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1 Lógica Proposicional-2 Conectivas Booleanas Provas informais e formais com conectivas Booleanas Referência: Language, Proof and Logic Jon Barwise e John.

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1 1 Lógica Proposicional-2 Conectivas Booleanas Provas informais e formais com conectivas Booleanas Referência: Language, Proof and Logic Jon Barwise e John Etchemendy, 1999 Capítulos:

2 Lógica Proposicional-2 Conectivas lógicas n Construir fórmulas arbitrárias a partir de fórmulas atómicas n Conjunção, disjunção e negação: são funcionais da verdade n valor de verdade de afirmações complexas só depende do valor de verdade das frases atómicas n Significado de conectiva: tabela de verdade n mostra como o valor de verdade de uma fórmula construída com ela depende dos valores de verdade dos seus constituintes n Significado de conectiva: jogo de Henkin-Hintikka n Egas e Becas não concordam no valor de verdade de uma frase complexa n Egas: diz que é verdadeira; Becas: diz que é falsa n Jogadores desafiam-se a justificar as suas afirmações em termos de afirmações mais simples n Chegando às fórmulas atómicas, pode examinar-se o mundo e verificar o seu valor lógico

3 Lógica Proposicional-3 Jogar com o Tarski´s World n Máquina faz papel de adversário e tenta ganhar mesmo quando o jogador faz uma afirmação verdadeira n Se o jogador faz afirmação falsa: – Máquina ganha, pondo em evidência falhas no raciocínio n Se o jogador faz afirmação verdadeira: – Máquina perde se o jogador é capaz de justificar as suas escolhas até às fórmulas atómicas – Máquina pode ganhar se alguma das justificações intermédias para a afirmação é mal escolhida

4 Lógica Proposicional-4 Negação Símbolo: n LN: não… não se verifica que… nenhum… in- des- – A Rita não está na sala – Não se verifica o facto de a Rita estar na sala NaSala(rita) – Quando é verdade: quando NaSala(rita) é falso n LN: dupla negativa tem sentido de negativa reforçada – Não faz diferença nenhuma – Interpretado como Não faz diferença alguma, e não como Faz alguma diferença LPO: NaSala(rita) é V quando NaSala(rita) for = tem abreviatura para negação: a b em vez de (a=b)

5 Lógica Proposicional-5 Semântica e regra do jogo Fórmula P de LPO: existe sempre P P é verdadeiro se e só se P é falso n Tabela de verdade P VF FV n Regra do jogo: não se faz nada :) Quando afirmamos a verdade de P, comprometemo-nos com a falsidade de P e vice-versa n Tarski´s World: reduz a afirmação negativa à positiva e troca o valor lógico escolhido

6 Lógica Proposicional-6 Conjunção Simbolo: n LN: e… e também… mas... Rita e Luis estão na sala NaSala(rita) NaSala(luis) – Verdadeira se Rita está na sala e Luis está na sala LN: e é mais expressivo que Rita entrou na sala e Luis saiu da sala Luis saiu da sala e Rita entrou na sala Entra(rita) Sai(luis) Sai(luis) Entra(rita) Verdadeiras nas mesmas circunstâncias

7 Lógica Proposicional-7 : Semântica e Regra do jogo P Q é verdadeiro sse P é verdadeiro e Q é verdadeiro n Tabela de verdade PQP Q VVV VFF FVF FFF n Regra do Jogo: – Se afirmamos V para P Q, afirmamos a verdade de P e Q n Máquina escolhe P ou Q e compromete-nos com a verdade deste n Se um deles é falso: escolhe esse n Se ambos verdadeiros ou ambos falsos: escolha arbitrária – Se afirmamos F para P Q: afirmamos que pelo menos um é falso n Máquina pede para nos comprometermos com o valor F para um deles

8 Lógica Proposicional-8 Disjunção Símbolo: n LN: ou… (entre frases ou entre componentes destas) A Rita ou o Luis estão na sala Significado corrente é inclusivo n LPO: disjunção só entre frases NaSala(rita) NaSala(luis) Significado é inclusivo n LN: significado exclusivo com ou … ou n Exclusivo em LPO: [NaSala(rita) NaSala(luis)] n nem … nem [ - - ]

9 Lógica Proposicional-9 : Semântica e Regra do jogo P Q é verdadeiro se pelo menos 1 de P e Q é verdadeiro, senão é falso n Tabela de verdade: PQP Q VVV VFV FVV FFF n Regra do Jogo: – Se afirmamos V para P Q n Máquina pede para nos comprometermos com o valor V para um deles – Se afirmamos F para P Q: afirmamos que ambos são falsos n Máquina escolhe P ou Q e compromete-nos com a falsidade deste n Se um só deles é verdadeiro: escolhe esse n Se ambos verdadeiros ou ambos falsos: escolha arbitrária

10 Lógica Proposicional-10 FormaAfirmaçãoQuem jogaObjectivo P QV nós F Tarskis World P QV Tarskis World F nós PV - F Regras do Jogo Escolher um de P e Q verdadeiro Escolher um de P e Q falso Mudar de P para P e trocar valor lógico escolhido Nota: podemos saber o valor lógico de P Q e não saber os valores lógicos de P nem de Q O jogo assume conhecimento completo sobre o mundo

11 Lógica Proposicional-11 Ambiguidade e Parêntesis n LN: ambiguidade é comum A Rita está na sala ou o Luis está na sala e o Rui está distraído n LPO: [NaSala(rita) NaSala(luis)] Distraido(rui) NaSala(rita) [NaSala(luis) Distraido(rui)] n Negação: parêntesis delimitam escopo NaSala(rita) NaSala(luis) [NaSala(rita) NaSala(luis)] n Critério dos parêntesis – Conjunção de qualquer número de frases: sem parêntesis – Disjunção de qualquer número de frases: sem parêntesis – Parêntesis extra usados livremente para obter significado pretendido

12 Lógica Proposicional-12 Equivalência lógica n P e Q são logicamente equivalentes: verdadeiros em exactamente as mesmas circunstâncias P Q n Tarskis World: – P e Q logicamente equivalentes: verdadeiras nos mesmos mundos – Existe um mundo no qual uma é verdadeira e outra falsa: não são logicamente equivalentes Leis de DeMorgan (P Q) P Q

13 Lógica Proposicional-13 Equivalência lógica Dupla negação: P P n Frases logicamente equivalentes: cada uma é consequência lógica da outra Usando dupla negação e leis de DeMorgan: qualquer fórmula escrita com,, se transforma noutra com aplicada nas fórmulas atómicas- forma normal com negação ((A B) C) (A B) C ( A B) C Notar: não é símbolo da linguagem: é uma forma abreviada de dizer que duas fórmulas são logicamente equivalentes

14 Lógica Proposicional-14 Equivalências lógicas Idempotência do : P Q P P Q Idempotência do : P Q P P Q Comutatividade do : P Q R Q P R Comutatividade do : P Q R Q P R

15 Lógica Proposicional-15 Tradução de Língua Natural n Frases em LN e em LPO: têm o mesmo significado se tiverem o mesmo valor lógico em todas as circunstâncias n Se a fórmula A é tradução de uma frase: A, logicamente equivalente a A, também o é n Mas… Algumas traduções são mais fiéis ao estilo da afirmação inicial Ex: Não é verdade que a Rita e o Luis estejam ambos na sala (NaSala(rita) NaSala(luis)) NaSala(rita) NaSala(luis) (1) é fiel ao estilo da frase em LN (2) não é fiel ao estilo

16 Lógica Proposicional-16 Satisfação e verdade lógica n Fórmula satisfazível (logicamente possível): - pode ser verdadeira, de um ponto de vista lógico ou- há alguma circunstância logicamente possível na qual é verdadeira n Conjunto de fórmulas é satisfazível Não basta cada uma ser satisfazível: NaSala(rita) NaSala(luis) NaSala(rita) NaSala(luis) n Tarskis World: – frase é satisfazível se se pode construir um mundo em que é verdadeira – chama-se-lhe TW-satisfazível n Mas… – há frases logicamente satisfazíveis que não podem tornar-se verdadeiras nos mundos do Tarskis World: – (Tet(b) Cube(b) Dodec(b)) não é TW-satisfazível existe circunstância possível na qual as fórmulas são simultaneamente verdadeiras

17 Lógica Proposicional-17 Fórmula logicamente verdadeira n Fórmula que é verdadeira qualquer que seja o mundo NaSala(rita) (Atento(luis) Atento(luis)) [(Atento(luis) Atento(rui)) Atento(luis) Atento(rui)] P logicamente verdadeiro: P não é satisfazível n Averiguar satisfação e verdade lógica: tabela de verdade (Cube(a) Cube(b)) Cube(c) (A B) C ABC (A B) C VVV VVF VFV VFF FVV FVF FFV FFF

18 Lógica Proposicional-18 Decidir satisfação de fórmula ABC (A B) C VVVVF VVFVV VFVFF VFFFV FVVFF FVFFV FFVFF FFFFV ABC (A B) C VVVVVF VVFVVV VFVFFF VFFFVV FVVFFF FVFFVV FFVFFF FFFFVV

19 Lógica Proposicional-19 Tautologia n Linhas espúrias: não representam possibilidades genuínas n Ex: A é fórmula atómica a=a A segunda metade da 1ª coluna da tabela é espúria: a=a não pode ser falso n Ex: A é Tet(c) Linhas que têm V para A e para C são espúrias porque c não pode ser tetraedro e cubo n Investigar verdade lógica: linhas espúrias são ignoradas n Reconhecer linhas espúrias: – pelo significado das fórmulas atómicas n Mais forte que verdade lógica: tautologia – fórmula verdadeira em todas as linhas, espúrias ou não – Tautologias são verdades lógicas, algumas verdades lógicas não são tautologias ( a=a )

20 Lógica Proposicional-20 Tautologia e verdade lógica F: fórmula construída a partir de fórmulas atómicas com conectivas Tabela de verdade para F mostra como o seu valor lógico depende do das suas partes atómicas F é tautologia se e só se toda a linha lhe atribui V F é satisfazível (possibilidade lógica) se e só se há pelo menos uma linha não espúria que lhe atribui V F é logicamente verdadeira (necessidade lógica) se e só se todas as linhas não espúrias lhe atribuem V F é TW-satisfazível (TW-possível) se existe um mundo TW que a torna verdadeira

21 Lógica Proposicional-21 Classificação de fórmulas n Toda a tautologia é uma verdade lógica n Há verdades lógicas que não são tautologias n Prova de verdade lógica – se se pode provar P sem premissas, P é verdade lógica Tautologias Necessidades lógicas Necessidades do TW Tet(a) a=a Tet(a) Cube(a) Dodec(a)

22 Lógica Proposicional-22 Dois princípios n Tautologia (equivale a V): P P - princípio do terceiro excluído – P é verdade ou P é falso e não há outra hipótese n Não satisfazível (equivale a F): P P - princípio da não contradição – P não pode ser verdade e falso simultaneamente

23 Lógica Proposicional-23 Equivalência lógica e tautológica n Frases tautológicamente equivalentes – equivalentes atendendo apenas ao significado das conectivas – … pode ser averiguado na tabela de verdade n S e S são tautologicamente equivalentes se toda a linha da tabela de verdade conjunta lhes atribui os mesmos valores n Frases tautológicamente equivalentes são logicamente equivalentes n Algumas equivalências lógicas não são equivalências tautológicas

24 Lógica Proposicional-24 Consequência lógica e tautológica n Frase S é consequência tautológica de S – consequência que atende apenas ao significado das conectivas – … pode ser averiguada na tabela de verdade n S é consequência tautológica de S se toda a linha da tabela de verdade que atribui V a S atribui o mesmo valor a S n As consequências tautológicas são também consequências lógicas n Algumas consequências lógicas não são consequências tautológicas – Ex: a=c é consequência de a=b b=c

25 Lógica Proposicional-25 Consequência tautológica em Fitch n Métodos na construção de provas formais com o Fitch n Consequência Tautológica (Taut Con) – consequência que só atende ao significado das conectivas – ignora quantificadores e significado dos predicados n Consequência de 1ª Ordem (FO Con) – consequência atende a conectivas, quantificadores e predicado = n Consequência Analítica (Ana Con) – consequência atende a conectivas, quantificadores, predicado = e maioria dos predicados do TW n (ignora Between e Adjoins)

26 Lógica Proposicional-26 Quadrado da simulação n Lógica como simulação para obter novo conhecimento – partir da realidade – representar em LPO – raciocinar, obter uma conclusão – regressar ao equivalente da conclusão na realidade. Realidade frases em Língua Natural representar frases em LPO inferir Simulação conclusão novo conhecimento

27 Lógica Proposicional-27 Passos válidos usando, e Para cada conectiva: padrões de inferência n A P pode seguir-se qualquer fórmula que seja sua consequência – Ex: (dupla negação) P dá origem a P, e vice-versa n Q é verdade lógica: pode introduzir-se em qualquer ponto De P Q infere-se P e infere-se Q – eliminação da conjunção Tendo provado P e Q pode inferir-se P Q – introdução da conjunção Tendo provado P pode inferir-se P Q … R – introdução da disjunção

28 Lógica Proposicional-28 Métodos de prova n Prova por casos (eliminação da disjunção) – Fórmula a provar: F – Disjunção já provada: P Q – Mostra-se que se obtém F se se assumir P, e que se obtém F se se assumir Q ; um deles tem de verificar-se, e conclui-se F – Generaliza-se a qualquer número de elementos na disjunção n Prova por contradição (introdução de negação) – Fórmula a provar: F – Premissas: P, Q, R, … – Assumir F, e mostrar que se obtém uma contradição – F é consequência lógica das premissas

29 Lógica Proposicional-29 Prova por casos Mostrar que existem números irracionais b e c tais que b c é racional Considera-se : é racional ou é irracional – Se é racional: temos b = c = – Se é irracional: fazemos b= e c = b c = ( ) = Quer seja racional ou irracional, existem b e c irracionais tais que b c é racional

30 Lógica Proposicional-30 Prova por casos 2 Provar que Small(c) é consequência de (Cube(c) Small(c)) (Tet(c) Small(c)) : n Prova: (Cube(c) Small(c)) (Tet(c) Small(c)) é premissa Vamos analisar 2 casos, para os 2 componentes da disjunção I- Assume-se Cube(c) Small(c) Então Small(c) (por eliminação da conjunção) II- Assume-se Tet(c) Small(c) Então Small(c) (por eliminação da conjunção) Em qualquer dos casos: obtém-se Small(c)

31 Lógica Proposicional-31 Prova por casos 3 De (NaSala(rita) Feliz(rui)) (NaSala(ana) Feliz(luis)) pretendemos provar Feliz(rui) Feliz(luis) n Assumindo a disjunção da premissa temos que – (NaSala(rita) Feliz(rui)) ou – (NaSala(ana) Feliz(luis)) No primeiro caso temos Feliz(rui) e portanto Feliz(rui) Feliz(luis) por introdução de disjunção No segundo caso temos Feliz(luis) e portanto Feliz(rui) Feliz(luis) por introdução de disjunção Em qualquer dos casos, tem-se a conclusão pretendida

32 Lógica Proposicional-32 Prova indirecta n Exemplo: – Premissas: BackOf(a,b) – BackOf(b,c) – i) se assumir Cube(a) n Não se consegue extrair mais informação – ii) se assumir ¬BackOf(a,b) n Contradição directa com uma premissa n Pode-se concluir o contrário, embora sem valor acrescentado – iii) se assumir BackOf(c,a) n De BackOf(a,b) e BackOf(b,c) conclui-se BackOf(a,c) e daí ¬BackOf(c,a) n Contradição indirecta com uma conclusão das premissas n Em geral, se há contradição é porque de algum modo a conclusão contrária já está implícita nas premissas e portanto pode ser explicitada

33 Lógica Proposicional-33 Prova por contradição Premissas: Cube(c) Dodec(c) e Tet(b) Concluir : b c n Prova: – Supondo b=c – Da 1ª premissa: Cube(c) ou Dodec(c) Se Cube(c), então Cube(b) (indiscernibilidade dos idênticos) o que contradiz Tet(b) Se Dodec(c) então Dodec(b) (indiscernibilidade dos idênticos) o que contradiz Tet(b) n Obtemos contradição nos 2 casos, logo contradição. Então, b c

34 Lógica Proposicional-34 Prova por contradição 2 Provar: é irracional – Factos acerca dos racionais n nº racional pode ser expresso como p/q, com pelo menos 1 de p e q ímpar n elevando ao quadrado um número ímpar, obtém-se outro ímpar; se n 2 é par, n é par e n 2 é divisível por 4 n Prova: – Suposição: é racional = p/q (um de p e q é ímpar) p 2 / q 2 =2 ou p 2 = 2 q 2 : p 2 é par e p 2 é divisível por 4 p 2 é divisível por 4, q 2 é divisível por 2; q é par p e q ambos pares: contradiz a afirmação incial Então não é racional

35 Lógica Proposicional-35 O que é contradição? n Afirmação que não pode ser verdadeira n Conjunto de afirmações que não podem ser verdadeiras simultaneamente NaSala(rita) b Cube(c) e Tet(c) n Conjunto de frases é contraditório se não puder ser satisfeito Para provar F usando contradição: Assume-se F Constrói-se F Conclui-se F e portanto F

36 Lógica Proposicional-36 Premissas inconsistentes n Conjunto de frases é inconsistente: não existe um mundo no qual possam ser satisfeitas simultaneamente n Consequência lógica: qualquer fórmula é consequência de um conjunto inconsistente de premissas – Argumento é válido trivialmente por não haver nenhuma circunstância que torne as premissas simultaneamente verdadeiras NaSala(rita) NaSala(luis) NaSala(rita) NaSala(luis) n Argumentos com premissas insconsistentes: pouco úteis – se não há circunstância que torne as premissas simultaneamente verdadeiras, não temos indicação quanto ao valor lógico da conclusão – argumento não é sólido

37 Lógica Proposicional-37 Estilo n Nas provas informais, os passos mencionados devem ser – Relevantes, para não aborrecer nem distrair o leitor – De fácil compreensão, para serem convincentes n Significa que as provas devem levar em consideração a quem se destinam

38 Lógica Proposicional-38 Regras de inferência para Eliminação da conjunção ( Elim) P1 Pi Pn Pi Introdução da conjunção ( Intro) P1 Pn P1 Pi Pn significa que todos os elementos P1 a Pn têm de aparecer na prova antes de se introduzir a conjunção P1 Pn

39 Lógica Proposicional-39 nas provas formais 1. A B C 2. B Elim: 1 3. C Elim: 1 4. C B C Intro: 3,2,3 Parêntesis: introduzir quando pode haver ambiguidade 1. P Q 2. R 3. ( P Q) R Intro: 1,2 1. P Q 2. R 3. P Q R Intro: 1,2

40 Lógica Proposicional-40 Regras de inferência para P1 Pi Pn F Eliminação da disjunção ( Elim) Introdução da disjunção ( Intro) Pi P1 Pi Pn P1 F Pn F Prova por casos

41 Lógica Proposicional-41 nas provas formais 1. ( A B) ( C D) 2. (A B) 3. B Elim: 2 4. B D Intro: 3 5. (C D) 6. D Elim: 5 7. B D Intro: 6 8. B D Elim: 1, 2-4, 5-7

42 Lógica Proposicional-42 Exemplo 1. P ( Q R) 2. P 3. P Q Intro: 2 4. P R Intro: 5. Intro: 3,4 6. Q R 7. Q Elim: 8. P Q Intro: 7 9. R Elim: Intro: (P Q) P R) Intro: 8, (P Q) P R) Elim:, 2-5, 6- ? ? ? ? ? ? ? ?

43 Lógica Proposicional-43 Regras de Inferência para Eliminação da negação ( Elim) Introdução da negação ( Intro) P P P Prova por contradição

44 Lógica Proposicional-44 Contradição 1. P Q 2. P Q 3. P 4. P Elim: 2 5. Intro: 4,3 6. Q 7. Q Elim: 2 8. Intro: 7,6 9. Elim: 1, 3-5, P Q) Intro: 2-9 Eliminação da contradição ( Elim) P Introdução da contradição ( Intro) P P Teorema 3

45 Lógica Proposicional-45 nas provas formais 1. A 2. A 3. A A Intro: 1,2 4. A Intro: 2-3 A 1. P 2. P 3. Q 4. P P Intro: 1,2 5. Q Intro: Q Elim: 5 Prova-se fórmula arbitrária a partir de premissas inconsistentes Teorema 1

46 Lógica Proposicional-46 Exemplo 1. P Q P 2. P Elim: 1 3. P Elim: 1 4. P P Intro: 2,3 5. ( P Q P) Intro: 1-4 Prova de verdade lógica: não tem premissas

47 Lógica Proposicional-47 Uso de subprovas 1. ( B A) ( A C) 2. B A 3. B Elim: 2 4. A Elim: 2 5. (A C) 6. A Elim: 5 7. A Elim: 1, 2-4, A B Intro: 7,3 Errado 8: usa passo 3 de subprova fechada Quando uma subprova é fechada: Suposições são descarregadas Subprova pode ser usada como um todo para justificar outros passos

48 Lógica Proposicional-48 Exemplo 1. ( P R) 2. ( P R) 3. P 4. P R Intro: 3 5. ( P R) ( P R) Intro: 4,2 6. P Intro: P Elim: 6 8. R 9. P R Intro: ( P R) ( P R) Intro: 9,2 11. R Intro: R Elim: P R Intro: 7, P R) Reit: (P R) P R) Intro: 13, ( P R) Intro: P R Elim: 16 Teorema 2

49 Lógica Proposicional-49 Exercício Teorema do Cancelamento 1. P Q 2. P 3. P 4. Q 5. P P Intro: 3,2 6. Q Intro: Q Elim: 6 8. Q 9. QReit : Q Elim: 1,3-7,8-9

50 Lógica Proposicional-50 Citar teoremas Para encurtar a prova em F : usar resultados prévios 1. ( P Q) 2. P 3. P Q Teor Prev (Teorema 2): 1 4. P Teor Prev (Teorema 1): 2 5. Q Teor Prev (Cancelamento): 3,4 n Símbolos usados nas provas: podem ser substituídos – por outros símbolos – por fórmulas arbitrárias

51 Lógica Proposicional-51 Formas normais Leis distributivas Para toda a escolha de fórmulas P, Q e R (1) Distributividade de sobre : P (Q R) (P Q) (P R) n Forma normal disjuntiva (DNF): – Fórmula construída a partir de literais com as conectivas e : reescrita como disjunção de conjunções de literais n Forma normal conjuntiva (CNF): – Fórmula construída a partir de literais com as conectivas e : reescrita como conjunção de disjunções de literais

52 Lógica Proposicional-52 Exemplo Transformar em forma normal disjuntiva (A B) (C D) (A B) C] (A B) D] (A C) (B C) (A B) D] (A C) (B C) (A D) (B D) Transformar em forma normal conjuntiva (A B) (C D) (A B) C] (A B) D] (A C) (B C) (A B) D] (A C) (B C) (A D) (B D) ((A B) C) (A B) C ( A B) C ( A C) B C)

53 Lógica Proposicional-53 Completude para as funções da verdade Uma conectiva arbitrária pode ser expressa com, e ? n Conectivas binárias: tabela de verdade tem 4 linhas – cada linha pode ter V ou F – número de conectivas possíveis: 2 4 PQP Q VV valor1 VF valor2 FV valor3 FF valor4 C1=P Q C2= P Q C3= P Q C4= P Q Representação de *: disjunção dos Ci correspondentes a linhas com valor V Todas as funções binárias funcionais da verdade podem ser descritas com, e

54 Lógica Proposicional-54 Completude para as funções da verdade n Conectivas unárias P V valor1 F valor2 Ambos os valores F : P P Outros casos: disjunção de C1= P e C2= P n Conectivas de outras aridades VVVF V Exprimir conectiva em DNF: (P Q R) Não são necessários, e : P Q P Q)


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