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1 Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 1 Faculdade de Economia da Universidade do Porto 2012/2013.

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1 1 Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 1 Faculdade de Economia da Universidade do Porto 2012/2013

2 2 Primeira Aula

3 3 Objectivos da Disciplina 1ª Parte (12 aulas) –Taxa de juro, capitalização e desconto –Instrumentos financeiros sem risco: depósitos e créditos bancários; obrigações –Transformação de stocks financeiros em fluxos financeiros (rendas / amortizações) –Medidas de desempenho de um investimento –os preços correntes e preços constantes

4 4 Objectivos da Disciplina 2ª Parte (6 aulas) –Risco do negócio. Modelos estatísticos. –Instrumentos financeiros com risco: seguros, acções e obrigações com risco de falha – Carteiras de activos: diversificação e alavancagem

5 5 Objectivos da Disciplina 3ª Parte (4 aulas) –Aplicações dos conceitos a instrumentos de cobertura de risco.

6 6 Avaliação Avaliação por Exame (2 épocas) Avaliação Distribuída –Um teste sobre a 1ª parte (45%) – 30 Novembro –Um teste sobre as 2ª e 3ª partes (45%) –Um trabalho individual (10%) – entrega: 14 Outubro –Para fazer avaliação contínua têm que frequentar 75% das aulas –O segundo teste é parte do exame –Mesmo fazendo o 1º teste, pode deitar fora e fazer o exame contando a melhor nota

7 7 Avaliação Cálculo da Nota da Avaliação Distribuída: –Nota dos testes / exame normal: 0.5 max {teste 1; parte 1 do exame} + 0.5*teste 2 –Nota final: max {0.9 Nota dos testes/exame trabalho; Nota dos testes/exame} Aplica-se a mesma fórmula no exame de recurso (mesmo para melhoria de nota)

8 8 Material de estudo Existem disponíveis em formato digital –Uma página –um texto que segue as aulas –Um ficheiro excel com os exercícios do texto –As apresentações das aulas em Power Point –Cadernos de exercícios resolvidos

9 9 Os contratos de débito/crédito = contratos de mútuo

10 10 O contrato de débito/crédito Existem três razões principais para a haver contratos de crédito. –O ciclo de vida das pessoas –Poder ocorrer um período de desemprego ou de despesas acrescidas (e.g., doença) –O capital ser produtivo

11 11 O ciclo de vida Uma das mais obvias razões para a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas. –As pessoas precisam de consumir sempre –Existem longos períodos em que não têm rendimento (quando crianças e velhos)

12 12 O ciclo de vida

13 13 O ciclo de vida As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados –Em média, é-se criança durante 20 anos Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice) –Em média, é-se activo durante 45 anos

14 14 O ciclo de vida Quando reformados, não geram rendimento suficiente para sobreviver, mas têm os recursos que emprestaram –Em média, a reforma dura 15 anos Esses recursos vão-se esgotando

15 15 O desemprego O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias E, de repente, qualquer pessoa pode ficar desempregada. –A probabilidade será de 10%/ano

16 16 O desemprego E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego –Em média, 12 meses E o salário é menor que o anterior –Inicialmente ganha-se menos 15% Será necessário poupar recursos para essa eventualidade. –Deverão ter uma poupança 12 salários.

17 17 Cataclismos Podem ocorrer imponderáveis –O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar e necessitando de tratamento médico. –Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação. –Pode ter um incêndio em casa. É necessário ter uns activos de lado ou pedir emprestado na adversidade

18 18 O capital ser produtivo O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital –máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc. Se um indivíduo pedir emprestado dinheiro, pode comprar bens de capital e aumentar o seu rendimento –Mais tarde, pode devolver o capital pedido

19 19 O capital ser produtivo Também existem bens que custam muito dinheiro e duram muito tempo –Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc. Estes bens produzem utilidade –As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses.

20 20 O empréstimo em dinheiro Numa sociedade atrasada, –Armazenam-se bens –Emprestam-se bens e serviços Numa sociedade com moeda, empresta- se dinheiro

21 21 O empréstimo em dinheiro O armazenamento de recursos tem custos muito elevados –A roupa passa de moda –A comida estraga-se –Os carros enferrujam É vantajoso emprestar dinheiro e mais tarde tê-lo de volta para comprar bens e serviços

22 22 O empréstimo em dinheiro Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos Se poupamos dinheiro, nós deixamos de consumir recursos (bens e serviços) Mas, a quem emprestamos, vai consumir esses recursos que poupamos.

23 23 O empréstimo em dinheiro Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro emprestado –As crianças, os desempregados e as vítimas de acidentes –Os empreendedores Outras que precisam de guardar dinheiro –Os indivíduos activos e empregados.

24 24 A taxa de juro

25 25 A taxa de juro Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade –A diferença denomina-se por JURO O Juro pode ser entendido como a remuneração de eu adiar o consumo, o custo de antecipar o consumo

26 26 A taxa de juro Por exemplo, eu empresto 5000 a um familiar e recebo daqui a 10 anos Recebo o capital que são 5000 mais os juros que são 2500.

27 27 A taxa de juro O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo. Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo Historicamente é positivo

28 28 Taxa de juro Hoje faço anos e deram-me 1000 –Hipótese 1: entregam-mos agora. –Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos. Qual das hipóteses será preferível?

29 29 Taxa de juro positiva Se for preferível a hipótese 1 então aceitamos uma taxa de juro positiva –Podia depositá-lo, recebendo juros –O dinheiro vai desvalorizar –O doador pode morrer (e a oferta falhar)

30 30 A taxa de juro É positiva por três razões –Existe uma remuneração real As pessoas preferem o presente ao futuro O capital é produtivo: existem empreendedores Há concorrência pelo capital escasso –Há inflação Os preços aumentam havendo necessidade de corrigir esta perda de poder de compra –Há risco de incumprimento É uma lotaria

31 31 Juro real Podia receber um juro real –O capital é produtivo. E.g., um agricultor se cavar com uma enxada consegue produzir mais do que se o fizer com apenas um pau. –O capital é escasso –Quem precisar de capital estará disponível a pagar uma remuneração positiva pelo empréstimo do capital.

32 32 Juro real –É preferível consumir hoje. –As pessoas preferem o Presente ao Futuro No Futuro estamos mortos No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos tanta utilidade do consumo –Quem faz o sacrifício de não consumir no presente precisa ser remunerado. –Quem tem o benefício de consumir o que não tem (ainda) tem que pagar.

33 33 Juro real Inicialmente tenho V 0 euros –Supondo que os preços se mantêm e que não existe risco, para uma taxa de juro r% –Terei no fim do período V 1 = V 0 (1+ r) Ex., para V 0 = e r = 10%, terei V 1 = (1+ 10%)=11000

34 34 Inflação O dinheiro vai desvalorizando O valor do dinheiro resulta de podermos comprar bens e serviços. –Como existe inflação (i.e., o preço dos bens e serviços aumenta com o tempo), a quantidade de bens que posso comprar com um Euro diminui com o tempo. –O valor do dinheiro diminui com o tempo

35 35 Inflação Inicialmente tenho V 0 euros Os preços, em média, aumentam %. Para no fim do período poder comprar os mesmos bens e serviços terei que ter V 1 = V 0 (1+ ) Considerando o duplo efeito virá V 1 = [V 0 (1+ r)] (1+ )

36 36 Inflação Por exemplo, quero uma remuneração real de 7.5% e uma correcção da inflação que é de 5%. Emprestando 5000 quero receber V 1 = [5000 (1+ 7.5%)] (1+ 5%) =

37 37 Segunda Aula

38 38 Risco de incumprimento –O Futuro é incerto. –Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar receber o dinheiro mais os juros –Mas posso não receber nenhum deles Ou receber apenas parte –A obrigação pode não ser cumprida

39 39 Risco de incumprimento –Vamos supor que eu emprestei V 0 euros e vou receber (penso eu) V 1 euros. –Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terei que contratar uma taxa que corrija este risco V 0 = 0 x p + V 1 x (1 - p) V 1 = V 0 / (1 - p) p>0 V 1 > V 0

40 40 Risco de incumprimento O risco acresce à taxa de juro real e à correcção da taxa de inflação V 1 = {[V 0 (1+ r)] (1+ )}/(1- p) Então, a taxa de juro contratada será i = (1+ r) (1+ ) / (1- p) - 1

41 41 Risco de incumprimento Vamos supor que eu empresto –1000 – pretendo uma taxa de juro real de 6% –a inflação prevista será de 8% –o risco de incumprimento é de 10%. Qual deverá que ser a soma prometida no fim do prazo?

42 42 Risco de incumprimento V 1 = 1000 (1+ 6%) (1+ 8%) / (1- 10%) = 1272 A taxa de juro será 27.2%

43 43 A taxa de juro Haverá razões para que a taxa de juro seja negativa? –O dinheiro que guardo em casa pode ser roubado –Se houver poucas criancinhas e poucos empresários, não há a quem emprestar dinheiro i.e., se não houver crescimento económico

44 44 A taxa de juro Historicamente, os efeitos negativos são menores que os efeitos positivos –Há uma tendência secular de crescimento económico Historicamente, a taxa de juro é positiva

45 45 A taxa de juro Evolução da taxa de crescimento do PIB português 1910/2010 (fonte: Freitas, Miguel Lebre, 2004, Acumulação de capital e crescimento económico em Portugal: , UA-WP, 20, Quadro 1)

46 46 A taxa de juro As unidades de juro são em termos de unidades de capital por unidades de tempo. e.g., 0.10 por cada 1.00 e por cada ano –Seria uma taxa de juro de 10% por ano

47 47 A taxa de juro Como o juro incorpora 3 elementos –A remuneração do capital (o juro real) –A inflação –O risco de não cobrança Em termos de taxas temos, num ano V final = V inicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p) 1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

48 48 A taxa de juro Para valores de r, e p pequenos, é aceitável somar as 3 parcelas:

49 49 A taxa de juro Supondo que eu empresto 1000, durante 1 ano. –A inflação (prevista) é de 5% ao ano –O juro real (acordado) é de 2% ao ano –O risco de não cobrança é de 3% ao ano Qual deve ser a taxa de juro? Quanto dinheiro devo acordar receber?

50 50 A taxa de juro A taxa de juro deve ser de10.41%: 1+i = ( ) x ( ) / (1 – 0.03) i =10.412% Devo exigir receber (daqui a um ano) V 1 = 1000 x ( ) x ( ) / (1 – 0.03) V 1 = Os juros serão

51 51 A taxa de juro A soma das parcelas daria 10% A taxa calculada é % Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor é a diferença

52 52 A taxa de juro Assumir um juro proporcional à duração do tempo e à quantidade emprestada tem problemas –O risco de grandes somas é mais que proporcional ao risco das pequenas somas Por causa da diversificação do risco –O risco de longos prazos é mais que proporcional ao risco dos curtos prazos O futuro distante é menos previsível

53 53 A taxa de juro Mesmo assim, usa-se como referência para o juro uma taxa por unidade de tempo, normalmente o ano. –E.g. 4.47%/ano Podendo haver ajustamentos ao prazo e ao valor

54 54 A taxa de juro Taxa EURIBOR –É a taxa de juro por ano que os bancos sem risco (first class credit standing) emprestam euros entre si –É uma referência nos contratos com taxa de juro variável (e.g., crédito à habitação).

55 55 A taxa de juro EURIBOR a 6 meses entre e

56 56 A taxa de juro EURIBOR dependendo do prazo do contrato (Escalas: esquerda; direita)

57 57 A taxa de juro Taxa EURIBOR –Como é uma taxa sem risco, os particulares acrescem um Spread à sua taxa que é a previsão que o credor tem do risco de não cobrança de cada cliente. –Os depositantes recebem menos que a EURIBOR – pagam os serviços bancários

58 58 A taxa de juro Taxa de desconto do Banco Central –O BC controla a quantidade de papel moeda em circulação, –i.e, controla o nível médio de preços –Não tem qualquer efeito real (monetaristas) –Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a 4.5%/ano – denomina-se janela de desconto

59 59 A taxa de juro Taxa de desconto do Banco Central não é uma boa medida da taxa de mercado sem risco –A cedência de liquidez é de último recurso. –Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1 ponto percentual (está suspenso) –Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 p.p. (actualmente este aumento está suspenso)

60 60 A taxa de juro

61 61 Terceira Aula

62 62 A taxa de juro O Credit Scoring é uma técnica de estimação da probabilidade de incumprimento. O Score é um índice que resulta de somar os efeitos de várias variáveis

63 63 A taxa de juro Ex.1.3: assuma o seguinte score: –PJA: Proporção dos juros e amortizações no rendimento mensal –PDP: Proporção das dívidas no património –IM: Idade média do casal Score = 100PJA + 25PDP + IM

64 64 A taxa de juro score 80, o spread será de 0.75 pp 80 < score 130, o spread será 1.75 pp score > 130, o banco não concede crédito. Qual o spread de um casal, com 2M/mês, património de 100M, anos, e que pedem 175M para comprar uma casa avaliada em 250M? –Assuma uma prestação mensal de 6/1M.

65 65 A taxa de juro Como o Score p = 100x6x175/ [175/( )] + 28 = 93 está no intervalo ]80, 130], o spread será de 1.75pp.

66 66 Capitalização e Desconto

67 67 Capitalização A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano. –Se a duração do contrato for de vários anos mas os juros forem pagos no final de cada ano –Estamos sempre a voltar à situação inicial. Esta é a situação dita normal.

68 68 Capitalização Se os juros forem pagos apenas no fim do prazo contratado (de vários anos) Cada ano, o capital aumentará –Haverá lugar a juros dos juros não pagos. Esta é a situação capitalizada.

69 69 Capitalização dita simples Neste caso, desprezamos os juros dos juros. Cada ano, os juros são o capital inicial a multiplicar pela taxa de juro anual J = V inicial i No final de n anos, receberemos J total = V inicial n i V final = V inicial +J total = V inicial (1+ n i) i total = n i

70 70 Exercício Ex.1.4. Um empréstimo de 10M a 3 anos em que os juros são pagos no fim do período, capitalização simples. –Spread de 2 pontos percentuais A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente. Qual a quantia a pagar?

71 71 Exercício R. Os juros serão J = 10M (5.754% % %) = O capital final será V = =

72 72 Exercício C3: =B3*B$1 C6: =SUM(C3:C5) C7: =C6 + B1

73 73 Exercício O saldo corrente de uma conta é remunerado à taxa de 2%/ano, capitalização simples, a creditar em 1Jan do ano seguinte. Calcule o total dos juros para uma situação concreta.

74 74 Exercício

75 75 Exercício E5: =A6-A5 F5:=D5*E5/B$2*B$1 D6:=C6+D5 C15: =SOMA(F5:F14)

76 76 Capitalização Composta

77 77 Capitalização Composta Neste caso, vamos considerar os juros dos juros. Cada ano, os juros acrescem ao capital J t+1 = V t i V t+1 = V t + V t i = V t (1+ i) No final de n anos, receberemos V final =V inicial (1 + i total ) = V inicial (1 + i) n, V inicial (1 + i total ) = V inicial (1 + i) n, i total = (1 + i) n - 1

78 78 Exercício Ex.1.6. Emprestando 25M, a 5 anos à taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim do período com capitalização composta. i) Qual o capital final a receber ii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.

79 79 Exercício i) O capital final a receber será de (1 + 5%) 5 = ii) A taxa de juro do contrato será (1+5%) 5 –1 = % com capitalização simples seria menor = 5x5% = 25%

80 80 Exercício Ex.1.7. Um empréstimo de 10M a 3 anos em que os juros são postecipados, capitalização composta. A taxa de juro foi 5.754%/ano; 6.217%/ano e 6.765%/ano, respectivamente. Qual a quantia a pagar?

81 81 Exercício O valor a receber será V ( ) ( ) ( ) =

82 82 Quarta Aula

83 83 Exercício Ex.1.8. Durante o ano, um indivíduo no início de cada mês fez os seguintes movimento bancário: +250; +100; –50; +125;– 150; +250; –350; –25; –10; +50; 0; 200. Para uma taxa de juro constante de 0.165%/mês, determine o saldo da conta no fim do ano com capitalização mensal composta.

84 84 Exercício

85 85 Exercício B1: =(1+B2)^12-1 C4: =B4; D4: =C4*B$2; E4: =C4+D4 e copiava C5: = B5+E4 e copiava F4: = =B4*(1+B$2)^(13-A4) e copiava F16: =sum(F4:F15).

86 86 Exercício B1: =(1+B2)^12-1 A taxa anual é a capitalização 12 meses da taxa mensal Se fizesse =12* B2 tinha a taxa nominal –Capitalização simples Assim é a taxa efectiva –Com capitalização composta, os cálculos fazem-se sempre com a taxa efectiva.

87 87 Período de tempo fraccionário Na expressão da taxa de juro capitalizada de forma composta: i total = (1 + i) n - 1 O número de anos é inteiro. No entanto, podemos extrapolar o conceito de capitalização a fracções do ano.

88 88 Período de tempo fraccionário Sendo que empresto 1000 durante 3 meses a uma taxa anual de 5%/ ano, quanto vou receber de juros (c. composta):

89 89 Período de tempo fraccionário i = (1 + 5%) 0.25 – 1 = 1,227% –3 meses correspondem a 0.25 anos. Vou receber 12,27 de juros Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha os 5% ( %) 4 – 1 = 5%

90 90 Período de tempo fraccionário Ex Num empréstimo de 100M foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital no fim do prazo acordado. Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?

91 91 Período de tempo fraccionário R. A taxa mensal será ( %) 1/12 – 1 = % –Um mês corresponde a 1/12 anos de juros referentes ao mês

92 92 Período de tempo fraccionário Ex Num empréstimo a 5 anos, foi acordada uma taxa de juro total de 25%. Supondo que os juros são pagos trimestralmente, qual será a taxa de juro trimestral?

93 93 Período de tempo fraccionário R. Um trimestre será 1/20 do período total do contrato pelo que a taxa de juro trimestral será dada por (1 + 25%)^(1/20) – 1 = 1.122%/trimestre.

94 94 Valor Futuro = Valor capitalizado O valor que uma soma de dinheiro do presente terá no futuro Traduz o total a pagar pelo devedor no final do prazo acordado: –valor futuro do capital emprestado.

95 95 Valor Futuro Ex Umas tias propõem-se a dar-vos agora 1000 ou 1200 quando acabarem a licenciatura. Supondo uma taxa de juro de 10%/ano, qual a soma de dinheiro mais apetecível?

96 96 Valor Futuro R. O valor futuro dos actuais 1000 daqui a 3 anos será 1000 (1+10%)^3 = 1331 que é maior que os 1200 que então receberão Então, será melhor receber os 1000 já.

97 97 Valor Futuro Ex Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00 por Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5) daqui a 3 anos com cupão zero, qual a taxa de juro desta aplicação?

98 98 Valor Futuro R. O valor futuro dos 4.05 do presente serão 5.00 pelo que a taxa de juro resolve: será 7.277%/ano:

99 99 Quinta Aula

100 100 Valor Futuro Ex Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000 durante 60 meses. –As prestações são antecipadas Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano, determine o valor futuro total das parcelas poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses)?

101 101 Valor Futuro O valor futuro de 1000 depositados no início do mês i é O valor futuro total valerá que, resolvido no Excel, resulta em

102 102 Valor Futuro C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copiava em coluna C62: =Soma(B2:B61)]

103 103 Desconto Sendo que capitalizar é andar para a frente no tempo Descontar é andar no tempo para trás É, na taxa de juro capitalizada de forma composta: i total = (1 + i) n - 1, assumir um número negativo de anos

104 104 Desconto = Valor passado Em termos económicos, pode traduzir o valor passado de uma quantidade de dinheiro presente –Eu recebi hoje 1000 de um valor que emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o capital que eu emprestei?

105 105 Desconto = Valor actual Também pode traduzir o valor actual (no presente) de uma quantidade de dinheiro que vou ter disponível no futuro

106 106 Desconto = Valor actual No meu emprego, vão-me dar de prémio 100, pagos daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses 100 de daqui a 10 anos valem no presente 100 x 1.06 –10 =

107 107 Desconto = Valor actual Ex Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é de 5% ao ano, qual será o seu valor actual?

108 108 Desconto = Valor actual Posso vender este activo e receber no presente (a outra pessoa que tenha uma taxa de desconto <=5%).

109 109 Desconto = Valor actual Ex Um indivíduo depositou num banco em 1940 uma soma. Sendo que esse banco devolveu 1milhão em 2008, qual terá sido a soma depositada (para i=3.5%/ano)?

110 110 Desconto – Valor actual R. Descontando 1milhão para 1940, temos =

111 111 Desconto = Valor actual Ex Um sortudo ganhou numa lotaria um prémio e deram-lhe a escolher receber 350k agora ou 1000 no fim de cada mês dos próximos 50 anos. Determine a taxa de juro implícita nesta opção

112 112 Desconto = Valor actual R. Vou descontar cada um dos 1000 ao presente, somá-las todas e aplicar a ferramenta atingir objectivo.

113 113 Desconto = Valor actual B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3; C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)

114 114 Desconto = Valor actual Goal Seek = Atingir Objectivo Menu Data+ Data Tools + what if analysis

115 115 Sexta Aula

116 116 Pagamento da dívida Rendas / amortizações

117 117 Rendas Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida. 1) Os juros são pagos periodicamente e o capital é pago no fim do prazo contrato. 2) O capital mais os juros são pagos no fim do prazo contrato.

118 118 Rendas Vamos explorar uma outra possibilidade É paga uma prestação em cada período No final do prazo não há mais nada a pagar –Cada prestação contêm juros e amortização do capital Denominamos este plano como uma Renda

119 119 Rendas Uma renda transforma uma determinada soma de dinheiro num rendimento. Um stock num fluxo

120 120 Rendas As prestações podem ser –regulares ou irregulares no tempo –constantes ou variáveis no valor –haver ou não diferimento de alguns períodos –terem duração limitada ou serem perpétua

121 121 Rendas Emprestamos um capital que recuperamos na forma de uma renda –e.g., saiu-nos a lotaria e queremos um rendimento mensal Pedimos um capital que pagamos na forma de uma renda –e.g., um crédito à habitação que amortizamos mensalmente Pagamos uma renda que recebemos no final na forma de um capital –e.g., depositamos uma quantia mensal para comprar um barco a pronto no futuro

122 122 Rendas Recebemos uma renda que pagamos no fim na forma de um capital –e.g., termos um rendimento mensal à custa de uma herança que vamos receber no futuro Receber uma renda que pagamos na forma de renda –e.g., pagamos os estudos com um financiamento mensal que amortizamos no futuro com uma prestação mensal.

123 123 Rendas Obtemos o valor actual da renda descontando todos os recebimentos ao instante de tempo presente. Para efeito de comparação, podemos usar outro instante de tempo qualquer mas tem que ser o mesmo para todas as prestações

124 124 Rendas Temos que clarificar o que é –um instante de tempo e –um período de tempo O tempo é uma linha contínua

125 125 Rendas Cada ponto é um instante de tempo –e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de Um intervalo de tempo é o segmento que medeia dois instantes de tempo, –e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010 e as 12h00 do dia 15 de Julho de O instante final de um período é sempre o instante inicial do período seguinte. –e.g. o fim de 2010 é igual ao início de 2011.

126 126 Rendas Ex.1.21.No sentido de se licenciar, um estudante necessita uma renda antecipada cuja prestação mensal é de 300/mês e a duração de 36 meses. Supondo uma taxa de juro de 5%/ano, utilize o Excel para calcular o valor actual dessa renda

127 127 Rendas B4: =B$2 C4: =B4*(1+B$1)^-((A4-1)/12) e copiava C40: =SUM(C2:C37). Em vez de calcular a taxa de juro mensal, utilizei partes fraccionadas nos anos, (A4-1)/12.

128 128 Rendas Ex O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava 300mil por mês. Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e Receber, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais de 5000 cada. Determine a taxa de juro implícita.

129 129 Rendas F2: =(1+F1)^(1/12)-1 C2: =B2*(1+$F$2)^-(A2-A$2) e copiava até C602; F3: =Soma(C2:C602). Definir F3 para atingir o valor 0 por alteração da célula F1.

130 130 Rendas Ex Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar? / mês

131 131 Rendas

132 132 Rendas Na coluna A estão os meses, na B as quantias recebidas, na C as quantias descontadas ao presente B3: =E$3; C3: =B3/(1+$E$1)^A3 e depois copiamos ambas em coluna. C603: =Soma(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1. Usava a ferramenta atingir objectivo definindo C603 para 0 por alteração de E3.

133 133 Conta corrente Ex Uns comerciantes de frutas e legumes numas alturas podem poupar e noutras não. Como, em média, conseguem poupar 325/mês, quando o filho fez 15 anos, pensando que precisará de 750/mês quando for para a universidade, decidiram constituir uma conta poupança. Numa folha de Excel lancei a data e os movimentos (colunas A e B). A taxa de juro quando o saldo é negativo (taxa de juro activa) é de 5%/ano e quando os saldo é positivo (taxa de juro passiva) é de 2%/ano.

134 134 Conta corrente C2: =B2 D2: =(A3-A2)/365 E2: =C2*((1+SE(C2>0;J$3;J$2))^D2-1) F2: =C2+E2 C3: =B3+F2 e copiava em coluna B84=-F83

135 135 Sétima Aula

136 136 Renda perpétua Numa renda perpétua, recebe-se uma prestação para sempre. Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim de cada período (i.e., postecipada), é uma situação idêntica a um depósito em que no fim de cada período, são pagos apenas os juros

137 137 Renda perpétua Como os juros de cada período valeriam J = V i Com P e i podemos determinar o valor da renda (ou da taxa de juro implícita com P e V) P = prestação, i = tx.juro, V = valor actual da renda

138 138 Renda perpétua Ex Um agricultor arrendou um terreno por 50/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno?

139 139 Renda perpétua R.mensal = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407% V = 50 / 0.407% =

140 140 Renda perpétua Ex Um eucaliptal produz, a cada 10 anos, 12kg/m2 de madeira. Supondo um preço de 0.03/kg de madeira e uma taxa de juro de 3%/ano, qual será o valor actual do eucaliptal?

141 141 Renda perpétua R. Calculo a taxa de juro por 10 anos, (1+3%)^10–1= %, e aplico essa taxa na expressão da renda perpétua postecipada: V = ( )/34.392% = 1.05/m2.

142 142 Renda perpétua Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos que somar a prestação inicial

143 143 Renda perpétua Se houver deferimento de n períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada Só se começa a receber daqui a n+1 períodos pois a expressão p/i é para a renda postecipada

144 144 Renda de duração limitada Com o conhecimento da expressão da renda perpétua –Há quem lhe chame perpetualidade Podemos calcular o valor de uma renda de duração limitada Compondo duas rendas perpétuas: uma a somar e outra a subtrair

145 145 Renda de duração limitada Recebemos a prestação R entre o presente e o período N (postecipada). É equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e pagar uma renda perpétua a começar no período N, Descontado tudo ao presente.

146 146 Renda de duração limitada Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada)? Teremos que somar uma parcela. Descontar menos um período

147 147 Renda de duração limitada

148 148 Renda de duração limitada Ex Um agricultor arrendou um terreno por 50/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?

149 149 Renda de duração limitada Já não preciso do Excel r = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407% V = 50/0.407% x (1 – –300 ) = x = Mas podemos usá-lo para verificar

150 150 Renda de duração limitada C2: =B2*(1+$D$2)^-A2 C302=sum(C2:C301)

151 151 Renda de duração limitada Ex Uma obrigação com o valor nominal de 100 paga trimestralmente 1 de cupão e o par (i.e., os 100) mais o cupão do trimestre final ao fim de 10 anos. Determine a taxa de juro desta obrigação.

152 152 Renda de duração limitada R. No trimestre final recebemos não só o cupão mas também o par, logo Donde resulta i = 1%/trimestre e i = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano

153 153 Renda de duração limitada Alternativamente, como no fim do prazo recebemos o par, aplicamos simplesmente V = P/i i = P/V = 1/100 = 1%/trimestre i = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano Podemos confirmar no Excel que receber o Par no fim do prazo permite utilizar a expressão da Renda Perpétua

154 154 Oitava Aula

155 155 Renda de duração limitada Ex o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil/mês (i.e., 120 prestações). Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações). Para uma taxa de juro anual de 3%, quanto vai receber por mês?

156 156 Renda de duração limitada Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer) Vamos somar –Duas rendas de duração limitada –Ou quadro rendas perpétuas Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e meses para a renda

157 157 Renda de duração limitada

158 158 Obrigações a taxa fixa Uma obrigação de taxa fixa consiste num activo que condensa uma entrega inicial e recebimentos futuro. Recebe-se o cupão ao longo do tempo e o par) na remissão O valor da obrigação é o valor actual dos recebimentos futuros –Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr de mercado

159 159 Obrigações a taxa fixa Ex Uma obrigação a 10 anos de valor nominal de 100 reembolsável ao par (i.e., serão pagos 100 daqui a 10 anos) cupão zero, vai ser vendida em leilão. Para uma remunerado a uma taxa média de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o investidor está disponível a pagar?

160 160 Obrigações a taxa fixa Vamos descontar os 100 ao presente:

161 161 Obrigações a taxa fixa Passados 5 anos, qual será o valor da obrigação? Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação?

162 162 Obrigações a taxa fixa Já só faltam 5 anos para receber os 100 O aumento da taxa de juro desvaloriza a obrigação em 8.5%

163 163 Obrigações a taxa fixa Se o investidor adquiriu a obrigação a 45, qual a taxa de juro que pensava receber? E qual será se vender a obrigação depois da desvalorização?

164 164 Obrigações a taxa fixa A taxa de juro prevista era E passou a ser

165 165 Nona Aula

166 166 Obrigações a taxa fixa Ex Uma obrigação soberana (i.e., emitida por um Estado) a 50 anos emitida em 2010 cujo par é 1000 paga um cupão anual de 25 postecipado e o par mais o cupão no fim do prazo. Qual a taxa de juro da obrigação se for adquirida ao par?

167 167 Obrigações a taxa fixa Podemos simplificar a expressão obtendo uma renda perpétua:

168 168 TAEG implícita no contrato TAEG – Taxa anual efectiva global Actualmente, é obrigatório nos anúncios (de venda a crédito) que seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita efectiva calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente (global)

169 169 TAEG implícita no contrato Ex Um televisor (ppp de 1190), a crédito paga na entrega 119 mais 12 prestações trimestrais de 100. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50. Determine a TAEG deste contrato de crédito.

170 170 TAEG implícita no contrato Podemos indicar algebricamente o resultado Mas o mais fácil é determina-lo no Excel

171 171 TAEG implícita no contrato

172 172 TAEG implícita no contrato B2: = ; B3: 100; B6: -150 C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copiar em coluna. C15: =Soma(C2:C14) Definimos a célula C15 para o valor 0 alterando E2. Se a EURIBOR for 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?

173 173 TAEG implícita no contrato

174 174 TAEG implícita no contrato Ex Um anúncio dizia Telefone que lhe emprestamos 5000 por apenas 150 mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%). Confirme a TAEG.

175 175 TAEG implícita no contrato Tem que se determinar no Excel

176 176 TAEG implícita no contrato

177 177 Preços correntes e constantes

178 178 Preços correntes e constantes A inflação (i.e., a subida generalizada dos preços dos bens e serviços) não tem efeito na afectação dos recursos escassos. Apenas a alteração dos preços relativos tem efeito.

179 179 Preços correntes e constantes O aumento dos preços é calculado para um cabaz de bens e serviços, sendo um valor médio (pesos de 2005). B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5

180 180 Preços correntes e constantes Nesse sentido, calcula-se quanto o cabaz custava então e compara-se com quanto custa agora. Esse preço é normalizado a valer 100 no ano base (ou 1 ou 1000). B7: =B6/$B$6*100

181 181 Preços correntes e constantes Em teoria, o índice de preços refere-se a um instante de tempo Mas não é possível medir todos os preços no mesmo instante Então, é um valor médio do período IP = preço médio em 2010 na base 2000

182 182 Preços correntes e constantes O preço médio normalizado denomina- se por Índice de Preços no Consumo, havendo outros índices de preços –índice de preços na produção –índice de preços dos mais pobres –índice de preços do interior norte –índice de preços na construção –Etc.

183 183 Preços correntes e constantes Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se depreços correntes (ou preços nominais) e variam ao longo do tempo. E.g., há um ano a gasolina tinha um preço diferente do preço que actualmente vigora.

184 184 Preços correntes e constantes Os preços corrigidos da inflação denominam-se de preços constantes oupreços reais.

185 185 Preços correntes e constantes Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços. Temos os preços correntes do período J, PJ, que queremos em preços reais com base no ano T, P T J PJ P T J

186 186 Preços correntes e constantes PJ T, P T J Teremos os índices de preços dos períodos na mesma base (e.g., T) IP período T no ano base T, IP T T e IP período J no ano base T, IP T J

187 187 Preços correntes e constantes Transformamos PJ P T J multiplicando o preço corrente pelo índice de preços do período T, IP T T, e dividindo pelo índice de preços do período J, IP T J: Não interessa a base do IP pois dá-se uma mudança de base.

188 188 Décima Aula

189 189 Preços correntes e constantes Ex O preço de um frigorífico diminuiu de em 2006 para em Com IP = IP = Quais os preços na base 2005? Qual o preço de 2006 na base 2010? Qual foi a variação em termos nominais e reais do preço?

190 190 Preços correntes e constantes R. em 2005 o IP vale 100 porque é o ano base P = / = P = / = Para 2010 ocorre mudança da base P = / =

191 191 Preços correntes e constantes Em termos nominais temos / –1 = – 4.82% ( – )/ = – 4.82% Em termos reais temos Variação = / –1 = –5.98% Var. média anual (1–5.98%)^(1/4) –1 = –1.53%/ano

192 192 Preços correntes e constantes Podíamos usar outro ano base qualquer E.g, 2010 Variação = / –1 = –5.98%

193 193 Preços correntes e constantes Ex O salário mínimo em 1974 era de 16,46 e em 2010 é de 475,00. IPC é e IPC é 126,62. compare, em termos reais (de 2010), o poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de variação anual em termos nominais e reais.

194 194 Preços correntes e constantes Se quiséssemos comparar em termos de preços reais do ano 2010 fazemos os de 1974 valem a preços de 2010 SM = = 520,65 Que é maior que os actuais SM = 475

195 195 Preços correntes e constantes R. Relativamente à taxa de variação, no espaço de 36 anos, em termos nominais o SM aumentou (475/16.46)^(1/36)–1 = 9,79%/ano em termos reais, diminuiu (15.02/16.46)^(1/36) –1 = –0,25%/ano.

196 196 Preços correntes e constantes A taxa de inflação é calculada pelo INE com base no IPC e tem periodicidade mensal. Taxa de inflação homóloga – compara o IPC do mês corrente com o IPC do mês igual do ano anterior. Taxa de inflação média – é a média das 12 taxas de inflação homóloga.

197 197 Preços correntes e constantes Taxa de inflação acumulada – é a variação percentual do IPC desde o princípio do ano. A taxa de inflação mensal anualizada – é a variação percentual entre o IPC no mês anterior e o IPC no mês actual anualizada: (1+π) A taxa de inflação em cadeia – é a taxa de inflação mensal (ou trimestral) sem anualizar

198 198 Preços correntes e constantes Interessará retirar a inflação da análise de equivalência das somas de valores dinheiro obtidas em instantes de tempo diferentes. E.g., precisamos saber se a renda de 60mil mensais dará ou não para comprar alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos.

199 199 Taxa de inflação Sendo IP T J e, IP T J-1 os índice de preços no período J e J-1, respectivamente Também calculamos a taxa de inflação durante o período J, J, por:

200 200 Preços correntes e constantes Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC valia e em Março 2006 passou a valer 131.4, então a taxa de inflação homóloga de Março entre estes dois instantes foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

201 201 Taxa de inflação Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia e em 2006 valia 131.4, então a taxa de inflação em 2006 foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%. Neste exemplo, refere-se à média do IPC de Jan., Fev., …, Dez. de 2005

202 202 Taxa de inflação Como a taxa de inflação é calculada com o índice de preços, podemos utilizá-la na transformação de preços correntes em preços reais Ou mesmo refazer o IPC

203 203 Décima primeira Aula

204 204 Preços correntes e constantes Se o preço corrente de um bem em 2006 foi de 150, podemos saber a quanto correspondia em 2005 em termos reais (constantes) descontando este preço com a taxa de inflação O preço do bem, a preços de 2005, seria

205 205 Preços correntes e constantes O preço de um bem era p2005 = 1.25 e passou para p2006 = Sendo que em 2006 a inflação foi de 2.1%, em termos reais, será que o preço deste bem aumentou (em termos reais)?

206 206 Preços correntes e constantes O preço, em termos reais, aumentou 1.86%:

207 207 Preços correntes e constantes Para transformar preços correntes do período T+n em preços constantes em referência ao período T, sabida a taxa de inflação para cada um dos n–1 períodos, temos:

208 208 Preços correntes e constantes Como a taxa de inflação é calculada em cadeia, a partir do Índice de Preços: Memorizar que se o IPC aumenta, o preço real diminui.

209 209 Salário Mínimo Nacional A preços correntes e constantes

210 210 Salário Mínimo Nacional A preços correntes e constantes E3: =C3*$B$3/B3; F3: =D3*$B$11/B3 E copiava ambas as expressões em coluna

211 211 Preços correntes e constantes Ex No exercício 1.31, vimos que o planeamento da reforma do Figo se traduz numa prestação mensal a preços correntes de até aos 85 anos. Prevendo-se uma taxa de inflação de 2% ano, i) Determine a preços constantes de agora, qual será o valor desse prestação (faltam 50 anos).

212 212 Preços correntes e constantes Vamos descontar ao presente com a taxa de inflação de 2%/ano como taxa de desconto: Em termos reais, corresponde a apenas 37% do valor nominal.

213 213 Preços correntes e constantes Ex.1.42.ii) Supondo as mesmas entregas, determine um plano de reforma que mantenha o poder aquisitivo (igual em termos reais).

214 214 Preços correntes e constantes Posso fazer a análise a preços correntes aumentando as prestações na taxa de inflação prevista Ou a preços constantes retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal Este nominal não é o mesmo conceito de quando falamos de capitalização

215 215 Preços correntes e constantes Fazemos a análise a preços reais retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal. A taxa de juro real mensal é %= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.

216 216 Preços correntes e constantes A preços correntes, uso o Excel:

217 217 Preços correntes e constantes B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3; C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos em coluna; C603: =Soma(C2:C602) e usamos a ferramenta Atingir objectivo, definir a célula C603 para o valor 0 por alteração da célula E1

218 218 Preços correntes e constantes Retirada a taxa de inflação à taxa de juro nominal (preços constantes), deu o mesmo resultado

219 219 Compatibilização de tramos da série com diferentes bases Com o acesso a fontes diferentes de informação e com o decorrer do tempo, as séries de preços mudam de base. Nessa alturas, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo tramo da série para 100 e são alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (a representatividade de cada grupo no índice).

220 220 Compatibilização de tramos da série com diferentes bases Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base. A redução não é uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que existem alterações dos ponderadores mas permite fazer uma transição suave entre os vários tramos da série.

221 221 Compatibilização de tramos da série com diferentes bases No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo menos) durante um período. Temos que usar os períodos de sobreposição para calcular o valor do salto em termos relativo entre as séries e reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de uma mudança de base.

222 222 Compatibilização de tramos da série com diferentes bases

223 223 Compatibilização de tramos da série com diferentes bases Ex A série do IPC do banco mundial WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para 1974 e vale para 2002, e a série do INE (base o ano 2002) vale para 2009 (media até abril), compare, em termos reais, o salário mínimo de 1974 (16.46/mês) com o SM actual (450.00/mês).

224 224 Compatibilização de tramos da série com diferentes bases R. Há uma salto em 2002 entre as séries pelo que o valor da série do INE compatibilizado ao da série do Banco Mundial será /100 = O valor a preços de 2009 dos 16.46/mês será /4.00 = /mês.

225 225 Décima segunda Aula

226 226 Análise de investimentos

227 227 Análise de investimentos um investimento é uma entrega de recursos em períodos mais próximos do presente que permite ter recebimentos mais afastados para o futuro

228 228 Análise de investimentos Teremos uma contabilização das entregas e dos recebimentos com referência a um mesmo instante de tempo. Será necessário capitalizar uns valores e descontar outros

229 229 Análise de investimentos Sendo que a análise é financeira, interessa saber as entregas e os recebimentos em dinheiro (i.e., saber o cash flow)

230 230 Valor actual líquido No Valor Actual Agregar todas as parcelas ao instante presente, descontadas ao presente É Liquido porque se amortiza o Capital

231 231 Valor actual líquido Apesar de não haver um horizonte temporal de encerramento O risco aconselha a usarmos um horizonte temporal limitado. –5 anos –10 anos –25 anos –50 anos

232 232 Valor actual líquido Ex Num investimento são previstas entregas e recebimentos (k): i) Somando as entregas e os recebimentos qual o saldo do investimento?

233 233 Valor actual líquido O saldo seria de 175 mil ii) Determine, para uma taxa de remuneração do capital de 10%, qual será o Valor Actual Líquido deste investimento

234 234 Valor actual líquido O VAL será de 2921 B5: =B4-B3; B6: =B5*(1+$B$1)^-B2 e depois copiar em linha; B7: =Soma(B6:L6).

235 235 Valor actual líquido A taxa de juro usada é elevada porque –os recebimentos são incertos –as entregas são certas A taxa de juro contém o risco do negócio –o VAL do investimento é comparável a um activo sem risco (e.g., depósito a prazo). Para investimentos diferente, a taxa de juro será diferente.

236 236 Taxa interna de rentabilidade Quantifica a taxa que torna o VAL igual a zero. Estando o modelo implementado no Excel, determina-se a TIR facilmente com a ferramenta Atingir objectivo.

237 237 Taxa interna de rentabilidade

238 238 Q de Tobin O q de Tobin é uma medida relativa que incorpora o risco de cada investimento –Uma mistura de VAL com TIR Calcula-se pelo quociente entre o valor actual dos recebimentos e o valor actual dos investimentos –Terá que ser maior ou igual a 1

239 239 Q de Tobin B8: =B3*(1+$B$1)^-B$2 e copiava B10: =SOMA(B9:L9)/SOMA(B8:L8)

240 240 Exercícios de recapitulação e Dúvidas

241 241 Exercício -1 Suponha que empresto –A inflação (prevista) é de 2.0% / ano –O juro real (acordado) é de 2.0% / ano –O risco de não cobrança é de 7.0% / ano i) Quanto devo pedir de taxa de juro?

242 242 Exercício -1 A taxa de juro seria de11.869%: 1+i = ( ) x ( ) / (1 – 0.07) i =11.869% ii) Se acordar receber os 1000 em 12 prestações trimestrais caindo a primeira depois de decorridos 2 anos do empréstimo, de quanto deve ser a prestação?

243 243 Exercício -1 A renda é antecipada E começa daqui a dois anos A taxa de juro trimestral é ( ) = %

244 244 Exercício -1

245 245 Exercício -1

246 246 Exercício -2 Emprestando 25M, a 5 anos à taxa de 4% / ano. A meio do prazo, recebo 5 M. Qual o capital final que vou receber?

247 247 Exercício -2 O capital final a receber será de (1 + 4%) (1 + 4%) 2.5 = = 24901,22. [25000.(1 + 4%) ].(1 + 4%) 2.5 = = 24901,22.

248 248 Exercício -3 Vou receber 1000 daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 4/ano, qual o valor actual dessa soma?

249 249 Exercício -3 R. O valor dos 1000 no presente resolve:

250 250 Exercício -4 Um indivíduo deposita, durante 40 anos, 100/mês para receber uma reforma mensal durante 15 anos. Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano e a inflação de 2.5%, determine o valor da reforma a preços correntes e a preços constantes de agora.

251 251 Exercício -4 Vou somar quatro rendas perpétuas ou duas de duração limitada:

252 252 Exercício -4 A preços correntes, i = 0,327%/mês R = /mês A preços reais, i = [(1+4%)/(1+2.5%)] 1/12 -1 i = 0,12%/mês R = /mês

253 253 Exercício -5 Num investimento de 1000 prevê-se que as vendas aumentem 25% ao ano e que o custo das vendas sejam 60%. As amortizações são constantes a 5 anos Calcule o VAL e a TIR

254 254 Exercício -5

255 255 Exercício -5

256 256 Exercício -5 D6: =C6*(1+$B$1) C7: =C6*$B$2 C8: =C6-C7 C9: =$B$3/5 C10: =C8-C9 C11: =C10*25% C12: =C10-C11 C13: =C12+C9 C14: =C13*(1+$B$4)^(-C5) B15: =SOMA(B14:G14)

257 257 Exercício -5 Aplico agora o modelo para determinar a TIR


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