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Problema dos Carros Dois automóveis partem ao mesmo tempo de um ponto P, rumo a um ponto O de onde regressam ao ponto de partida sem parar. Ambos circulam.

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1 Problema dos Carros Dois automóveis partem ao mesmo tempo de um ponto P, rumo a um ponto O de onde regressam ao ponto de partida sem parar. Ambos circulam com velocidade constante, no entanto, um deles faz toda a viagem a 50 km/h enquanto que o outro faz a viagem de ida a 60 km/h e a de volta a 40 km/h. Qual dos automóveis chega primeiro ao ponto de onde ambos partiram?

2 Caso Particular: Suponhamos que a distância percorrida pelos carros seja de 60 km Carro B vai a 60 km/h Tempo de viagem do carro B= 1 hTempo de viagem do carro A= 1h 12 m 60 Km Carro A Carro B Ida: Carro A vai a 50 km/h 1h50 km 10 kmx x = 0.2 h = 12 minutos Assim, demora 1h a percorrer 50km. Demora 12min a percorrer 10km. Assim, demora 1h a percorrer 60km. PO

3 Volta: Carro A vai a 50 km/k Análogo ao cálculo de Ida Tempo de viagem = 1h 12m Carro B vai a 40 km/h 1h40 km 20 kmx x = 0.5 h = 30 minutos Tempo de viagem = 1h 30m Portanto, Tempo total da viagem do carro A= 1h12m + 1h12m = 2h 24m Tempo total da viagem do carro B= 1h + 1h30m = 2h30m O carro A chega primeiro. 60 Km Assim, demora 1h a percorrer 40km. Carro A Carro B PO

4 Leis do movimento uniforme v = velocidade = d T T Total = T Ida + T Volta T Ida = d Ida v Ida T Volta = d Volta v Volta d - distância percorrida T - tempo

5 Carro A Carro B Como, concluímos que o carro A chega primeiro.

6 Velocidades Médias: Então,, d ida = d volta = d

7 Portanto, Logo, o carro A chega primeiro. Concluindo, e x

8 Caso Geral v 1 – velocidade na ida v 2 – velocidade na volta A velocidade média calculada a partir de duas velocidades não é assim a m é dia (aritm é tica) dessas velocidades, mas sim a sua média harmónica. A velocidade média do carro será sempre menor que a do carro que mantém a velocidade dado que v m é máxima quando v 1 = v 2.

9 E se v 1 for zero? Assim, a velocidade média deste carro será zero e o outro carro chegará primeiro. E se v 1 tender para infinito? 2v 2

10 Representação Gráfica Ponto P: Este ponto corresponde ao cruzamento entre os carros A e B. Ponto Q: Este ponto corresponde à ultrapassagem do carro A ao carro B. ( ) Percurso do carro B ( ) Percurso do carro A

11 E se os carros aos 120 Km continuarem em frente até atingir os 240 Km? Ponto R: Este ponto corresponde à ultrapassagem do carro A ao carro B (neste caso, os autom ó veis não se cruzam). ( ) Percurso do carro B ( ) Percurso do carro A

12 Pela observação dos dois gráficos, verifica-se que os carros A e B partem ao mesmo tempo e que o carro B vai a uma velocidade maior que a do carro A. Ao quilómetro 120, nota-se uma ligeira diminuição da velocidade do carro B o que possibilita uma ultrapassagem do carro A (representado nos pontos Q e R) que mantém a velocidade. E desta forma, o carro A termina a viagem primeiro que o carro B tal como nos indicam os dois gráficos.

13 Problema das torneiras Um tanque tem duas torneiras. Uma das torneiras demora 2 horas a enchê-lo, enquanto que a outra demora 3 horas. Quando abertas simultaneamente, quanto tempo demorarão a enchê-lo?

14 Temos V – volume do tanque T - tempo que demora a encher o tanque ( em horas) Torneira 1: Torneira 2:

15 Quando as torneiras são abertas em simultâneo, temos: Portanto, as torneiras abertas simultaneamente demorarão 1h12min a encher o tanque.

16 Caso não nos recordássemos desta fórmula poderíamos resolver o problema da seguinte forma: Uma torneira demora 2h a encher um tanque Demora 6h a encher 3 tanques A outra torneira demora 3h a encher um tanque Demora 6h a encher 2 tanques

17 Assim, as duas torneiras em simultâneo demoram 6h a encher 5 tanques. Para determinar o valor que nos interessa basta aplicar uma regra de três simples. 6h x 5 tanques 1 tanque Portanto, as torneiras demorarão 1h12min a encher o tanque quando abertas simultaneamente.

18 Trabalho realizado pelo Grupo C: Dainete Mendes nº Helena Correia nº Inês Martins nº Marta Sares nº Sara pereira nº Vera Damas nº Didáctica da Matemática 2005/2006 Docente: Henrique Guimarães


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