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Lógica Proposicional-1 LN: o que decorre de uma frase? n Ao traduzir LN para LPO: – questão do que é ou não consequência da frase A Rita está na sala quando.

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1 Lógica Proposicional-1 LN: o que decorre de uma frase? n Ao traduzir LN para LPO: – questão do que é ou não consequência da frase A Rita está na sala quando o Rui não está na sala NaSala(Rui) NaSala(Rita) – Na frase em LN: decorre de alguma maneira que se o Rui estiver na sala, então a Rita não estará n Distinção a fazer: – condições de verdade de uma afirmação – outras coisas que decorrem da afirmação n H.P. Grice: introduz noção de decorrência conversacional

2 Lógica Proposicional-2 Decorrência Conversacional Frase F, e conclusão C n se C faz parte do significado de F: não pode ser cancelada por afirmações subsequentes A Rita e o Rui estão na sala … mas o Rui não está na sala O Rui está na sala é parte do significado: não pode ser cancelado n se C é mera decorrência de F: pode ser cancelada por afirmações subsequentes A Rita está na sala quando o Rui não está na sala … mas quando o Rui está na sala não sei onde está a Rita NaSala(Rita) NaSala(Rui) não faz parte do significado da afirmação: pode ser cancelado na afirmação seguinte sem contradição

3 Lógica Proposicional-3 Métodos de prova usando e Estritamente: podem usar-se só as regras para, e Provas mais naturais: usam regras próprias para e n Passos de prova: n Modus ponens ou eliminação do condicional – tendo estabelecido P Q e P pode inferir-se Q n Eliminação do bicondicional – tendo estabelecido Q R ou R Q, tendo Q pode inferir-se R n Equivalências P Q Q P P Q (P Q) P Q P Q (P Q) (Q P) P Q (P Q) ( P Q) contrapositiva

4 Lógica Proposicional-4 Método de prova condicional Para provar P Q : – Assumir P como premissa – Provar Q Exemplo: A C é consequência de A B e B C – Assumindo A: de A B, por modus ponens infere-se B – De B e B C, por modus ponens infere-se C – Provou-se C tendo assumido A, provou-se A C Exemplo: Par(n 2 ) Par(n) – Assumindo Par(n 2 ), e fazendo prova por contradição n n é ímpar, n= 2m + 1 n n 2 = (2m+1) 2 = 4 m 2 + 4m + 1 = 2 (2 m 2 + 2m) +1 donde n 2 é ímpar n Contradiz a premissa, logo n é par – Par(n 2 ) Par(n) infere-se por prova condicional

5 Lógica Proposicional-5 Provas com Prova condicional: para provar P Q – Assumir P e provar Q – Assumir Q e provar P n Para provar Q1, Q2, Q3 todos equivalentes: Expressão em LPO: Q1 Q2 Q2 Q3 Q1 Q3 Em vez de 6 provas condicionais: provar um ciclo Q1 Q2 Q2 Q3 Q3 Q1

6 Lógica Proposicional-6 Exemplo n As condições seguintes nos números naturais são todas equivalentes: (1) n é par (2) n 2 é par (3) n 2 é divisível por 4 Provando (3) (2) (1) (3) – Assumindo (3): se n 2 é divisível por 4, é divisível por 2, logo (2) – (2) (1) por contrapositiva: se n é ímpar, pode escrever-se n n= 2m + 1 n n 2 = (2m+1) 2 = 4 m 2 + 4m + 1 = 2 (2 m 2 + 2m) +1 é ímpar – (1) (3) é evidente

7 Lógica Proposicional-7 Regras de inferência para Eliminação do condicional ( Elim) P Q P Q  Introdução do condicional ( Intro) P Q P Q  Prova condicionalModus ponens

8 Lógica Proposicional-8 nas provas formais 1. (A B) C 2. A 3. A B Intro: 2 4. C Elim: 1,3 5. A C Intro: A 2. A 3. A A Intro: 1,2 4. A Intro: 2,3 5. A A Intro: 1-4 Construindo a partir da prova de A a partir de A a prova do condicional A (sem premissas)

9 Lógica Proposicional-9 Regras de inferência para Eliminação do bicondicional ( Elim) P Q (ou Q P ) P Q  Introdução do bicondicional ( Intro) P Q P P Q  Dupla prova condicional

10 Lógica Proposicional-10 nas provas formais 1. (P Q) 2. P Q Teor Prev(Teorema 2): 1 3. P Q 4. (P Q) Teor Prev(Teorema 3): 3 5. (P Q) ( P Q) Intro: 1-2, 3-4

11 Lógica Proposicional-11 Sistema F n Sistema F é equivalente a F mas permite provas mais curtas n Substituição de fórmulas logicamente equivalentes em provas Substituição generalizada (Gen Sub) P Q (ou Q P ) S(P) S(Q)  1. A B 2. B D 3. A D Gen Sub: 1,2 1. P Q) 2. (P Q) ( P Q) Teor Prev(Teorema 2): 1 3. (P Q) Gen Sub: 2, 1 4. P Q Elim:3

12 Lógica Proposicional-12 Negação generalizada P : obtido de P juntando ou apagando um número ímpar de Eliminação da negação ( Elim) Introdução da negação ( Intro) P P  Q Q P  Generalização: podemos apagar negações em vez de as acrescentar, para encurtar as provas

13 Lógica Proposicional-13 Contradição 1. P Q 2. P Q 3. P 4. P Elim: 2 5. Intro: 4,3 6. Q 7. Q Elim: 2 8. Intro: 7,6 9. Elim: 1, 3-5, P Q) Intro: 2-9 Eliminação da contradição ( Elim) P  Introdução da contradição ( Intro) P P  Teorema 3


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