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Análise Numérica - Apresentação 1 Análise Numérica Objectivo: Resolver problemas matemáticos usando operações de aritmética Uso do computador.

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1 Análise Numérica - Apresentação 1 Análise Numérica Objectivo: Resolver problemas matemáticos usando operações de aritmética Uso do computador

2 Análise Numérica - Apresentação 2 Porquê? Problemas reais Modelos matemáticos Resoluções eficientes (com computadores…) Aplicações em áreas como Ciências Sociais Economia Engenharia Medicina... Análise Numérica

3 Análise Numérica - Apresentação 3 Como funciona? Aulas teóricas (teoria + exemplos) Aulas práticas (máquina de cálcular + computador ) Avaliação Prova prática (computador) – (2 valores) + Exame final (máquina de calcular) – (18 valores) Questão (computador) – (2 valores)

4 Análise Numérica - Apresentação 4 Bibliografia Apontamentos na editorial (e na página da disciplina) Valença, Maria Raquel; Métodos numéricosMétodos numéricos Pina, Heitor; Métodos numéricosMétodos numéricos Burden, Richard L.; Numerical AnalysisNumerical Analysis Atkinson, Kendall E.; An introduction to numerical analysisAn introduction to numerical analysis Stewart, G. W.; Afternotes on numerical analysisAfternotes on numerical analysis Schilling, Robert J.; Applied numerical methods for engineersApplied numerical methods for engineers Fausett, Laurene V.; Applied numerical analysis using MatlabApplied numerical analysis using Matlab

5 Análise Numérica - Apresentação 5 Programa Equações não lineares – Métodos iterativos Problema: Encontrar as raízes de Objectivo: Determinar

6 Análise Numérica - Apresentação 6 Programa Métodos iterativos Reescrever a equação: Ambas são verificadas para

7 Análise Numérica - Apresentação 7 Programa Estamos em presença de um Método Numérico Iterativo: Produz uma solução aproximada Processo rápido (neste caso) n xnxn x n+1 011,5 1 1,41666666666667 2 1,41421568627451 3 1,41421356237469 4 1,41421356237309 5 1,414213562373100

8 Análise Numérica - Apresentação 8 Programa Sistemas de equações lineares Métodos Directos Métodos Iterativos Aproximação polinomial Interpolação polinomial Introdução ao método dos mínimos quadrados

9 Análise Numérica - Apresentação 9 Programa Integração numérica Diferenciação numérica Introdução à resolução numérica de equações diferenciais Exemplo: Movimento do pêndulo

10 Análise Numérica - Apresentação 10 Programa Métodos Numéricos soluções aproximadas. Como controlar o erro? Teoria de erros

11 Análise Numérica - Apresentação 11 Como se cometem erros?... sin( ) 0,707106781186547 parcelassomas parciais 7,85398163397448E-01 -8,07455121882808E-02 7,04652651209167E-01 2,49039457019272E-03 7,07143045779360E-01 -3,65762041821772E-05 7,07106469575178E-01 3,13361689037812E-07 7,07106782936867E-01 -1,75724767344340E-09 7,07106781179619E-01 6,94845327388663E-12 7,07106781186567E-01 -2,04102633966414E-14 7,07106781186547E-01 4,62870462883468E-17 7,07106781186547E-01 -8,34858983481167E-20 7,07106781186547E-01

12 Análise Numérica - Apresentação 12 Erros dos instrumentos de cálculo Exemplo f(x,y)=333.75y 6 +x 2 (11x 2 y 2 -y 6 -121y 4 -2)+5.5y 8 +x/(2y) Matlab f(77617,33096) = -1.1806e+021 (Matlab) Maple f(77617,33096) = -0.8273960599468… ( 40 Digits) f(77617,33096) = 0.1…×10 8 ( 30 Digits) Resultado exacto = -0.8273960599468…

13 Análise Numérica - Apresentação 13 Representação dos números Números em vírgula flutuante (float) Mantissa (<1 e 0.1) com t dígitos, expoente com k dígitos Números representados pela máquina (só um conjunto finito de pontos x i =x i -1 (1+epsilon)) Epsilon= M =b -t+1 Float= sinal mantissa base expoente overflow underflow -x max -x min x min x max 0

14 Análise Numérica - Apresentação 14 Uma pequena animação Para ver o efeito de t e k na fórmula Clique aqui Nota: Se não consegue ver, instale o Macromedia Flash Player (em http://www.macromedia.com/downloads/ )http://www.macromedia.com/downloads/

15 Análise Numérica - Apresentação 15 Representação dos números Exemplos: (32.4) 10 +0.324 10 2 (3 10 -1 +2 10 -2 +4 10 -3 ) 10 2 (-1011.11) 2 -0. 101111 2 4 (1 2 -1 +0 2 -2 +1 2 -3 + 1 2 -4 +1 2 -5 +1 2 -6 ) 2 4

16 Análise Numérica - Apresentação 16 – Erros computacionais Qual a causa dos erros? Nem todos os números podem ser representados A adição (+) e a multiplicação ( ) não são operações internas no conjunto dos números em vírgula flutuante

17 Análise Numérica - Apresentação 17 Como aparecem resultados diferentes? Exemplo 25632 7553-59425 3247.8-321 1862.9=-9.9 (exacto) Máquina de cálcular com base=10 e: 193598496 193000515597990.9 tresultado 5.19360 10 9 -.19300 10 9 -.59799 10 6 =2010 6.193598 10 9 -.193001 10 9 -.597991 10 6 =-991 7.1935985 10 9 -.1930005 10 9 -.5979909 10 6 =9.1 8.19359850 10 9 -.19300052 10 9 -.5979909 10 6 =-10.9

18 Análise Numérica - Apresentação 18 Porque aparecem resultados tão diferentes? Erro > resultado

19 Análise Numérica - Apresentação 19 Como se podem evitar? Usando máquinas mais precisas. Usando expressões equivalentes (na aritmética exacta) menos sensíveis aos erros nos cálculos. Casa: Calcule as duas expressões para Maple


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