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Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-1 Formalizar semântica da LPO n Tratamento das noções semânticas da LPO Proposicional1ª Ordem Tabela de verdade Atribuições.

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1 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-1 Formalizar semântica da LPO n Tratamento das noções semânticas da LPO Proposicional1ª Ordem Tabela de verdade Atribuições de verdade Domínios de discurso Estruturas de 1ª ordem Informal Formal n Atribuições de verdade: insuficientes para a semântica de frases quantificadas x P(x) verdade não é função da verdade de outras frases

2 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-2 Representação rigorosa de um mundo n Estrutura de 1ª ordem: – especifica colecção de objectos como domínio de discurso – estabelece as propriedades dos objectos n Exemplo: sublinguagem da do Tarski´s World – Predicados CubeLarger= – Nomes c – Há número infinito de frases na linguagem n Descrever o mundo no que diz respeito à linguagem exemplo: – D={b1, b2, b3, b4}conjunto de objectos é domínio de discurso – Factos: acerca das propriedades que podem ser expressas n posição dos objectos: irrelevante, não se pode falar dela forma dos objectos: predicado Cube n Cu={b1, b2, b3} subconjunto do domínio de discurso é extensão do predicado

3 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-3 MaryE.wld

4 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-4 Representação rigorosa de um mundo n Descrever o mundo(cont.) – posição dos objectos: é irrelevante, não há predicado que fale dela – tamanho dos objectos n La ={,,,, } n pares em que x e y são elementos de D La sse x é maior que y – função de nomeação n associa cada nome com o seu referente- objecto do domínio a que o nome está associado – identidade entre objectos- predicado = n extensão fixada dado D n {,,, }

5 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-5 Estrutura de 1ª ordem n Agrupa – domínio do discurso – extensões dos predicados – referentes dos nomes Função única M (de modelo) – Domínio de M n predicados da linguagem n nomes da linguagem símbolo de quantificador – M ( ) é o conjunto não vazio D- domínio do discurso – M (p) para cada predicado n-ário da linguagem n conjunto de tuplos de elementos de D - extensão de p – M (c) para cada nome da linguagem n é elemento de D - referente de c Notação simplificada M (Cube) - Cube M M ( ) - D M

6 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-6 Estruturas espúrias n Frases atómicas podem ser não independentes – há atribuições de verdade que não representam possibilidades genuínas – há estruturas de 1ª ordem que não representam possibilidades genuínas n Consideram-se apenas as estruturas que respeitam as relações entre frases atómicas n Exemplo: – acrescentando predicado Tet à linguagem exemplo – Estruturas em que um objecto esteja simultaneamente em Tet M e em Cube M : são espúrias

7 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-7 Verdade e satisfação x P(x) x P(x) n Quando são verdadeiras? n Informalmente: – Satisfação de uma fórmula por um objecto n c - novo nome n S(c) quando é verdadeiro n Formalmente: nas estruturas de 1ª ordem – M : estrutura de 1ª ordem com domínio D – Atribuição de variáveis: função (parcial) h das variáveis para D – Exemplo: D={a,b,c} n h1 atribui b à variável x n h2 atribui a,b,c às variáveis x,y,z respectivamente n h3 atribui b a todas as variáveis da linguagem h4 é a função vazia (h )

8 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-8 Atribuição de verdade n Atribuição é apropriada para a wff P: – Todas as variáveis de P estão no domínio de h – No exemplo: n h1 é apropriada para qualquer wff com variável x, ou sem variáveis n h2 é apropriada para qualquer wff com variáveis em {x,y,z} n h3 é apropriada para todas as wff n h4 é apropriada para wffs sem variáveis livres n Modificação de uma atribuição de variáveis h – notação h[v/b] – atribuição cujo domínio é o de h acrescido da variável v – toma os mesmos valores que h, excepto para v – atribui a v o valor b

9 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-9 Exemplo n h1 atribui b à variável x – h1[y/c] atribui b à variável x e c à variável y – h1[x/c] só atribui valor a x e é c n h2 atribui a,b,c às variáveis x,y,z respectivamente – h2[x/b] atribui os valores b,b,c às variáveis x,y,z – h2[u/c] atribui os valores c,a,b,c às variáveis u,x,y,z n h3 atribui b a todas as variáveis da linguagem – h3[y/b] é a mesma atribuição que h3 – h3[y/c] atribui c à variável y e b às restantes

10 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-10 Satisfação em M com atribuição h n Satisfação da wff P na estrutura M com atribuição h – Fórmula atómica Ex: P(x,c,y) n h tem de atribuir elementos de D a x e y h(x) = a h(y) = d n M atribui a c uma denotação, seja b Nesta estrutura e atribuição: n P(x,c,y) afirma que o tuplo está na extensão de P P M h satisfaz P(x,c,y) – Negação P é Q n h satisfaz P sse h não satisfaz Q

11 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-11 Satisfação em M com atribuição h Satisfação da wff P na estrutura M com atribuição h (cont.) – Conjunção P é Q R n h satisfaz P sse h satisfaz Q e h satisfaz R – Disjunção P é Q R n h satisfaz P sse h satisfaz Q ou h satisfaz R ou ambos – Quantificação universal P é v Q h satisfaz P sse para todo o d D M h[v/d] satisfaz Q – Quantificação existencial P é v Q h satisfaz P sse para algum d D M h[v/d] satisfaz Q Notação: M |= P [h]

12 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-12 Exemplo n D= {a,b,c} Gosta M = {,, } n Fórmula: – y (Gosta(x,y) Gosta(y,y))variável livre x – h tem de atribuir valor a x: senão seria inadequada n valor que h atribui a x: e (e tem de ser a, b ou c) – por : h satisfaz P sse há um objecto d D M tal que h[y/d] satisfaz Gosta(x,y) Gosta(y,y) – por n h[y/d] deve satisfazer Gosta(x,y) e não Gosta(y,y) – fórmulas atómicas n deve estar na extensão de Gosta, mas não n verifica-se para e=a e d=b então h atribui a a x

13 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-13 Verdade numa estrutura de 1ª ordem Verdade de uma frase numa estrutura de 1ª ordem M Frase P é verdadeira numa estrutura M sse a atribuição vazia h satisfaz P em M – P não é verdadeira em M : P é falsa em M M |= PP é verdadeira em M n Verdade lógica – L : Linguagem de 1ª ordem – S: colecção de todas as estruturas não espúrias para L – M S – P: frase de L – P é logicamente verdadeira se é verdadeira em toda a estrutura

14 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-14 Verdade e Consequência lógicas – L : Linguagem de 1ª ordem – S: colecção de todas as estruturas não espúrias para L – M S – P: frase de L P é logicamente verdadeira se é verdadeira em toda a estrutura M P é satisfazível se é verdadeira em alguma estrutura M P é falsificável se é falsa nalguma estrutura M (se não é logicamente verdadeira) Q é consequência lógica de um conjunto T ={P1, …} de frases se toda a estrutura M que torna todas as frases de T verdadeiras também torna Q verdadeira

15 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-15 Skolemização n Símbolos de função: evitam frases com quantificadores encaixados x y Vizinho(x,y) Para um domínio de discurso (estrutura M ) – frase afirma que todo o b no domínio tem pelo menos um vizinho c – M |= Vizinho(x,y) [b,c] – Sendo verdadeira a frase original: pode fazer-se função f de escolha do vizinho – M |= Vizinho(x,y) [b,f(b)] – Na frase original: símbolo de função para a função f – M |= x Vizinho(x,f(x)) n f é função de Skolem para a frase quantificada

16 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-16 Skolemização n Em geral x y P(x,y) x P(x,f(x))forma Skolemizada n Todo o mundo que torna verdadeira a Skolemização torna verdadeira a frase original Todo o mundo que torna verdadeira a frase inicial pode ser transformado num outro que torna a Skolemização verdadeira: interpretar o símbolo de função f por uma função f que escolhe, para todo o objecto b do domínio, um objecto c tal que satisfaçam P(x,y)

17 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-17 Unificação de termos n Aplicação: linguagens com símbolos de função n Exemplo: O pai do Rui anda de moto Nenhum avô anda de moto O avô do Zé anda de moto Nenhum pai anda de moto n Exemplo: P(f(a) x P(f(g(x))) P(f(g(a))) x P(f(x)) compatíveis incompatíveis possível: f(a) é P mas nenhum f(g(b)) é P impossível: basta substituir x por g(a)

18 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-18 Unificação f(a) e f(g(x))não unificáveis f(g(a)) e f(x)unificáveis n Definição de unificação – Termos t1 e t2 unificáveis se – Existe substituição de variáveis de t1 e t2 por termos tais que os resultados da substituição são termos sintacticamente idênticos – Conjunto T de termos unificável se – Existe uma substituição única para algumas das variáveis que ocorrem nos termos de T tal que os termos resultantes são todos sintacticamente idênticos n Noção puramente sintáctica pai(Rui) e pai(pai(x))não unificáveis pai(pai(Rui)) e pai(y) unificáveis

19 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-19 Exemplos de unificação g(x)h(y) h(f(x,x))h(y) f(x,y)f(y,x) g(g(x))g(h(y)) g(x)g(h(z)) g(x)g(h(x)) n Algoritmo de unificação: decide se 2 termos são unificáveis e dá o unificador mais geral caso sejam n Exemplo: (11.16) – Mostrar que há um número infinito de substituições que unificam os termosg(f(x,y)) e g(f(h(y), g(z))) Indicar a substituição mais geral. Quais são unificáveis? Quais os unificadores?

20 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-20 Resolução em LPO n Problema: P1, …Pn premissas Q conclusão n Reformulando P1... Pn Qé não satisfazível n Resolução: requer frases sem quantificadores – Possível reformular fórmulas da LPO para aplicar resolução Frase universal: forma prenex só com Exemplo: x y P(x,y) (S) – linguagem só com 2 nomes: b e c; sem símbolos de função – P(b,b) P(b,c) P(c,b) P(c,c) (S) S satisfazível S satisfazível S não satisfazível S não satisfazível Provar que Q é consequência lógica das premissas

21 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-21 Resolução em LPO 1. Escrever cada frase em forma prenex x1 y1 x2 y2 … P(x1, y1, x2, y2, …) 2. Skolemizar cada uma das frases x1 x2 … P(x1, f1(x1), x2, f2(x1,x2), …) 3. Escrever o resultado em forma normal conjuntiva P1 P2 … PnPi: disjunção de literais 4. Distribuir os quantificadores pela conjunção e construir conjunto de frases da forma x1 x2 … Pi 5. Renomear as variáveis ligadas para que não se use o mesmo nome 2 vezes 6. Abandonar os e ficando com conjunto de cláusulas 7. Resolver as cláusulas, usando a unificação para desfazer os conflitos entre literais

22 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-22 Exemplos n Exemplo 1 x P(x,b) y P(f(y), b) Passo 6: unificando x e f(y) as 2 cláusulas resolvem para n Exemplo 2 Premissa (A) x (P(x,b) Q(x)) Premissa (B) y ( P(f(y), b) Q(y)) Conclusão(C) y (Q(y) Q(f(y))) Forma prenex para C y ( Q(y) Q(f(y))) Skolemizando Q(c) Q(f(c)) mostrar que não são satisfazíveis simultaneamente Mostrar que A B C não é satisfazível c: função de Skolem de aridade 0

23 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-23 Exemplos n Exemplo 2 (cont.) Cláusulas a resolver 1. {P(x,b), Q(x)}(de A) 2. { P(f(y), b), Q(y)}(de B) 3. { Q(c)}(de C) 4. { Q(f(c))}(de C) ResolventesCláusulasSubstituição 5. {Q(f(y)), Q(y)}1,2x por f(y) 6. {Q(f(c))}3,5y por c 7. 4,6 ---

24 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-24 Exemplos n Exemplo 3 Todos admiram alguém que os admira excepto se admirarem o Santana Há pessoas que se admiram mutuamente, uma das quais pelo menos admira o Santana x [ A(x, s) y (A(x,y) A(y,x))](S1) x y [A(x, s) A(x,y) A(y,x)](S2) Provar: S2 consequência lógica de S1, ou S1 e S2 não satisfazíveis simultaneamente S2: x y [ A(x, s) A(x,y) A(y,x)] S1: x y [A(x, s) (A(x,y) A(y,x))](Forma prenex) x [A(x, s) (A(x,f(x)) A(f(x),x))] (Skolemização) x [(A(x, s) A(x,f(x))) (A(x, s) A(f(x),x))] (Forma clausal)

25 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-25 Exemplos n Exemplo 3 (cont.) Cláusulas a resolver 1. {A(x, s), A(x,f(x))}(de S1) 2. {A(y, s), A(f(y),y)}(de S1) 3. { A(z, s), A(z,w), A(w,z)}(de S2) ResolventesCláusulasSubstituição 4. {A(s,f(s))}1,3w,x e z por s 5. {A(f(s),s)}2,3w,y e z por s 6. { A(s,f(s))}3,5z por f(s) e w por s 7. 4,6 ---

26 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-26 Completude n Métodos de prova: manipulações sintácticas num sistema formal n Coerência: Resultado de uma prova é consequência lógica das premissas n Completude: Se um facto é consequência lógica de um conjunto de premissas, pode encontrar-se uma prova para ele no sistema formal l Teorema da completude de Gödel n Se numa linguagem de 1ª ordem não existem estruturas espúrias, então é possível ter um sistema de inferência completo.

27 Tópicos de Lógica de Primeira Ordem-27 Incompletude n Linguagem com dependências complexas entre as frases atómicas: qualquer sistema de prova é necessariamente incompleto. n Exemplo: linguagem da aritmética. – Não existe sistema formal que permita derivar todos os teoremas da aritmética l Teorema da Incompletude de Gödel – Sistema simbólico: codificável nos inteiros – Provas no sistema: números inteiros – Afirmações acerca de provas: afirmações acerca de inteiros – Usando a linguagem de 1ª ordem dos inteiros: podem fazer-se afirmações acerca do que se pode provar. – G- fórmula que diz de si própria que não é derivável – G tem de ser verdadeira - não pode ser falsa num sistema coerente.


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