação, em rotação em torno de um eixo fixo e com movimento plano geral. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

4 A máquina é um conjunto de elementos utilizados nas mais diversas funções, nomeadamente para suportar componentes rotativos e/ou transmitir potência, movimento rotativo ou axial. Os elementos constituintes da máquinas trabalham em condições extremamente variáveis de ambiente e carregamento. Assim o conhecimento do comportamento dinâmico, individual ou em conjunto dos elementos da máquina (mecanismo) é essencial a projectistas e/ou responsáveis pela manutenção. INTRODUÇÃO As possíveis falhas dos elementos de máquinas solicitados por carregamentos dinâmicos são: Desgaste na região dos mancais Falha por fadiga Torção Falha devido a sobre tensões originadas por esforços de: Esforços combinados Tracção Compressão Flexão Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

5 MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA MASSA A aceleração angular da massa infinitesimal Δm em torno do eixo AA` devido à aplicação de um momento, é proporcional a r 2 Δm. r 2 Δm =momento da inércia da massa Δm relativamente ao eixo AA Raio de giração, k : Para um corpo de massa m a resistência à rotação em torno do eixo AA' é: Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

6 Momento de inércia relativamente ao eixo coordenado y é: Similarmente, para o momento da inércia relativamente aos eixos x e z: MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA MASSA Em unidades SI: Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

7 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS Para eixos rectangulares com origem em O e eixos centroidais paralelos, Generalizando para um eixo qualquer AA ': Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

8 MOMENTOS DE INÉRCIA DE PLACAS FINAS Para uma placa fina com espessura uniforme t e material homogéneo de densidade ρ, o momento de inércia da sua massa relativamente ao eixo AA ' da placa é: Similarmente, para o eixo perpendicular BB ' da placa: Para o eixo CC perpendicular à placa: Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

9 Para eixos centroidais principais em uma placa rectangular: MOMENTOS DE INÉRCIA DE MASSA PARA PLACAS FINAS Para os eixos centroidais em uma placa circular: Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

10 Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

11 Momentos de inércia de massa para formas geométricas comuns Barra esbelta Placa rectangular fina Prisma rectangular Disco delgado Cilindro circular Cone circular Esfera Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

12 CENTRO DE GRAVIDADE PARA SÓLIDOS HOMOGÉNEOS Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

13 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO RECTILÍNEA Na translação rectilínea, todas as partículas de um corpo se movem ao longo de trajectórias rectilíneas paralelas. Trajectória Rectilínea Ponto de referência G Ponto de referência A Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

14 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA Na translação curvilínea, todas as partículas de um corpo se movem ao longo de trajectórias curvas. Trajectória Curvilínea Ponto de referência GPonto de referência B Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

15 MOVIMENTO ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO Teorema dos eixos paralelos: Ponto de referência G Ponto de referência O Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

16 EXEMPLO DE MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO oxox oyoy o G G A manivela da bomba de petróleo sofre uma rotação em relação a um eixo fixo causada pelo momento motriz M do motor. Ponto de referência G Teorema dos eixos paralelos: Ponto de referência O Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

17 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO: PLANO GERAL Ponto de referência G Ponto de referência O Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

18 EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA A placa fina de 8 kg de é mantida em equilíbrio estático através das barras de ligação AE, DF e o fio BH como mostra a figura. Desprezando a massa das barras de ligação, determine imediatamente após cortar o fio BH: (a) aceleração da placa; (b) a força em cada uma das barras de ligação. Exemplo de aplicação Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

19 Depois do fio cortado, todas as partículas da placa se movem ao longo de trajectórias circulares paralelas de raio 150 mm. A placa encontra-se em translação curvilínea. SOLUÇÃO Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

20 Exercício de Aplicação O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado do eixo de manivela de um motor a combustão. Sabendo-se que L AB = 150 mm, L BC = 750 mm e que no instante mostrado = 60° a barra AB possui uma velocidade angular w AB = 500 rpm no sentido anti-horário e as massas da barra BC e do pistão são respectivamente iguais a: m BC = 10 kg, e m P = 15 kg, determine: a) a velocidade angular da barra BC; b) a velocidade do pistão C; c) as acelerações do sistema; d) as forças actuantes nas conexões B e C; e) as tensões actuantes nos pinos (d P =10 mm) das articulações B e C. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

21 Dinâmica plana de um corpo rígido: Trabalho e Energia (cinética) OBJECTIVOS: Desenvolver e aplicar na resolução de problemas de dinâmica plana do corpo rígido: Aplicar na resolução de problemas de dinâmica de máquinas o princípio do trabalho e energia. Formulações matemáticas relacionadas com as diferentes formas de manifestação da energia e do trabalho. Aplicar o principio da conservação da energia na solução de problemas de dinâmica plana de corpos rígidos. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

22 Energia cinética: movimento plano geral A energia cinética de um corpo rígido é constituída por energia cinética de translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação (determinada a partir do conhecimento do momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa) … Os diagramas cinemáticos das velocidades podem ser úteis na determinação das variáveis v G e ou para estabelecer relações entre estas duas variáveis. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

23 Energia cinética: movimentos de translação e de rotação (eixo fixo) Translação: Sempre que um corpo rígido de massa m está sujeito a um movimento de translação rectilínea ou curvilínea, a energia cinética de rotação é nula pois = 0: Rotação em torno de um eixo fixo: Quando um corpo rígido roda em torno de um eixo fixo, o corpo apresenta energia cinética de translação (em G) e de rotação. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial pois

24 Energia cinética: movimento de rotação em relação a um eixo móvel Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial x y Logo (!)

25 Trabalho de uma força Introdução Os métodos do trabalho e da energia são utilizados para analisar o movimento plano de corpos rígidos. O princípio do trabalho e da energia é utilizado na solução de problemas de movimento plano de corpos rígidos que envolvam forças, deslocamentos e velocidades. Pontos de análise do trabalho de uma força: - Uma força realiza trabalho quando se move segundo a sua linha de acção. - Graficamente o trabalho é igual à área sob a curva Força - Deslocamento. - O sinal positivo para o trabalho de uma força é definido pelos sentidos dos vectores força/momento e deslocamento. - O diagrama de corpo livre deve considerar todas as forças e momentos que realizam trabalho ao longo da trajectória do corpo rígido. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

26 Forças que actuam em corpos rígidos sem realizar trabalho Forças aplicadas a pontos fixos ou perpendiculares à direcção do deslocamento: - Reacções em pinos de dimensões desprezáveis, em relação aos quais o corpo se move. - Reacção normal quando actua sobre um corpo que se move sobre uma superfície fixa. - Força gravítica quando o seu centro de gravidade se move num plano horizontal. - Força de resistência ao rolamento de um corpo roliço quando rola sem deslizar sobre uma superfície rugosa (isto porque a força actua em um ponto do corpo com velocidade nula (C.I)). Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

27 Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial Simpificações: análise estática o peso do componente é irrelevante Seja F i uma qualquer força relevante p/a o funcionamento do sistema e a Gi a aceleração do centro de massa do componente i Os esforços de atrito em articulações são usualmente desprezados (quando se trata da determinação de reacções e esforços internos)

28 Trabalho realizadoFormulação MatemáticaObservações Força variável Força constante Força gravítica Força exercida por uma mola Binário de momento variável Binário de momento constante (F C ) t representa a componente tangencial da força (segundo a direcção do movimento). 1 : deformação inicial da mola 2 : deformação final da mola O sinal para W é definido pelos sentidos dos vectores força e deslocamento. Trabalho realizado por diferentes forças Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial (F) t representa a componente tangencial de F.

29 O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado na solução de problemas que envolvam mecanismos constituídos por diversos elementos (corpos rígidos). O principio, deve ser aplicado a cada um dos elementos isoladamente. Quando vários corpos são interligados por pinos, conectados por cabos indeformáveis ou interligados entre si sem a utilização de elementos flexíveis o principio do trabalho e energia pode ser aplicado a todo o sistema de corpos interligados. Princípio do trabalho e energia Esta equação estabelece que a variação da energia cinética do corpo (de translação e de rotação), entre os instantes inicial e final, é igual ao trabalho realizado por todas as forças e momentos externos que nele actuam. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

30 Potência A potência mecânica (P) de uma máquina quantifica a sua capacidade de trabalho por unidade de tempo. Assim, se uma máquina é capaz de aplicar a um corpo rígido: uma força F t sobre um ponto com velocidade v, Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial um momento M à velocidade angular, 2700rpm

31 Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial Para realizar o mesmo trabalho sobre o comboio, a locomotiva mais recente precisará de mais tempo do que o que a outra máquina porque é menos potente. Mas… SD80MAC (USA, 1994) PRR S1 (USA, 1938) Alfred Bruce, The Steam Locomotive in America [p.386], Bonanza Books, New York Diesel-Electric Locomotive SD80MAC with Three-Phase Drive, Siemens Technical Information, Transportation Systems Group, Siemens AG potência disponível p/a tracção Conceito de potência

32 Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial Exemplo de aplicação Estime a ) o declive que o camião pode vencer à velocidade constante de 60km/h, na última relação de transmissão, e b ) o seu consumo, em patamar, para uma velocidade de 80 km/h. i) =1400 rpm v=85 km/h F R = resistência ao movimento do conjunto (expressão empírica): [ v ]=[km/h]; [ m ]=[ton] iv) A eficiência da transmissão é de ~88%. ii) iii) O consumo específico do motor é de 190 g/kwh. Potência e Binário do motor TM - Transporte Mundial, Motorpress-Ibérica, nº 45, [p.39], 07/1999.

33 Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial Caso de estudo: Rolamento de um corpo rígido mg N FaFa v = R Um corpo roliço (com uma forma qualquer) rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal, acabando por imobilizar-se ao fim de algum tempo. A força responsável pela desaceleração do corpo é naturalmente a força de atrito de rolamento F a. No entanto, de acordo com o princípio do trabalho e energia, já enunciado, como justifica a imobilização do corpo se nenhuma das forças representadas realiza trabalho nesse período (note que F a actua no C.I.R. e que o peso e a normal são perpendiculares a v)? Procure a resposta, estudando o mecanismo de rolamento de um corpo rígido…

34 O método dos trabalhos virtuais baseia-se no princípio da conservação da energia. Permite conhecer as condições de equilíbrio de um sistema mecânico sem que seja necessário estudar cada corpo do sistema. O trabalho de uma força (F) correspondente um deslocamento infinitesimal (dr), ou deslocamento virtual, é definido como a quantidade Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial e designa-se de trabalho virtual. Analogamente, para o movimento de rotação, tem-se Assim, para um sistema articulado de corpos rígidos, sendo desprezável o atrito, pelo princípio do trabalho e energia tem-se que Forças (tangenciais) e momentos exteriores aplicados ao corpo i ou

35 Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial Dados: D P = 70mm R = 50mm L = 200mm m P = 500g (incluindo a massa da cavilha D) m B = 800g Nota: Despreze o atrito e os pesos próprios do pistão e da biela. R L p = 2,5 bar Exemplo de aplicação Um compressor volumétrico usa o mecanismo biela - manivela representado para accionamento do pistão D (com diâmetro nominal D P e massa m P ). Determine para uma velocidade angular de 1500rpm (constante e com sentido anti-horário), e para o ângulo = 45º, o momento aplicado ao braço AB da cambota. Considere ainda:

36 Momentos de inércia de massa para formas geométricas comuns Barra esbelta Placa rectangular fina Prisma rectangular Disco delgado Cilindro circular Cone circular Esfera Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

37 DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO:TRABALHO E ENERGIA OBJECTIVOS: Desenvolver e aplicar na resolução de problemas de dinâmica plana do corpo rígido: Aplicar na resolução de problemas de dinâmica de máquinas o princípio do trabalho e energia. Formulações matemáticas relacionadas com as diferentes formas de manifestação da energia e do trabalho. Aplicar o principio da conservação da energia na solução de problemas de dinâmica plana de corpos rígidos. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

38 ENERGIA CINÉTICA A energia cinética de um corpo rígido é constituída por duas partes: energia cinética de translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação (determinada a partir do conhecimento do momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa) INTRODUÇÃO A energia cinética de um corpo rígido é constituída por duas partes: energia cinética de translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação (determinada a partir do conhecimento do momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa) A energia cinética está relacionada com o movimento dos corpos. Os diagramas cinemáticos das velocidades podem ser úteis na determinação das variáveis v G e w ou para estabelecer entre estas duas variáveis. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

39 ENERGIA CINÉTICA TRANSLAÇÃO: sempre que um corpo rígido de massa m está sujeito a um movimento de translação rectilínea ou curvilínea, a energia cinética de rotação é nula pois w = 0: ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO: quando um corpo rígido roda em torno de um eixo fixo, o corpo apresenta energia cinética de translação e rotação. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

40 ENERGIA CINÉTICA MOVIMENTO PLANO GERAL: quando um corpo rígido está sujeito a um movimento plano geral, encontra-se animado de uma velocidade angular w e o seu centro de massa tem uma velocidade angular v G. Assim, o corpo possui energia cinética de translação e energia cinética de rotação em torno do seu centro de massa. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

41 TRABALHO DE UMA FORÇA INTRODUÇÃO Os métodos do trabalho e da energia são utilizados para analisar o movimento plano de corpos rígidos. O princípio do trabalho e da energia é utilizado na solução de problemas de movimento plano de corpos rígidos que envolvam forças, deslocamentos e velocidades. - Uma força realiza trabalho quando se move na sua direcção. - Graficamente, o trabalho é igual à área sob a curva Força - Deslocamento. Pontos de análise do trabalho de uma força: - O sinal positivo para o trabalho de uma força é definido pelos sentidos dos vectores força/momento e deslocamento. - O diagrama de corpo livre deve considerar todas as forças e momentos que realizam trabalho ao longo da trajectória do corpo rígido. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

42 Forças que actuam nos corpos rígidos e não realizam trabalho Forças aplicadas a pontos fixos: - Reacções em pinos de apoio em relação aos quais o corpo se move. Forças que actuam numa direcção perpendicular ao seu deslocamento: - Reacção normal quando actua sobre um corpo que se move sobre uma superfície fixa. - Força gravítica quando o seu centro de gravidade se move num plano horizontal. - Força de resistência ao rolamento de um corpo roliço quando rola sem deslizar sobre uma superfície rugosa. Isto ocorre, porque durante qualquer intervalo de tem a força actua em um ponto do corpo com velocidade nula (C.I). Isto é, o ponto de contacto não é deslocado na direcção da força durante esse instante. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

43 Trabalho realizadoFormulação MatemáticaObservações Força variável Força constante Força gravítica Força de uma mola Binário de momento variável Binário de momento constante, representa o ângulo entre a extremidade do vector força e e o deslocamento diferencial F C COS, representa o módulo da componente da força na direcção da força. O sinal para W é definido pelos sentidos dos vectores força e deslocamento. h Tabela resumo da formulação matemática do trabalho realizado por diferentes forças Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

44 O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado na solução de problemas que envolvam mecanismos constituídos por diversos elementos (corpos rígidos). O principio, deve ser aplicado a cada um dos elementos isoladamente. Quando vários corpos são interligados por pinos, conectados por cabos indeformáveis ou interligados entre si sem a utilização de elementos flexíveis o principio do trabalho e energia pode ser aplicado a todo o sistema de corpos interligados. PRINCÍPIO DO TRABALHO E ENERGIA Esta equação estabelece que a energia cinética de translação e rotação inicial do corpo, somada ao trabalho realizado por todas as forças e momentos externos que actuam no corpo quando ele se move da sua posição inicial até à sua posição final, é igual à energia cinética de translação e rotação final do corpo. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

45 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Quando sobre um sistema actuam apenas forças conservativas o princípio do trabalho e energia pode ser substituído na resolução de problemas pelo teorema da conservação da energia. Energia potencial gravitacional A convenção de sinais utilizada para a energia potencial gravitacional é a mesma que a apresentada para o trabalho realizado pela força gravítica. Energia potencial elástica A energia potencial elástica é considerada positiva quando os vectores força elástica e deslocamento têm o mesmo sentido. É negativa quando os sentidos dos vectores referidos é oposto. Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

46 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA ENERGIA MECÂNICA com: O termo da equação 2, W F não cons. representa o trabalho realizado pelas forças não conservativas como a força de atrito. Se este termo for nulo então a equação 2, vem: Teorema da conservação da energia mecânica Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial

47 POTÊNCIA Potência: é o trabalho realizado num determinado intervalo de tempo Para um corpo rígido sujeito a uma força F e se move com velocidade v: Para um corpo rígido submetido a um binário de momento M e se move com velocidade angular w: Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão I ndustrial


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