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Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford.

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1 Introdução à Programação Linear Parte II Elementos de Economia Matemática 2 Prof. Alexandre Stamford

2 O modelo do problema s.a

3 O Método SIMPLEX zForma-se um sistema de equações lineares introduzido as variáveis de folga:

4 O Método SIMPLEX zUm quadro pode ser formado com os coeficientes das variáveis. Observe o formato das colunas de x 3 e x 4 Observe os coeficientes de x 1 e x 2 na linha da função objetivo. Para auxiliar pode-se utilizar uma coluna para destacar os valores das variáveis básicas.

5 O Método SIMPLEX zA primeira pergunta é qual a variável que, saindo da base, aumentaria mais rapidamente o valor da função objetivo. A pergunta é respondida observando-se qual a variável que tem o coeficiente mais negativo na linha referente à função objetivo. No caso, a variável x 1

6 O Método SIMPLEX zComo x 1 aumenta a função objetivo mais rapidamente, qual o valor máximo que x 1 poderá assumir sem romper as restrições? Na primeira restrição x 1 aumenta até 2 (18/9) fazendo com que x 3 se anule, saindo da base. Na segunda restrição x 1 aumenta até 4 (12/3) fazendo com que x 4 se anule, saindo da base. x 1 toma então o lugar de x 3 na base, entrando na linha desta mesma variável básica.

7 O Método SIMPLEX zCom a decisão tomada, a linha de x 3 deve refletir agora o valor de x 1, consegue-se isto fazendo o coeficiente de x 1 igual a 1 naquela linha e trocando-se o nome à direita do quadro. Para que o quadro fica passível de análise é necessário escaloná-lo sendo a linha de x 1 a pivô.

8 O Método SIMPLEX zO novo quadro será: Observe o formato das colunas de x 1 e x 4 Observe os coeficientes de x 2 e x 3 na linha da função objetivo. A coluna à direita destaca os valores das novas variáveis básicas e do lucro.

9 O Método SIMPLEX zA primeira pergunta pode ser repetida: qual a variável que, saindo da base, aumentaria mais rapidamente o valor da função objetivo? A pergunta é respondida observando-se que a única variável que tem coeficiente negativo na linha referente à função objetivo é x 2. Até quanto o valor x 2 pode aumentar?

10 O Método SIMPLEX zPode-se automaticamente localizar o mínimo das razões dos valores das variáveis básicas com os coeficientes de x 2. Mínimo Nova linha pivô

11 O Método SIMPLEX zMultiplicando-se a linha de x 2 por 3/2, trocando-se o nome da variável e escalonando resulta em: Observe novamente as colunas de x 1 e x 2 (as VBs) Observe também os coeficientes de x 3 e x 4 (as VNBs ) na linha da função objetivo. A coluna à direita destaca os valores das novas variáveis básicas e do lucro. A solução é ótima dado os coeficientes positivos.

12 O Algoritmo SIMPLEX 1. Acrescentar variáveis de folga ao problema. 2. Achar uma solução viável definindo as VB e as VNB 3. Identificar a VNB com coeficiente mais negativo na função objetivo (VBE) 4. Escolher a menor das razões entre os coeficientes da VBE e os valores das VBs 5. Identificar a linha em que isto ocorre e nominar a VB como VBS 6. Tornar o coeficiente da VBE igual a 1 na linha da VBS e escalonar o sistema 7. A VBE torna-se VB e a VBS torna-se VNB 8. Existe alguma VB com coeficiente negativo na função objetivo? SIM NÃO 9. Solução Ótima

13 Aplicando o SIMPLEX no Exemplo 2 zUma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 300m de tábuas, 600m de pranchas e 500m de painéis de aglomerado. zOferece normalmente 4 modelos de móveis: Escrivaninha, Mesa, Armário e Prateleira. zOs modelos são vendidos respectivamente por $100,00; $80,00; $120,00; $30,00. zE consomem: yEscrivaninha: 1m tábua, 3m de painéis. yMesa: 1m tábua, 1m prancha, 2m painéis. yArmário: 1m tábua, 1m prancha, 4 painéis. yPrateleira: 4m tábua, 2 de prancha.

14 O modelo do problema

15 O Método SIMPLEX Introduzido as variáveis de folga.

16 O Método SIMPLEX O quadro é: Observe as colunas das variáveis básicas e os coeficientes das variáveis não básicas. Os valores das VBs estão a direita. Quem entra na base é x A e quem sai é x F3 A linha pivô é a linha da VBS x F3.

17 O Método SIMPLEX zO novo quadro é: x P é a variável que entrará na base no lugar de x F1 Dividindo-se por 4 e escalonando....

18 O Método SIMPLEX zO novo quadro é: x M é a variável que entrará na base no lugar de x A, pois 43,75/0,125= ,5/0,25=1550 e 125/0,5=250

19 O Método SIMPLEX zO novo quadro é: A solução é ótima, não há coeficientes negativos.


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