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Matrizes e Gráficos Trajectória de Projéctil Pedro Barahona DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação 2º Semestre 2008/2009.

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1 Matrizes e Gráficos Trajectória de Projéctil Pedro Barahona DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação 2º Semestre 2008/2009

2 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 2 Gráficos e Matrizes Em muitas situações, a informação de saída é mais útil se for apresentada através de gráficos (ou outra forma de apresentação audio-visual). O Octave tem uma capacidade (limitada) de apresentação de gráficos, implementada através de uma estrutura de dados básica: a matriz. Esta funcionalidade será apresentada para obtenção do gráfico da trajectória de um projéctil, estudada anteriormente, e correspondente à função v0v0 (0,0) x y y0y0 a f(a)f(a) d max h max

3 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 3 Matrizes Uma matriz (array) é uma estrutura de dados que agrega um conjunto de valores do mesmo tipo, na forma de uma tabela multidimensional. No Octave, as matrizes têm apenas 1 dimensão (vaectores) ou duas dimensões. Noutras linguagens os arrays podem ter mais de 2 dimensões. Por exemplo, podemos representar no vector V os primeiros 5 números inteiros, num vector U os primeiros 4 números primos, e na matriz M a tabela da multiplicação dos primeiros números naturais. Nas tabelas os dados estãi dispostos em linhas e colunas. O vector V tem 1 linha e 5 colunas, o vector U tem 4 linhas e 1 coluna, e a matriz M 3 linhas e 4 colunas. Vector V Matriz M Vector U

4 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 4 Inicialização de Matrizes A forma mais simples de inicializar uma matriz (pequena) é indicar explicitamente os seus valores, numa operação de atribuição. Em Octave, todas as variáveis são matrizes, mesmo os valores simples, internamente guardados como matrizes de uma linha e uma coluna. Na atribuição directa, as dimensões da matriz são indicadas implicitamente. Os sucessivos valores são colocados entre parênteses rectos, separados por espaços ou vírgulas dentro de uma linha, sendo as linhas separadas por ponto e vírgula). Exemplos: V = [1, 4 9, 16 25] ; U = [ 2; 3; 5; 7] M = [ ; 2, 4, 6, 8 ; ] Vector V Matriz M Vector U

5 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 5 Inicialização de Matrizes Quando as matrizes são maiores elas podem ser inicializadas a 0 ou a 1spor instruções predefinidas zeros e ones, indicando-se explicitamente as dimensões das matrizes. Exemplos: V1 = ones(1,5) ; U1 = zeros(4,1) M1 = ones(3,4) Estes valores podem depois ser modificados. Para aceder a elementos da matriz deve indicar-se o identificador da matriz, seguido, entre parênteses curvos da região (range) da matriz que se pretende aceder. Nota: Em Octave, o primeiro elemento da linha ou coluna tem sempre o índice 1. Vector V1 Matriz M1 Vector U1

6 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 6 Inicialização de Matrizes Para identificar elementos individuais, a região da matriz é indicada pelo número de linha e coluna, podendo-se omitir as colunas e linhas em vectores linha e coluna, respectivamente. Exemplos: V(3) = 9 ; U(4) = 7 ; M(2,3) = 6 Para modificação de todos os valores são habitualmente utilizados ciclos, como os indicados para o vector V (em pseudo-código e em sintaxe Octave) Vector V Matriz M Vector U i = 1; while i <= 5 V(i) = i^2; i = i+1; endwhile i = 1; enquanto i <= 5 V(i) = i^2; i = i+1 fimenquanto

7 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 7 Ciclos Para Sendo conhecido o número de iterações de um ciclo, este ciclo pode ser especificado através de uma instrução de repetição para (for). Assim os ciclos abaixo, escritos em pseudo-código, são equivalentes Em Octave o ciclo é especificado pela instrução for. Os limites inicial e final são especificados como um range, com a sintaxe do Octave. i = 1; enquanto i <= 5 V(i) = i^2; i = i+1 fimenquanto para i de 1 a 5 V(i) = i^2; fimpara i = 1; while i <= 5 V(i) = i^2; i = i+1 endwhile for i = 1:5 V(i) = i^2; fimpara

8 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 8 Ranges Para além dos valores inicial e final, um range pode ainda ter opcionalmente um passo (distância entre valores consecutivos), com a sintaxe ilustrada em baixo. Nota 1: O passo é opcional, e por omissão vale 1. Assim, 1:5 é equivalente a 1:1:5. X = zeros(1,7) para i de 1 a 5 (passo 2) V1(i) = i^2; fimpara X = zeros(6,1) for i = 1:3:6 X(i) = i^2; fimpara

9 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 9 Ciclos Encadeados Em geral, é necessário utilizar tantos ciclos quanto as dimensões da matriz. Para aceder a todos os elementos de uma matriz (bidimensional), os ciclos terão de ser encadeados, podendo.se fazer o varrimento por linhas ou colunas. Varrimento por linhas i é linha e j é a coluna M = zeros(3,4) for i = 1:3 for j = 1:4 M(i,j) = i*j; endfor Varrimento por linhas j é linha e i é a coluna M = zeros(3,4) for j = 1:4 for i = 1:3 M(i,j) = i*j; endfor

10 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 10 Gráficos e Vectores Em Octave a forma mais simples de desenhar o gráfico de uma função f(x) é utilizar o comando pre-definido plot(X,F) –em que X é um vector que as abcissas consideradas; –e F é o vector com as ordenadas dos pontos correspondentes.

11 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 11 Gráficos e Vectores Normalmente, para se obter um gráfico de uma função, basta determinar o valor da função em n pontos, sendo o n dependente do contexto. Por exemplo, se pretendermos o gráfico da função f, calculado em n pontos, no intervalo de [a.. b] podemos usar a função grafico abaixo em que f é uma função definida noutro ficheiro, por exemplo function y = grafico_f(a,b,n) dx = (b-a)/(n-1);% distância-x entre pontos X(1) = a; % especificação da 1ª abcissa(x) Y(1) = f(X(1));% cálculo da 1ª ordenada (y) for i = 2:n% cálculo dos outros pontos X(i) = X(i-1) + dx; % i-ésima abcissa Y(i) = f(X(i));% i-ésima ordenada endfor plot(X,Y);% desenha o gráfico de f endfunction; function y = f(x) y = sqrt(x) * sin(3*x); endfunction;

12 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 12 Gráficos de Várias Funções O Octave permite o desenho simultâneo de várias funções, com o mesmo comando plot(X,M), mas em que o 2º argumento é uma matriz com o mesmo número de colunas do vector X, e com tantas linhas quantas as funções a mostrar. Por exemplo, o gráfico das funções f e g entre os pontos a e b, desenhado com n pontos, pode ser obtido com a função grafico_fg, semelhante à anterior. function y = grafico_fg(a,b,n) dx = (b-a)/(n-1); X(1) = a; M(1,1) = f(X(1));% cálculo da 1ª ordenada f(x) M(2,1) = g(X(1));% cálculo da 1ª ordenada g(x) for i = 2:n% cálculo dos outros pontos X(i) = X(i-1) + dx; % i-ésima abcissa M(1,i) = f(X(i));% i-ésima ordenada f(x) M(2,i) = g(X(i));% i-ésima ordenada g(x) endfor plot(X,M);% desenha o gráfico de f e g endfunction; function y = g(x) y = sqrt(x) * sin(3*x) + 1; endfunction; Por exemplo, a função g pode ser definida no ficheiro g.m como

13 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 13 Passagem de Funções como Parâmetros Nas versões anteriores da função gráfico, não se pode passar como parâmetro a função a desenhar. Em linguagens de alto nível, é geralmente possível fazê-lo, passando as funções por referência. Em Octave, onde não há passagem por referência, pode utilizar-se um truque, passando-se o nome da função como argumento e utilizando-se a função pré- definida feval, que recebe como 1º argumento o nome da função e nos seguintes parâmetros os parâmetros da função. Uma vez definida a função grafico (no diapositivo seguinte), são equivalentes as chamadas grafico_f(x,a,b) e grafico(f,x,a,b) bem como as chamadas grafico_g(x,a,b) e grafico(g,x,a,b)

14 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 14 Passagem de Funções como Parâmetros A função feval, recebe como 1º argumento o nome da função e nos seguintes parâmetros os parâmetros da função. Assim, saõ equivalente as chamadas f(x) e feval(f,x) Utilizada na especificação da função grafico, indicada abaixo function y = grafico(func,a,b,n) dx = (b-a)/(n-1);% distância-x entre pontos X(1) = a; % especificação da 1ª abcissa(x) Y(1) = feval(func,X(1)); % cálculo da 1ª ordenada (y) Z(1) = 0; for i = 2:n% cálculo dos outros pontos X(i) = X(i-1) + dx; % i-ésima abcissa Y(i) = feval(func,X(i));% i-ésima ordenada Z(i) = 0; endfor plot(X,[Z;Y]);% desenha o gráfico de f endfunction;

15 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 15 Aproximações de Funções A possibilidade de mostrar várias funções num gráfico, permite visualizar a aproximação de funções calculadas através de séries. Consideremos por exemplo a função e x, obtida através da série expo(x) = 1 + x + x 2 /2! + x 3 /3!+ Como já foi visto, a função e x pode ser aproximada pela função = expo(x,n) que considera os primeiros n termos da série. Essa função pode ser definida como Há agora que adaptá-la, para mostrar o gráfico da convergência function z = expo(x,n) y = 1; for i = 1:n y = y + x^i/fact(i); endfor z = y; endfunction

16 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 16 Aproximações de Funções function z = expo(x,n) y = 1; for i = 1:n y = y + x^i/fact(i); endfor z = y; endfunction function z = expo(x,n,p) P(1) = 1; Y(1) = 1; for i = 1:n P(i+1) = P(i)+1; Y(i+1) = Y(i) + x^i/fact(i); endfor z = Y(n+1); if p plot(P,Y) endif endfunction Para esse efeito, é necessário –Guardar os sucessivos valores de y no vector Y; –Guardar os sucessivos valores das iterações no vector P (opcional); –Condicionar o desenho do gráfico ao parâmetro p de entrada.

17 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 17 Aproximações de Funções Outro exemplo de função obtida por iterações sucessivas é a raiz quadrada, que vamos aproximar por valores sucessivos do vector R. 1.A raiz do número x, raiz(x) está entre 1 e x. Assim uma primeira aproximação, é obtida pela média de 1 e x, isto é R(1) = (1+x)/2. 2.Suponhamos que a é um valor aproximado de raiz(x) obtido na iteração i-1, isto é, R(i-1) = a. Então obtem-se outra aproximação de raiz(x), fazendo b = x/a. 3.Notar que se a > raiz(x) então b < raiz(x) (e vice-versa). 4.Assim, o valor médio c = (a+b)/2 é uma melhor aproximação de raiz(x) do que a ou b, e podemos usá-lo como a aproximação na iteração seguinte, R(i) = c. Isto obtem-se com o seguinte ciclo: for i = 2:n a = R(i-1); b = x / a; c = a+b)/2; R(i) = c; endfor

18 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 18 Aproximações de Funções Outro exemplo de função obtida por iterações sucessivas é a raiz quadrada, que vamos aproximar por valores sucessivos do vector R. 1.A raiz do número x, raiz(x) está entre 1 e x. Assim uma primeira aproximação, é obtida pela média de 1 e x, isto é R(1) = (1+x)/2. 2.Suponhamos que a é um valor aproximado de raiz(x) obtido na iteração i-1, isto é, R(i-1) = a. Então obtem-se outra aproximação de raiz(x), fazendo b = x/a. 3.Notar que se a > raiz(x) então b < raiz(x) (e vice-versa). 4.Assim, o valor médio (a+b)/2 é uma melhor aproximação de raiz(x) do que a ou b, e podemos usá-lo como a aproximação na iteração seguinte, R(i) = (a+b)/2. Isto obtem-se com o seguinte ciclo: for i = 2:n a = R(i-1); b = x / a; R(i) = (a+b)/2; endfor

19 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 19 Aproximações de Funções Eis a função r2(x,k), definida em Octave para determinar a raiz quadrada de x, em k iterações, mostrando graficamente as várias iterações. function y = r2(x,k); R(1) = (1+x)/2; % valor inicial for i = 2:k a = R(i-1); % valor da iteração anterior b = x/a; % aproximação para o outro lado R(i) = (a+b)/2; % nova e melhor aproximação endfor y = R(k); plot(R); endfunction Notar que a função plot tem um só argumento, pelo que a ordenada toma valores inteiros (1, 2, 3,...).

20 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 20 Aproximações de Funções A função pode generalizar-se para raiz(n,x,k), definida em Octave para determinar a raiz de ordem n de x, em k iterações, mostrando graficamente as várias iterações. function y = raiz(n,x,k); R(1) = (1+x)/n; % valor inicial for i = 2:k a = R(i-1); % valor da iteração anterior b = x/a^(n-1); % aproximação para o outro lado R(i) = (a+b)/2; % nova e melhor aproximação endfor y = R(k); plot(R); endfunction Notar que a função raiz é a raiz quadrada para n=2.

21 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 21 Aproximações de Funções A função pode generalizar-se para raiz(n,x,k), definida em Octave para determinar a raiz de ordem n de x, em k iterações, mostrando graficamente as várias iterações. function y = raiz(n,x,k); R(1) = (1+x)/n; % valor inicial for i = 2:k a = R(i-1); % valor da iteração anterior b = x/a^(n-1); % aproximação para o outro lado R(i) = (a+b)/2; % nova e melhor aproximação endfor y = R(k); plot(R); endfunction Notar que a função raiz é a raiz quadrada para n=2.

22 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 22 Zero de Funções por Bipartição Uma forma mais eficiente de determinar o zero de uma função consiste em localiizar o zero num intervalo inicial, e sistematicamente partir o intervalo ao meio, aproveitando o sub-intervalo que contem o zero. Para esse efeito iremos considerar os seguintes vectores, cujos valores se vão actualizando ao longo das várias iterações L – O limite inferior do intervalo que contem o zero (na iteração i) U – O limite superior do intervalo que contem o zero (na iteração i) O desenho dos limites inferior e superior permite visualizar a largura do intervalo que contem a solução, isto é, o erro máximo com que o zero da função é calculado. Em cada iteração deverá proceder-se do seguinte modo: 1.Partir o intervalo ao meio, determinando o seu ponto médio; 2.Verificar se se aproveita a metade inferior ou superior do intervalo anterior; e 3.Parar a bipartição quando o comprimento do intervalo for inferior a um erro (dado pelo utilizador).

23 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 23 Zero de Funções por Bipartição Geração dos vários intervalos: 1.Se o valor da função no ponto médio tem o mesmo sinal do valor no limite inferior do intervalo, aproveita-se o sub-intervalo superior, (altera-se o limite inferior). 2.Caso contrário, aproveita-se o sub-intervalo superior, alterando-se o limite inferior. Denotando por L(i-1) e U(i-1) os limites inferior e superior, respectivamente do intervalo que contem a solução na iteração anterior, os limites da iteração corrente (i) podem ser calculados da seguinte forma m = (U(i-1)+L(i-1))/2; % ponto médio do intervalo anterior fm = feval(f,m); % valor da função nesse ponto, e... f1 = feval(f,L(i-1)); %... e no limite inferior f2 = feval(f,U(i-1)); %... e no limite inferior if fm * f1 > 0 L(i) = m; U(i) = U(i-1); % muda o limite inferior else U(i) = m; L(i) = L(i-1); % muda o limite superior endif

24 13 Março 2009 Matrizes e Gráficos - Trajectória de um Projéctil 24 Zero de Funções por Bipartição Eis o programa completo, com a inicialização, o teste de terminação e o desenho do gráfico dos limites do intervalo que contem o zero (Nota: a instrução plot, utiliza para abcissas o vector [1,2...,i], que em Octave se pode definir pelo range [1:i] ) function y = zero_bip(f,a,b,erro); i = 1; L(1) = a; U(1) = b; % 1ª iteração (inicial) do i = i + 1; % i-ésima iteração m = (L(i-1) + U(i-1))/2; f1 = feval(f,L(i-1)); f2 = feval(f,U(i-1)); fm = feval(f,m); if fm * f1 > 0 L(i) = m; U(i) = U(i-1); else U(i) = m; L(i) = L(i-1); endif until (U(i) - L(i)) < erro % testa incerteza y = (L(i) + U(i))/2 % retorna melhor aproximação plot([1:i],[L;U]); endfunction


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