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Análise Numérica - Apresentação 1 Análise Numérica Objectivo: Resolver problemas matemáticos usando operações de aritmética Uso do computador.

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1 Análise Numérica - Apresentação 1 Análise Numérica Objectivo: Resolver problemas matemáticos usando operações de aritmética Uso do computador

2 Análise Numérica - Apresentação 2 Porquê? Problemas reais Modelos matemáticos Resoluções eficientes (com computadores…) Aplicações em áreas como Ciências Sociais Economia Engenharia Medicina... Análise Numérica

3 Análise Numérica - Apresentação 3 Como funciona? Aulas teóricas (teoria + exemplos) Aulas práticas (máquina de cálcular + computador ) Avaliação Prova prática (computador) – (2 valores) + Exame final (máquina de calcular) – (18 valores) Questão (computador) – (2 valores)

4 Análise Numérica - Apresentação 4 Bibliografia Apontamentos na editorial (e na página da disciplina) Valença, Maria Raquel; Métodos numéricosMétodos numéricos Pina, Heitor; Métodos numéricosMétodos numéricos Burden, Richard L.; Numerical AnalysisNumerical Analysis Atkinson, Kendall E.; An introduction to numerical analysisAn introduction to numerical analysis Stewart, G. W.; Afternotes on numerical analysisAfternotes on numerical analysis Schilling, Robert J.; Applied numerical methods for engineersApplied numerical methods for engineers Fausett, Laurene V.; Applied numerical analysis using MatlabApplied numerical analysis using Matlab

5 Análise Numérica - Apresentação 5 Programa Equações não lineares – Métodos iterativos Problema: Encontrar as raízes de Objectivo: Determinar

6 Análise Numérica - Apresentação 6 Programa Métodos iterativos Reescrever a equação: Ambas são verificadas para

7 Análise Numérica - Apresentação 7 Programa Estamos em presença de um Método Numérico Iterativo: Produz uma solução aproximada Processo rápido (neste caso) n xnxn x n+1 011,5 1 1, , , , ,

8 Análise Numérica - Apresentação 8 Programa Sistemas de equações lineares Métodos Directos Métodos Iterativos Aproximação polinomial Interpolação polinomial Introdução ao método dos mínimos quadrados

9 Análise Numérica - Apresentação 9 Programa Integração numérica Diferenciação numérica Introdução à resolução numérica de equações diferenciais Exemplo: Movimento do pêndulo

10 Análise Numérica - Apresentação 10 Programa Métodos Numéricos soluções aproximadas. Como controlar o erro? Teoria de erros

11 Análise Numérica - Apresentação 11 Como se cometem erros?... sin( ) 0, parcelassomas parciais 7, E-01 -8, E-02 7, E-01 2, E-03 7, E-01 -3, E-05 7, E-01 3, E-07 7, E-01 -1, E-09 7, E-01 6, E-12 7, E-01 -2, E-14 7, E-01 4, E-17 7, E-01 -8, E-20 7, E-01

12 Análise Numérica - Apresentação 12 Erros dos instrumentos de cálculo Exemplo f(x,y)=333.75y 6 +x 2 (11x 2 y 2 -y y 4 -2)+5.5y 8 +x/(2y) Matlab f(77617,33096) = e+021 (Matlab) Maple f(77617,33096) = … ( 40 Digits) f(77617,33096) = 0.1…×10 8 ( 30 Digits) Resultado exacto = …

13 Análise Numérica - Apresentação 13 Representação dos números Números em vírgula flutuante (float) Mantissa (<1 e 0.1) com t dígitos, expoente com k dígitos Números representados pela máquina (só um conjunto finito de pontos x i =x i -1 (1+epsilon)) Epsilon= M =b -t+1 Float= sinal mantissa base expoente overflow underflow -x max -x min x min x max 0

14 Análise Numérica - Apresentação 14 Uma pequena animação Para ver o efeito de t e k na fórmula Clique aqui Nota: Se não consegue ver, instale o Macromedia Flash Player (em )http://www.macromedia.com/downloads/

15 Análise Numérica - Apresentação 15 Representação dos números Exemplos: (32.4) ( ) 10 2 ( ) ( ) 2 4

16 Análise Numérica - Apresentação 16 – Erros computacionais Qual a causa dos erros? Nem todos os números podem ser representados A adição (+) e a multiplicação ( ) não são operações internas no conjunto dos números em vírgula flutuante

17 Análise Numérica - Apresentação 17 Como aparecem resultados diferentes? Exemplo =-9.9 (exacto) Máquina de cálcular com base=10 e: tresultado = = = =-10.9

18 Análise Numérica - Apresentação 18 Porque aparecem resultados tão diferentes? Erro > resultado

19 Análise Numérica - Apresentação 19 Como se podem evitar? Usando máquinas mais precisas. Usando expressões equivalentes (na aritmética exacta) menos sensíveis aos erros nos cálculos. Casa: Calcule as duas expressões para Maple


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