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Definição:Um ponto x * diz-se um mínimo relativo ou ponto de mínimo local de f em se existir um > 0 tal que f(x) f(x * ) para todo o x cuja distância a.

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1 Definição:Um ponto x * diz-se um mínimo relativo ou ponto de mínimo local de f em se existir um > 0 tal que f(x) f(x * ) para todo o x cuja distância a x * seja menor ou igual a. Se f(x) > f(x * ) para todo o x, x x * com uma distância inferior ou igual a de x *, diz-se que x * é um mínimo local estrito de f em. Definição:Um ponto x * diz-se um ponto de mínimo global de f em se f(x * ) f(x) para todo o x. Se f(x * ) > f(x) para todo o x, x x *, então x * diz-se um mínimo global estrito de f em. Proposição 1:(Condição necessária de primeira ordem) Seja um subconjunto de R n e seja f C 1 uma função em. Se x * é um ponto de mínimo relativo de f em, então para qualquer d R n que seja uma direcção factível em x *, tem-se f(x * ).d 0. A10-1

2 Proposição 2:(Condição necessária de segunda ordem) Seja um subconjunto de R n e seja f C 2 uma função em. Se x * é um ponto de mínimo relativo de f em, então para qualquer d R n que seja uma direcção factível em x *, tem-se f(x * ).d 0; se f(x * ).d = 0, então d T. 2 f(x * ).d 0. Proposição 3: (Condição necessária de segunda ordem - sem restrições) Seja x * um ponto interior do conjunto e suponha-se que x * é um ponto de mínimo relativo de f em e que f C 2. Então f(x * ) = 0; Para todo o d, d T. 2 f(x * ).d 0. Proposição 4: (Condição suficiente de segunda ordem - sem restrições) Seja f C 2 uma função definida numa região em que o ponto x * é um ponto interior. Suponha-se adicionalmente que f(x * ) = 0; H = 2 f(x * ) é definida positiva. Então x * é um ponto de mínimo relativo estrito de f. A10-2

3 Definição:Uma função f definida num conjunto convexo diz-se convexa se, para todo o x 1, x 2 e todo o, 0 1, se verificar f( x 1 + (1 - )x 2 ) f(x 1 ) + (1 - )f(x 2 ). Se, para todo o, 0 1 e x 1 x 2, se verificar f( x 1 + (1 - )x 2 ) < f(x 1 ) + (1 - )f(x 2 ), então f diz-se estritamente convexa. Definição:Uma função g definida num conjunto convexo diz-se côncava ou estritamente côncava se f = -g for convexa ou estritamente convexa, respectivamente. Teorema 1:Seja f uma função convexa definida num conjunto convexo. Então o conjunto onde f atinge o seu mínimo é convexo e qualquer mínimo relativo de f é um mínimo global. Teorema 2:Seja f C 1 uma função convexa definida num conjunto convexo. Se existir um ponto x * tal que para todo o y f(x * )(y - x * ) 0, então x * é um mínimo global de f em. A10-3

4 Teorema 3:Seja f uma função convexa definida num conjunto convexo fechado e limitado. Se f possuir um máximo em este é obtido num ponto extremo de. Teorema 4:(Condições de Kuhn-Tucker - 1ª ordem) Seja x * um ponto de mínimo relativo para o problema min f(x) s.a. h(x) = 0, g(x) 0(1) e suponha-se que x * é um ponto regular para as restrições. Então, existe um vector R m e um vector R p, com 0, tais que f(x * ) + h(x * ) + g(x * ) = 0 g(x * ) = 0 Teorema 5:(Condições de Kuhn-Tucker - 2ª ordem) Suponha que as funções f, g e h C 2 e que x * é um ponto regular das restrições. Se x * for um ponto de mínimo relativo para o problema (1), então existe um R m e um R p, com 0, tais que as condições de Kuhn-Tucker se verificam e L(x * ) = F(x * ) + H(x * ) + G(x * ) é semi-definida positiva no sub-espaço tangente às restrições activas. A10-4


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