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4 Novembro 2005Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 1 Jorge Cruz DI/FCT/UNL Programação para as Ciências Experimentais 1º Semestre 2005/2006.

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1 4 Novembro 2005Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 1 Jorge Cruz DI/FCT/UNL Programação para as Ciências Experimentais 1º Semestre 2005/2006

2 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 2 Regressão Linear : Um Exemplo Exemplo Um dado produto é fabricado numa linha de produção por lotes. Os lotes são encomendados pelos clientes e têm um número variável de exemplares do produto, de acordo com a ordem do cliente. A empresa produtora está interessada em desenvolver um modelo de produção, de forma a poder prever –Qual o tempo que demora cada lote a ser produzido –Quais os lotes que são produzidos em mais ou menos tempo que o esperado, de forma a poderem ser analisados os factores que facilitam ou dificultam o fabrico. Para fazer esse estudo a empresa detém um histórico da produção de vários lotes no passado.

3 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 3 Regressão Linear : Um Exemplo O modelo desenvolvido tem em conta que –Antes de se começar a produzir o produto é necessário gastar um dado tempo (t 0 : tempo de setup) para preparar um conjunto de recursos (ex: máquinas e instalações). –Uma vez estabelecida essa preparação o número de peças produzidas é basicamente proporcional ao tempo, demorando um tempo t 1 a fabricar cada peça. Assim parece apropriado um modelo do tipo, em que o tempo T necessário para se produzirem P peças é dado por: T = t 1 P + t 0 O problema consiste pois em determinar os valores de t 0 e t 1 a partir dos dados históricos.

4 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 4 Análise de Dados – Regressão Linear Este problema é apenas um exemplo de aplicação da técnica de análise de dados, denominada, regressão linear, que na sua forma geral se pode descrever por: –Regressão Linear: Dado um conjunto de dados, x i e y i verificar se eles estão numa relação linear Y = m X +b O problema tem dois subproblemas: –Determinar os valores de m e b mais apropriados aos valores dos vários pares de valores. –Avaliar se é razoável assumir a relação linear acima, ou seja, se os pares de valores a suportam (isto é, se existe uma boa correlação linear entre X e Y).

5 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 5 Análise de Dados – Regressão Linear Podemos ilustrar esta técnica com dois exemplos gráficos x yy x X e Y têm uma forte correlação linear X e Y têm uma fraca correlação linear Os valores de m (inclinação da recta) e de b (intersecção da recta com o eixo Y) são idênticos nos dois casos

6 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 6 Determinação de m e de b O tratamento matemático para a determinação dos valores de m e b é relativamente simples e consiste em determinar os valores de m e b que minimizem o erro entre os resultados esperados e os resultados experimentais. Para cada ponto o erro experimental é dado por e i = y i – (m x i + b) O erro E que se pretende minimizar é o erro quadrático médio, E = Σ e i 2 Assim sendo o problema reduz-se a determinar os valores de m e b que minimizam o erro E.

7 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 7 Determinação de m e de b O mínimo de uma função em relação a uma variável ocorre quando a derivada dessa função em ordem a essa variável é nula. Assim sendo há que obter os zeros da derivada de E em relação a m e a b. –Nota 1: Assume-se uma função contínua e continuamente derivável, caso contrário o mínimo pode não ocorrer no zero da derivada. –Nota 2: A função E tem duas variáveis, m e b. A análise em R n justifica que o mínimo deve corresponder ao zero das duas derivadas. –Nota 3: Como o mínimo de E = F coincide com o mínimo de E 2 = F, pode minimizar-se F = E 2 = Σe i 2 Os valores de m e b que minimizam o erro são assim determinados como aqueles que verificam = 0 e = 0 F m F b

8 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 8 Determinação de m e de b Ora = 0 F b Σ (y i – m x i – b) 2 b = 0 Σ – 2 (y i – m x i – b) = 0 Σ (y i – m x i – b) = 0 Σ (y i – m x i ) – n b= 0 Σ (y i – m x i ) n b = F m Por outro lado, = 0 Σ (y i – m x i – b) 2 m = 0 Σ – 2 x i (y i – m x i – b) = 0 Σ x i (y i – m x i – b) = 0 Σ (x i y i – m x i 2 – b x i ) = 0

9 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 9 Determinação de m e de b Usando agora o valor de na fórmula Σ (y i – m x i ) n b = Σ (x i y i – m x i 2 – b x i ) = 0 permite-nos obter o valor de m: Σ (x i y i – m x i 2 – 1 / n x i Σ (y i – m x i )) = 0 Σ (n x i y i – n m x i 2 ) – Σ x i Σ (y i – m x i ) = 0 n Σ x i y i – m n Σ x i 2 – Σ x i Σ y i + m Σ x i Σ x i = 0 m [n Σ x i 2 – (Σ x i ) 2 ] = n Σ x i y i – Σ x i Σ y i n Σ x i y i – Σ x i Σ y i n Σ x i 2 – (Σ x i ) 2... obtendo-se assim m =

10 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 10 Determinação de m e de b Assim, dados vectores X e Y, com n valores de x i e y i os valores de m e de b podem ser obtidos através das fórmulas n Σ x i y i – Σ x i Σ y i n Σ x i 2 – (Σ x i ) 2 m = Σ (y i – m x i ) n b = Sx = sum(X); Sy = sum(Y); Sxx = sum(X.*X); Sxy = sum(X.*Y); m = (n * Sxy – Sx*Sy) / (n*Sxx – Sx^2) b = (Sy – m * Sx) / n Em Octave, estas fórmulas podem calcular-se através do seguinte conjunto de equações

11 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 11 Correlação entre X e Y Para medir a qualidade da relação linear entre X e Y pode usar-se o coeficiente de correlação r. Este coeficiente (cuja derivação exige um maior conhecimento de estatística) varia entre 1 (correlação perfeita) e 0 (correlação nula). O seu valor em OCTAVE pode ser obtido através das equações anteriores e ainda de: Syy = sum(Y.*Y); r = (n * Sxy – Sx*Sy) / sqrt ((n*Sxx – Sx^2)* (n*Syy – Sy^2) r = n Σ x i y i – Σ x i Σ y i [ n Σ x i 2 – (Σ x i ) 2 ][ n Σ y i 2 – (Σ y i ) 2 ]

12 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 12 Armazenamento de Dados Quando a quantidade de dados é grande, não é razoável ou mesmo possível introduzi-los manualmente num programa. Tipicamente esses dados são armazenados em ficheiros que têm de ser lidos pelos programas que os tratam. As funções básicas de manutenção de ficheiros (criação, alteração e destruição, localização, acesso ao seu conteúdo, etc.) são definidas no sistema de ficheiros (file system), componente do sistema operativo (Operating System - Windows, Linux, MacOS,...). Todas as linguagens de programação têm acesso a essas funções básicas (primitivas), implementadas através de chamadas ao sistema, mas que são disponibilizadas ao nível da linguagem através de instruções próprias.

13 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 13 Armazenamento de Dados Existe uma grande variedade de formas nessas instruções mas algumas características são razoavelmente gerais: –Antes de se escrever ou ler num ficheiro, este tem de ser aberto num modo apropriado (leitura, escrita, leitura/escrita,...). –Na abertura de um ficheiro, este é associado a um canal com um identificador (tipicamente um número) único. Todos os acessos ao ficheiro referem esse valor e não o nome com que o ficheiro é conhecido no sistema de ficheiros. –Os acessos de leitura e escrita de dados dos ficheiros dependem da forma como os dados são codificados. Estes podem ser armazenados como texto ou numa forma codificada que optimiza o espaço. –Após todos os acessos pretendidos terem sido executados, o ficheiro deve ser fechado. Como estas operações podem ser muito variadas, vamos centrar-nos nos acessos a ficheiros texto em OCTAVE.

14 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 14 Entrada de Dados Após a abertura de um ficheiro texto, ele pode ser lido de duas formas básicas: –Leitura carácter a carácter, sendo tarefa do programador interpretar as sequências de caracteres como números, palavras, etc... –Leitura de acordo com determinados padrões (templates) em que existem primitivas da linguagem que interpretam directamente os caracteres para o tipo de dados pretendido. Por exemplo, assumamos que um ficheiro tem a sequência de caracteres Neste caso podemos –ler os 11 caracteres e tendo em atenção os espaços interpretar esses caracteres como dois números (um inteiro e outro decimal). –Indicar como padrão de leitura um inteiro seguido de um decimal que são retornados em variáveis indicadas.

15 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 15 Saída de Dados O armazenamento de dados num ficheiro segue passos semelhantes. A abertura de um ficheiro em modo escrita, cria um ficheiro, que pode ser escrito de duas formas básicas: –Escrita carácter a carácter, sendo tarefa do programador criar as sequências adequadas de caracteres para representar números, palavras, etc... –Escrita de acordo com determinados padrões (templates) disponibilizados por primitivas da linguagem. Por exemplo, para se escreverem os dados 23 e 45.2 num ficheiro ( ), pode-se –escrever os 11 caracteres sequencialmente, isto é,,,2,3,,,4,5,.,2, –indicar como padrão de escrita um inteiro (com 4 dígitos, seguido de um espaço, seguido de um decimal com 5 casas, incluindo uma casa decimal, seguido de um espaço.

16 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 16 Exemplo de Regressão Linear Assumamos pois um ficheiro em duas colunas, em que –A primeira coluna representa o número de peças de cada lote (P i ) –A segunda coluna, o número de horas necessárias para produzir esse lote (T i ) Escrever um ficheiro em 3 colunas em que: –As duas primeiras colunas são como antes – A 3ª coluna, representa a diferença entre o tempo estimado e o tempo gasto efectivamente Estabelecer uma relação linear T = t 1 P + t 0 ; Objectivos:

17 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 17 Entrada de Dados [fid,msg] = fopen("linear.txt", "r"); i = 0; X = []; Y = []; [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",C); while !feof(fid) i = i + 1; X(i) = xi; Y(i) = yi; [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",C); endwhile; n=i; fclose(fid); A instrução fopen abre o ficheiro com o nome linear.txt, em modo de leitura (r - read), e atribui-lhe um número de canal fid, usado posteriormente. A instrução fclose fecha o canal com número fid.

18 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 18 Entrada de Dados [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",C); xi = 188 yi = count = A instrução [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",C) permite ler dados –do canal de entrada (1º argumento - fid) –de acordo com um padrão (template -,"%i%f" ) –como na linguagem C (3º argumento – C) –os dados efectivamente lidos são colocados nas variáveis xi e yi –o seu número é colocado na variável count. Neste caso, são lidos 2 números do canal de entrada. O primeiro é um inteiro ("%i" ) e o segundo é decimal ("%f" ).

19 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 19 Entrada de Dados [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",C) F = feof(fid). count = 2, xi = 88, yi = , F = 0 [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",2) F = feof(fid). count = 0, xi = [], yi = [], F = Quando não há mais dados para ler, a instrução [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",C) retorna xi e yi vazios (xi = yi = []) e count = 0. Normalmente existe uma função end of file para indicar se a última leitura já foi feita após o fim do ficheiro. Em Octave essa função é expressa por feof(fid).

20 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 20 Entrada de Dados i = 0; X = []; Y = []; [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",C); while !feof(fid) i = i + 1; X(i) = xi; Y(i) = yi; [xi,yi,count] = fscanf(fid,"%i%f",C); endwhile; n = i; A instrução fscanf pode pois ser usada no ciclo abaixo, que instancia os vectores X e Y. Notas: 1.A chamada de fscanf é feita antes do ciclo. 2.A condição de entrada no ciclo é !feof 3.A variável n guarda o número de pontos X e Y lidos.

21 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 21 Tratamento dos Dados sx = sum(X); sy = sum(Y); sxy = sum(X.*Y); sxx = sum(X.*X); syy = sum(Y.*Y); m = (n*sxy-sx*sy)/(n*sxx-sx^2); b = (sy-m*sx)/n; r = (n*sxy-sx*sy)/sqrt((n*sxx-sx^2)*(n*syy-sy^2)); E = zeros(1,n); for i = 1:n E(i) = Y(i) - (m * X(i) + b); endfor; Uma vez obtidos os vectores X e Y com n pontos, os parâmetros m, b e r da regressão linear podem ser recalculados, bem como os erros (valores observados e os valores esperados)..

22 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 22 Saída dos Dados [fid,msg] = fopen("linear_out.txt", "w"); for i = 1:n fprintf(fid,"%5i %7.2f %7.2f\n", X(i),Y(i),E(i)); endfor; fclose(fid); As instruções fopen e fclose são semelhantes, mas com modo de escrita (w - write). A instrução fprintf escreve no canal de saída com identificador fid os 3 valores indicados com formatos: –Inteiro com 5 dígitos (1º dado – X(i)) –Decimal, com 7 casas, das quais duas decimais (2º/3º dado – Y(i) e E(i)) –Separados por espaços (no template) e com mudança de linha (\n)

23 4 Novembro 2005 Entradas, Saídas e Análise de Dados Regressão Linear 23 Visualização dos Dados Ax = [0,1.1*max(X)]; Ay = [0,1.1*max(Y)]; As = [Ax,Ay]; Y2 = [m*min(Ax)+b, m*max(Ax)+b]; clearplot; hold on; axis(As); plot(Ax,Y2,'2'); Ax e Ay, e portanto As, definem os limites dos eixos dos X e Y (na realidade P – nº de peças e T – tempo de fabrico). Os vários plots destinam-se aos valores X e Y (na forma de pontos – a recta de regressão (Y2 tem os dois pontos limites).


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