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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Matemática

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Apresentação em tema: "MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Matemática"— Transcrição da apresentação:

1 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Matemática
Ensino Médio, 1ª Série RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

2 MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Olá, pessoal ! Eu sou o famoso filósofo e matemático Pitágoras São estas Relações que nos levam ao mais famoso Teorema da história da matemática... Apertem os cintos ... Vamos fazer um viagem ao passado em que as descobertas levavam séculos para acontecer... Mas antes, deem uma olhadinha na história de como tudo isso começou... Vamos estudar juntos, nesta aula, as Relações Métricas no Triângulo Retângulo O incrível Teorema de Pitágoras que, claro, leva meu nome porque fui eu quem o descobriu... Imagem: Vatican Museum / Public Domain.

3 MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo É quase uma unanimidade entre os historiadores que Pitágoras viveu no séc. VI a.C., na Grécia, entre os anos 583 e 507. Acredita-se que ele nasceu numa ilha chamada Samos, daí ele se chamar Pitágoras de Samos. Fixou residência numa cidade no sul da Itália chamada Crotona. Lá fundou a chamada Escola Pitagórica, onde se estudava Filosofia, Matemática, Música dentre outras Ciências. Grandes descobertas são atribuídas aos pitagóricos, entre elas o sistema de numeração decimal e o mais conhecido e aplicado teorema que leva o seu nome, o Teorema de Pitágoras. Os pitagóricos tinham várias superstições. Uma delas relacionada à Matemática, cujo símbolo, o pentagrama, segundo eles, os protegia do mal. Existem inúmeras demonstrações para o Teorema de Pitágoras. Um matemático americano chamado Elisha Scott Loomis conseguiu organizar um total de 367 demonstrações diferentes, todas reunidas em um livro chamado The Pythagorean Proposition.

4 Boa viagem e bom estudo! MATEMÁTICA- 1º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo Chegou a hora de estudar todas as relações métricas das quais falamos... Boa viagem e bom estudo! Vocês vão ver que todas estão interligadas e que, com elas, conseguimos encontrar todas as medidas de qualquer segmento em um triângulo retângulo. Começa aqui, então, outra viagem. Agora vamos aos triângulos retângulos... Imagem: Vatican Museum / Public Domain. Imagem: Vatican Museum / Public Domain.

5 Logo, os ângulos B e C são ditos complementares.
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Ângulo de 90º Observe o triângulo ABC ao lado: A Note que ele é retângulo em Â, isto é, a medida de  é 90º. b c Conforme vocês já sabem, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º. Logo, se  = 90º, a soma dos outros dois ângulos (B e C) é igual a 90º. h C B m n H a Logo, os ângulos B e C são ditos complementares. ˆ

6  ABH ~  ABC  ACH ~ MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo Se dividirmos o triângulo ABC pela altura relativa a sua hipotenusa a, surgem dois triângulos ABH e ACH, retângulos em Ĥ. Sendo assim, dividimos o ângulo  nos dois ângulos já conhecidos do triângulo ABC, que são C e B. A A b c h h m C B n H H Triângulo ABH Triângulo ACH Observe que, entre os triângulos ABH e ABC, existem em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice B (amarelo), além do lado AB = c. Entre ACH e ABC, existem em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice C (vermelho), além do lado AC = b. Por semelhança do tipo A.L.A. nos dois casos, podemos concluir que  ABH ~  ABC ˆ  ACH ~

7 Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Vamos destacar a semelhança da tela anterior: h A B b n m c H C Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH

8 Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Vamos destacar a semelhança da tela anterior: h A C b n H B m c Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH

9 Vamos fazer algumas observações sobre os lados do  ABC:
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Vamos fazer algumas observações sobre os lados do  ABC: Ângulo de 90º c B C b a A H Lado AC Lado AB O lado AB vai do ângulo de 90º até o ângulo amarelo. Lado BC O lado BC vai do ângulo pintado de amarelo até o ângulo pintado de vermelho. O lado AC vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho.

10  ABH ~  ACH ~  ABC MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo Como já vimos, é verdade que  ABH ~  ACH ~  ABC Vamos analisar a semelhança entre ABC e ABH. B B a c c m C A A b H h Essa semelhança garante também a proporcionalidade entre seus lados. Sendo assim, observem as relações que podemos estabelecer entre eles.

11 a = b = c c h m Lados do Δ ABC Lados do Δ ABH MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo B B a c c m C H A A b a = b = c c h m h Lados do Δ ABC Lados do Δ ABH

12 a = b = c c h m a = b a . h = b. c c h b = c h m b . m = c. h a = c
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo a = b = c c h m Da proporção que obtivemos, e trabalhando com as razões duas a duas, temos: a = b c h a . h = b. c b = c h m b . m = c. h a = c c m c² = a . m

13 MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Vamos analisar a semelhança entre ABC e ACH. B B a c c m C A A b H Também pela semelhança, a proporcionalidade entre os lados desses dois triângulos determinam as seguintes relações:

14 a = b = c b n h Lados do Δ ABC Lados do Δ ACH MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo B A b a h c n H C A b C a = b = c b n h Lados do Δ ABC Lados do Δ ACH

15 a = b = c b n h a = b b² = a . n b n b = c n h b . h = c. n a = c
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo a = b = c b n h Dessa nova proporção, a partir das razões duas a duas, teremos: a = b b n b² = a . n b = c n h b . h = c. n a = c c m a . h = b . c

16 MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Por último, vamos analisar a semelhança entre ABH e ACH. B H A m h c A b h n H C A semelhança está mantida e dela vêm as seguintes relações:

17 c = h = m b n h Lados do Δ ABH Lados do Δ ACH MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo B A b c h m H C n H A h c = h = m b n h Lados do Δ ABH Lados do Δ ACH

18 c = h = m b n h c = h c . n = b . h b n h = m n h h² = m. n c = m b h
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo c = h = m b n h Dessa última proporção e comparação das razões duas a duas, vem: c = h b n c . n = b . h h = m n h h² = m. n c = m b h c . h = b . m

19 MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Agora, um relação muito importante é a da hipotenusa com as projeções do catetos sobre ela. Observe o  ABC inicial que trabalhamos: h A B C b n m c Veja que, sobre a hipotenusa a, estão determinados dois segmentos: BH = m CH = n Esses segmentos recebem o nome de projeções. Seria como se o sol surgisse sobre os catetos... ... e produzisse “sombra” sobre a hipotenusa. Essas sombras são então as projeções.

20 Chegou a hora dele... o meu teorema...
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Teorema de Pitágoras Chegou a hora dele... o meu teorema... Vamos começar com sua definição e, em seguida, demonstraremos o mais famoso Teorema da história da Matemática Imagem: Vatican Museum / Public Domain.

21 MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. São eles: B O lado oposto ao ângulo reto é denominado de hipotenusa. a c Os outros dois, opostos aos ângulos agudos do triângulo, são chamados de catetos. A b C Aqui vale a pena destacar uma propriedade: a hipotenusa sempre será o lado de maior medida de um triângulo retângulo.

22 MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo O enunciado do Teorema de Pitágoras é o seguinte: B O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados da medida dos catetos. a c Nesse caso, com as denominações de a, b e c, respectivamente para a hipotenusa e os catetos, teremos: A b C a2 = b2 + c2

23 . x 6 x2 = 62 + 82 8 x2 = 36 + 64 x2 = 100 x = 10 MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo Apenas para verificar essa relação, observem os seguinte triângulos retângulos: Quanto deve medir a hipotenusa designada por x? . x 6 É bem simples: basta lançar os valores na expressão do Teorema. Ou seja: x2 = 8 x2 = x2 = 100 x = 10

24 MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo E agora? Quanto deve medir o cateto y? . 15 É tão simples quanto o anterior: lançando também os valores na expressão do teorema. Ou seja: 12 152 = y 225 = y y y2 = 225 – 144 y2 = 81 y = 9

25 a . h = b. c b . h = c . n c . h = b . m b² = a . n c² = a . m
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para analisá-las a partir da observação do triângulo. h A B b n m c H a . h = b. c (1) b . h = c . n (2) c . h = b . m (3) A relação (1) pode ser definida como: “A hipotenusa multiplicada pela altura relativa a ela é igual ao produto dos catetos”. b² = a . n (4) c² = a . m (5) As relações (2) e (3) podem ser definidas como: “Cada cateto multiplicado pela altura relativa à hipotenusa é igual ao produto do outro cateto pela projeção do primeiro”. h² = m. n (6)

26 a . h = b. c b . h = c . n c . h = b . m b² = a . n c² = a . m
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para analisá-las a partir da observação do triângulo. h A B b n m c H a . h = b. c (1) b . h = c . n (2) c . h = b . m (3) As relações (4) e (5) podem ser definidas como: “Cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e a sua projeção sobre ela”. b² = a . n (4) c² = a . m (5) A relação (6) pode ser definida como: “A altura relativa à hipotenusa é a média geométrica entre as projeções dos catetos”. h² = m. n (6)

27 Sigam os passos um a um e vocês verão como é legal a demonstração !!
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Como vocês podem ver, as relações simplesmente permitem que sejam encontradas todas as medidas de um triângulo retângulo. Todas são importantes, como já dissemos, mas o Teorema de Pitágoras é o mais aplicado deles, pois há muito mais relação com situações práticas, como poderemos observar daqui a pouco. Sigam os passos um a um e vocês verão como é legal a demonstração !! Vamos fazer uma demonstração que vocês poderão fazer em sala de aula, junto com o professor. Peguem o material e mãos à obra ! Vocês vão ver como será divertido provar que Pitágoras e seus seguidores estavam certos. A sugestão dada é que este triângulo a ser usado seja o de medidas 3, 4 e 5. É mais simples e fácil de construir. Imagem: Vatican Museum / Public Domain.

28 a b c a b c a b c a b c b + c MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo Construam 4 triângulos retângulos de hipotenusa a e catetos b e c. a b c a b c a b c a b c Construam também 1 quadrado cujo lado tenha medida b + c. b + c

29 a a a a MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo
No quadrado e a partir de cada um de seus vértices, coloquem cada um dos 4 triângulos iniciais que vocês construíram. a a a a Como os 4 triângulos são idênticos e sua hipotenusa mede a, temos então um quadrado menor de área a2 dentro do quadrado maior de área (b + c)2.

30 Área do quadrado menor + 4 . Área do triângulo
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Desenvolvendo a expressão da área do quadrado maior, que é um produto notável, temos: (b + c)2 = b b . c + c2 (1) Mas a área do quadrado maior pode ser vista também como a soma das áreas dos 4 triângulos iniciais que construímos somada com a área do quadrado menor. Podemos então definir essa mesma área da seguinte forma: Área do quadrado menor Área do triângulo a Simplificando 4 com 2, temos: a b . c (2) Como as expressões são iguais, pois representam a mesma figura, teremos:

31 MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo (1) = (2) b b . c + c2 = a b . c Ao simplificar 2 . b . c dos dois lados, a expressão restante é: b2 + c2 = a2 As medidas a, b e c que aparecem nessa expressão final são exatamente a medida dos lados do triângulo inicial, exatamente como queríamos mostrar. Logo, a relação descoberta pelos pitagóricos vale, então, para qualquer triângulo retângulo. Que tal, agora, nós vermos uma outra demonstração desse Teorema ??? Vamos assistir a um vídeo bem legal que traz esta outra demonstração. É só visitar o link abaixo...

32 Relações Métricas no Triângulo Retângulo
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo Agora que vocês são especialistas em Relações Métricas, especialmente no meu Teorema ... ... vamos meter bronca nos exercícios, inclusive aplicações do Teorema na Geometria. Vamos lá ?!? Pitágoras está certo... Agora é exercitar. Primeiro, vamos resolver alguns para vocês observarem como é... ...depois é com vocês. Se houver alguma dificuldade, o professor vai dar uma ajudinha. Sucesso !! Imagem: Vatican Museum / Public Domain. Imagem: Clip-art do Power Point.

33 EXERCÍCIOS d = l 2 MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo EXERCÍCIOS 1ª Questão Qual é a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 5 cm? Resolução: Seja um quadrado de lado 5 cm. A diagonal de um quadrado nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo, em que seus catetos são dois dos lados do quadrado. Isso faz os catetos serem medidas iguais. Observe: Chamando a diagonal (hipotenusa) de x, e usando o Teorema de Pitágoras, teremos: x2 =  x2=  x2 = 50  x = 5 Logo, fica clara a generalização para o cálculo da diagonal de qualquer quadrado: x 5 cm 5 cm d = l 2

34 . MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo
2ª Questão Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 10cm. Resolução: Seja um triângulo equilátero de lado 10cm. A altura desse triângulo é um dos catetos do triângulo em destaque. Observe: Chamando a altura (que é um dos catetos do triângulo destacado) de x e usando o Teorema de Pitágoras, teremos: 102 = x2 + 52 O outro cateto mede 5cm, pois a altura divide a base ao meio e um destes novos segmentos será o outro cateto. Logo: 100 = x  x2 = 100 – 25  x = 75  x = 5 Logo, fica clara a generalização para o cálculo da altura de qualquer triângulo equilátero: 10cm .

35 Relações Métricas no Triângulo Retângulo
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo C B A 3ª Questão (UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mostra a figura. Se A está a 15m da base B da torre e C está a 20m de altura, determine o comprimento do cabo AC. Resolução: Observando a figura, notamos que a fixação faz a torre estar perpendicular ao chão. Isso quer dizer que os pontos A da fixação de um dos cabos e B e C da torre formam entre si um triângulo retângulo. A distância entre o ponto A de fixação do cabo e B da fixação da torre ao chão, formam o cateto menor, que mede 15m, conforme mostra a figura. A distância entre B e C na torre mede 20m, sendo este o outro cateto. O comprimento do cabo AC, portanto, é a hipotenusa (que chamaremos de x). Por essas informações e usando o Teorema de Pitágoras, temos: x2 = x2 = x2 = 625 x = 25

36 Relações Métricas no Triângulo Retângulo
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo 4ª Questão h A B C b n m c H Os catetos do triângulo retângulo ao lado medem: AB = c = 6cm e AC = b = 8cm. Determine a medida da projeção dos catetos sobre a hipotenusa e a altura (h) relativa a ela. Resolução: A hipotenusa na figura é o lado BC, que chamaremos de a. Como vimos nas relações, cada um dos catetos será a média geométrica entre sua projeção e a hipotenusa. Logo, vamos determinar inicialmente a hipotenusa. Por Pitágoras, vem : a2 =  a2 =  a2 = 100  a = 10 Agora que temos a hipotenusa, podemos usar a relação acima para cada cateto e sua projeção. Assim, teremos: c2 = a . m  62 = 10 . m  36 = 10 . m  m = 36/10  m = 3,6cm b2 = a . n  82 = 10 . n  64 = 10 . n  n = 64/10  m = 6,4cm

37 Agora, basta somarmos a medida dos lados que acabamos de encontrar.
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo 5ª Questão (UFPE) Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 16cm e 9cm. Calcule o perímetro desse triângulo. Resolução: Com a medida das projeções, imediatamente determinamos a medida da hipotenusa, pois sua medida é a soma das medidas das projeções. Logo: a = m + n  a =  a = 25cm Para o perímetro, nos falta a medida dos catetos. Usando a relação da questão anterior, teremos: b2 = a . n  b2 =  b2 = 400  b = 20 cm c2 = a . m  c2 =  c2 = 225  c = 15 cm Agora, basta somarmos a medida dos lados que acabamos de encontrar. a + b + c = = 60cm A B C h H . 9 cm 16 cm

38 EXERCÍCIOS MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo Chegou a hora de vocês assimilarem de vez as relações. Não deixem nenhum exercício para trás, ok?!? EXERCÍCIOS Imagem: Clip-art do Power Point. Determine a medida x em cada um dos triângulos retângulos a seguir: 5 12 13 x 2 x 6 a) 4 x 8 b) c)

39 Relações Métricas no Triângulo Retângulo
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo 2. (MOJI-SP) Uma escada mede 4m e tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4m da base do muro, conforme figura a seguir. Determine a altura do muro. 4m 2,4m 3. (Fuvest – SP) Qual a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujo perímetro é igual a 2? 4. Na figura ao lado, determine as medidas a, h, m e n . h A B C 4 n m 3 H

40 Relações Métricas no Triângulo Retângulo
MATEMÁTICA, 1 º Ano Relações Métricas no Triângulo Retângulo 20cm 25cm 75cm 1. Um marceneiro cortou uma tábua retangular de 75cm de comprimento por 20cm de largura, separando-a em dois trapézios congruentes. Sabendo que o comprimento do corte foi de 25cm, calcule a medida da base menor de um dos trapézios. 2. O lampião representado na figura ao lado está suspenso por duas cordas perpendiculares entre si presas ao teto. Sabendo que essas cordas medem 1/6 e 2/5, determine a distância do lampião ao teto. 3. Em um terreno plano e horizontal, um topógrafo marcou um ponto M a 9m do centro H da base de uma torre vertical. A seguir, marcou um ponto N na semirreta oposta de HM, a 16m de H, observando que os pontos M, N e o pico da torre determinavam um triângulo retângulo. Qual a altura da torre? M 9m H 16m N

41 Tabela de Imagens Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do Acesso
2, 3 e 20 Vatican Museum / Public Domain. 18/04/2012 27 32b e 38 Clip-art do Power Point 32a


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