Matemática Discreta 1 – MD 1

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1 Matemática Discreta 1 – MD 1
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Semestre de 2013 Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret Aula 6: Proposições (1)

2 Introdução (1) Você foi convocado a participar em um processo criminal, como participante de um júri. O advogado de defesa argumenta o seguinte: Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou José viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, então José não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores, meu cliente é inocente. Pergunta: O argumento do advogado está correto? Qual seria seu voto?

3 Introdução (2) Lógica é uma ciência de índole Matemática e fortemente ligada à Filosofia. Já que o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida. Assim, a Lógica é o ramo da Filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. Lógica é a disciplina que lida com métodos de raciocínio. Ela provê regras e técnicas para, por exemplo, determinar se um dado argumento é válido. Lógica Matemática ou Simbólica é o uso da lógica formal para estudar o raciocínio matemático.

4 Introdução (2) A Lógica formulada por Aristóteles é denominada de Lógica Clássica, e expressa o raciocínio a partir da linguagem natural (falada ou escrita): A Lógica Matemática utiliza apenas de símbolos para expressar um raciocínio. Neste tipo de lógica, o pensamento é fragmentado em frases (denominadas Proposições). Varias proposições conectadas entre si por conectivos lógicos compõe por sua vez o pensamento.

5 Introdução (3) "Lógica Matemática é uma ferramenta fundamental na definição de conceitos computacionais”. Diretrizes curriculares do MEC para Cursos de Computação e Informática. Aplicações em Ciência da Computação: Banco de Dados. Inteligência Artificial. Construção e Verificação de Algoritmos. Linguagens de Programação, etc. Objeto de Estudo deste curso: Lógica Proposicional. Lógica de Predicados.

6 Introdução (1) Lógica Proposicional ou Cálculo Sentencial ou Cálculo Proposicional: É o sistema lógico formal mais simples. É um sistema no qual as declarações (proposições) têm valor verdade Verdadeiro (V) ou Falso (F). Exemplos: O fígado é um órgão pequeno. Varsóvia é a capital da Polônia.

7 Introdução (2) Lógica de Predicados ou Cálculo de Predicados:
Considera ainda predicados (condições), variáveis e quantificadores sobre estas variáveis. Exemplos: Existe alguém que está rezando. Todo homem é mortal.

8 Proposição (1) Uma Asserção é uma declaração (uma sentença declarativa). Uma Proposição é uma frase (oração ou sentença declarativa) que possui as seguintes características fundamentais: Não são sentenças interrogativas ou exclamativas. Apresenta um dos dois valores lógicos, Verdadeiro (V) ou Falso (F). Não possui simultaneamente Verdadeiro (V) e Falso (F) como valores lógicos. Valor Verdade (Valor Lógico): É o resultado da avaliação de uma proposição (V ou F).

9 Proposição (2) A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento dentre outras, os três seguintes princípios (axiomas): Princípio da Identidade - Uma proposição verdadeira é Verdadeira; uma proposição falsa é Falsa. Princípio da Não Contradição - Uma proposição não pode ser Verdadeira (V) e Falsa (F) ao mesmo tempo. Princípio do Terceiro Excluído - Toda a proposição ou é Verdadeira (V) ou é Falsa (F), isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

10 Proposição (3) Exemplos de proposições: Dois é um número par.
O triângulo é uma figura de três lados. Pedras também são seres vivos. O boi é um micróbio. O Sol é menor que a Lua. A Lua é um satélite da Terra. Recife é capital de Pernambuco.

11 Proposição (4) Exemplos de frases que não são proposições:
João e Maria. São todos animais. Todo ímpar é primo? Michael Jackson morreu! Três vezes um número menos um é igual a 11 (3x - 1 = 11). Ela é muito talentosa.

12 Proposição (5) Os exemplos de proposições apresentados até agora são caracterizados com proposições simples, os quais possuem apenas um sujeito e um predicado: Existem proposições que são formadas pela junção de duas ou mais proposições, e são denominadas de proposições compostas. A junção entre proposições é feita de forma específica (a ser definida adiante). Exemplo 1: João é rico. (Proposição simples) Maria é pobre. (Proposição simples) João é rico e Maria é pobre. (Proposição composta)

13 Proposição (6) Considere as seguintes proposições simples:
Pedro está tomando suco. A quitanda do japonês foi roubada. Bruno é culpado. Meu cachorro fala inglês. Forme frases usando duas proposições, conectando-as com e, ou, e se ..., então .... Exemplo 2: Pedro está tomando suco ou a quitanda do japonês foi roubada. Se Pedro está tomando suco, então a quitanda do japonês foi roubada.

14 Operadores Lógicos (1) Anteriormente foram geradas algumas proposições compostas: As proposições foram ligadas usando algumas palavras específicas (e, ou, etc.). No contexto da lógica matemática, estas palavras são consideradas Operadores ou Conectivos Lógicos. Assim como a aritmética possui operadores básicos (soma, subtração, multiplicação e divisão), a lógica matemática também possui operadores lógicos básicos. São eles: Conjunção (e). Disjunção (ou). Condicional (se ..., então ...). Bicondicional (... se, e somente se, ...). Negação (não).

15 Operadores Lógicos (2) Para unificação da representação matemática, a seguinte terminologia será adotada: Letras maiúsculas do alfabeto tais como A, B, C,... são usadas para representar proposições. Opcionalmente, letras minúsculas do alfabeto, tais como p, q, r,..., podem ser usadas para representar proposições. Para o conectivo de conjunção, usa-se o símbolo ∧. Para o conectivo de disjunção, usa-se o símbolo ∨. Para o conectivo de condicional, usa-se o símbolo →. Para o conectivo de bicondicional, usa-se o símbolo ↔. Para o conectivo de negação, usa-se o símbolo ¬.

16 Conjunção (1) A conjunção é um operador lógico que tem como funcionalidade unir duas proposições: O significado lógico da operação é Verdadeiro (V) quando, dado duas proposições quaisquer, ambas são verdadeiras. Na linguagem escrita, este operador tem o mesmo sentido da palavra E. Este operador é denotado pelo símbolo ∧: A operação de conjunção é denotada por p ∧ q (é um operador binário). Não fazem sentido as seguintes expressões ∧ p, p ∧, ∧ pq, pq ∧ ou p ∧∧ q.

17 Conjunção (2) Expressões em português equivalentes do conectivo de conjunção ∧: mas, também, além disso, embora, tanto... como..., . Exemplo 3: p: O dia está ensolarado. q: Carlos foi pescar. p ∧ q: O dia está ensolarado e Carlos foi pescar. Exemplo 4: A: 2 > 0. B: 2 ≠ 1. A ∧ B: 2 > 0 ∧ 2 ≠ 1.

18 Conjunção (3) Exemplo Intuitivo:
Imagine que a mãe de Maria pede para ela ir ao Shibata comprar farinha E leite para fazer um bolo. Maria vai ao mercado e compra os produtos que encontrou. Quando Maria volta para casa, um dos quatro cenários pode acontecer: Maria comprou farinha e não comprou leite. Maria não comprou farinha e comprou leite. Maria comprou farinha e leite. Maria não comprou farinha e não comprou leite. Neste caso, a mãe de Maria vai fazer o bolo apenas se o terceiro cenário ocorrer.

19 Conjunção (4) Outro Exemplo Intuitivo -
Sejam as promessas de um pai a um filho: “Eu te darei uma bola E te darei uma bicicleta”. Pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o pai não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido cumprida. Terá sido falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se os dois presentes forem dados para a criança!

20 Conjunção (5) Exercício: Faça a conjunção entre as proposições abaixo, denotando também formalmente as conjunções criadas (usando a simbologia já apresentada). p: Nove é diferente de cinco. q: Sete é menor que três. r : Quatro vezes cinco é vinte. s: Os cavalos são mamíferos. t: O Sol perde calor durante o inverno. Exemplo 5: p ∧ q. Nove é diferente de cinco E Sete é menor que três.

21 Conjunção (6) Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção “p e q” corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q. Ou seja, tem-se:

22 Disjunção (1) A disjunção é um operador lógico cuja funcionalidade é unir duas proposições: O significado lógico da operação é Verdadeiro (V) quando, dado duas proposições quaisquer, ao menos uma delas é verdadeira. Na linguagem escrita, este operador tem sentido semelhante ao da palavra OU. Este operador é denotado pelo símbolo ∨: A operação é denotada por p ∨ q (é um operador binário). Não fazem sentido as seguintes expressões ∨ p, p ∨, ∨ pq, pq ∨ ou p ∨∨ q.

23 Disjunção (2) Expressões em português equivalentes do conectivo de disjunção ∨: e/ou, ou ... ou ambos, ..., salvo quando ... . Exemplo 6: p: O dia está ensolarado. q: Carlos é careca. p ∨ q: O dia está ensolarado ou Carlos é careca. Exemplo 7: p: 10 é um número primo. q: 10 é um número composto. p ∨ q: 10 é um número primo ou um número composto.

24 Disjunção (3) Observação:
A sentença “Chove ou faz frio” é verdadeira nos seguintes cenários - Só chove. Só faz frio. Chove e faz frio. O mesmo não ocorre com sentença “Pedro passará nos exames ou repetirá de ano”, que só é verdadeira nos seguintes cenários: Pedro passará nos exames. Pedro repetirá de ano. Sendo falsa no seguinte cenário: Pedro passará nos exames e repetirá de ano.

25 Disjunção (4) Dessa forma, na linguagem natural o conectivo lógico OU pode traduzir a idéia de mutuamente exclusivo (ou ocorre isto ou ocorre aquilo) quanto a da ocorrência de no mínimo uma das proposições. Nos exemplos anteriores, no primeiro caso tem-se a disjunção inclusiva e no segundo caso a disjunção exclusiva. O segundo caso pode ser reescrito da seguinte forma: Ou Pedro passará nos exames ou Pedro repetirá de ano.

26 Disjunção (5) Exemplo Intuitivo:
Imagine que a mãe de Maria deseja fazer suco. Ela pede para a filha ir novamente ao Shibata e comprar laranjas OU limões para fazer suco. Se Maria encontrar no mercado laranjas e limões ela pode comprar ambas as frutas, senão ela pode comprar qualquer uma das duas. Quando Maria volta para casa, um dos quatro cenários pode acontecer: Maria comprou laranjas e não comprou limões. Maria não comprou laranjas e comprou limões. Maria comprou laranjas e limões. Maria não comprou nada. Com exceção do último cenário, Maria fez o que a mãe pediu. Ou seja, a mãe só não vai conseguir fazer suco se ocorrer o último dos quatro cenários.

27 Disjunção (6) Outro Exemplo Intuitivo -
Sejam as promessas de um pai a um filho: “Eu te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”. Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu! É verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um caso em que a promessa não se cumprirá: Se o pai esquecer o presente, e não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa a promessa (disjunção).

28 Disjunção (7) Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjunção “p ou q” corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q. Ou seja, tem-se:

29 Disjunção (8) Exercício: Faça a disjunção entre as proposições, denotando também formalmente as conjunções criadas (usando a simbologia já apresentada). p: Nove é diferente de cinco. q: Sete é menor que três. r : Quatro vezes cinco é vinte. s: Os cavalos são mamíferos. t: O Sol perde calor durante o inverno. Exemplo 8: p ∨ q. Nove é diferente de cinco OU Sete é menor que três.

30 Condicional (1) O operador condicional é um operador lógico que tem como funcionalidade unir duas proposições: Na lógica matemática, o condicional indica o efeito de um fato sobre outro fato. Na linguagem escrita, este operador tem como sentido “Se ..., então ...”, ou seja, “Se <isto acontecer>, então <o resultado é este>”. Este operador é denotado pelo símbolo →: A operação é denotada por p → q (é um operador binário). Não faz sentido as seguintes notações → p, p →, → pq, pq →.

31 Condicional (2) Exemplo 9:
p: O dia está ensolarado. q: Carlos foi pescar. p → q: Se o dia está ensolarado, então Carlos foi pescar. Há outras formas de ler a proposição condicional p → q: se p, q. q, se p. quando p, q. p implica q. p, logo q. p é condição suficiente para q. q é condição necessária para p. p somente se q. q segue de p. todo p é q. sempre que p, q.

32 Condicional (3) Exemplo 10: p apenas se, q. Se chove, faz frio.
Faz frio, se chove. Quando chove, faz frio. Chover implica fazer frio. Chover é condição suficiente para fazer frio. Fazer frio é condição necessária para chover. Chove somente se faz frio. Toda vez que chove, faz frio. Sempre que chove, faz frio. Chove apenas se faz frio.

33 Condicional (4) Na condicional p → q, a proposição p é chamada de antecedente (também pode ser denominada de cabeça) e a proposição q é chamada de conseqüente (também denominada de cauda). Opcionalmente também se usa chamar a proposição p de hipótese (ou premissa) e q de conclusão. A proposição condicional p → q só é Falsa (F) quando a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa. Uma condicional p → q não afirma que o conseqüente q se deduz ou é conseqüência do antecedente. O que uma proposição condicional afirma é unicamente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do conseqüente, de acordo com sua tabela verdade.

34 Condicional (5) Sejam as proposições condicionais:
7 é um número impar → Brasília é uma cidade. 3 + 5 = 9 → Santos Dumont nasceu no Ceará. Essas proposições não afirmam, de modo algum: que o fato de “Brasília ser uma cidade” se deduz do fato de “7 ser um número impar” ou que a proposição “Santos Dumont nasceu no Ceará” é uma conseqüência da proposição “3 + 5 = 9”.

35 Condicional (6) Exemplo intuitivo:
Hoje a mãe da Maria esta irritada, pois Maria não para de fazer bagunça, daí, ela determina que SE a Maria não parar com a bagunça, ENTÃO ela vai lhe bater. Maria decide ou não parar de fazer bagunça, então um dos quatro cenários pode acontecer: Maria continua bagunçando e a mãe irritada acaba batendo nela. Maria continua bagunçando mas a mãe fica com dó e não bate nela. Maria para de bagunçar, mas a mãe já estava irritada e bate assim mesmo. Maria para de bagunçar e a mãe não bate nela.

36 Condicional (7) No primeiro cenário, a mãe cumpriu aquilo que havia dito, logo a expressão é verdadeira. Já no segundo cenário, ela não cumpriu, e portanto a expressão é falsa. Com relação aos dois últimos cenários, não se pode dizer que eles não são válidos, pois a mãe da Maria afirmou que iria bater nela se a bagunça continuasse, mas não afirmou nada se ela parasse...

37 Condicional (8) Obs: Exemplo 11:
Condição suficiente é aquela que basta para que X seja verdadeiro (é introduzida pelo antecedente). Condição necessária é aquela que sempre deve ser satisfeita para que X seja verdadeiro (é introduzida pelo conseqüente). Exemplo 11: Se eu visito a torre Eiffel, então estou em Paris. O antecedente da condicional é uma condição suficiente para eu estar em Paris, e evidentemente não é única. Por outro lado, estar em Paris é condição necessária para eu visitar a torre Eiffel, pois é impossível visitar a torre Eiffel sem estar em Paris. O antecedente de uma condicional (implicação) qualquer é sempre a condição suficiente, e o conseqüente é sempre a condição necessária.

38 Condicional (9) Exemplo 12:
Se aquilo é um peixe, então aquilo é um animal. Ser peixe é uma condição suficiente para ser animal. Ou seja, basta ser peixe para ser animal, aquilo que é peixe é automaticamente animal. Porém, ser peixe não é uma condição necessária para se ser animal. Não é indispensável ser peixe para ser animal, pois há outros seres (como as ovelhas e as baleias) que não são peixes e são animais. Por outro lado, Ser animal é uma condição necessária para ser peixe. É indispensável ser animal para ser peixe. Não se pode ser peixe sem ser também animal. Porém, ser animal não é uma condição suficiente para ser peixe. Com efeito, pode ser-se animal e mesmo assim não ser peixe.

39 Condicional (10) Exemplo 13: Se ele é Juiz, então ele é advogado.
Dito de modo mais abreviado, o fato de algo ser peixe implica que seja animal, mas o fato de algo ser animal não implica que seja peixe. Exemplo 13: Se ele é Juiz, então ele é advogado. O fato de ser juiz é suficiente para ser advogado. Para alguém ser juiz é necessário que seja advogado, mas não é o suficiente.

40 Condicional (11) A proposição condicional:
Se chove, então a rua fica molhada. Pode ser lida das seguintes formas: Chover é uma condição suficiente para a rua ficar molhada. A rua ficar molhada é uma condição necessária quando chove.

41 Condicional (12) Se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”, então pode-se reescrever essa sentença, usando o formato da condicional. Tem-se: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a: “ Se Pedro for rico, então Maria é médica.” Por outro lado, se alguém disser que: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico”, também pode-se traduzir isso de outra forma: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” é igual a: “Se Pedro for rico, então Maria é médica.”

42 Condicional (13) Exercício: Faça a condicional entre as proposições, denotando também formalmente as conjunções criadas (usando a simbologia já apresentada). p: Nove é diferente de cinco. q: Sete é menor que três. r : Quatro vezes cinco é vinte. s: Os cavalos são mamíferos. t: O Sol perde calor durante o inverno. Exemplo 14: p → q. SE Nove é diferente de cinco, ENTÃO Sete é menor que três.

43 Condicional (14) Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional “Se p então q” corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q). Ou seja, tem-se:

44 Bicondicional (1) O bicondicional, assim como os demais conectivos, tem como funcionalidade unir duas proposições: O bicondicional pode ser considerado um caso mais restrito do condicional. O bicondicional indica o efeito de um primeiro fato sobre um segundo fato, e por sua vez, o efeito do segundo fato no primeiro. Na linguagem escrita, este operador tem como sentido “... se, e somente se, ...” Ou seja: “<isto é verdade> se <aquilo também for verdade>” ao mesmo tempo que “<aquilo é verdade> se <isto também for verdade>”.

45 Bicondicional (2) Este operador é denotado por ↔:
A operação bicondicional é denotada por p ↔ q. Outras maneiras de se ler o bicondicional p ↔ q: p se, e somente se, q. p se, e só se, q. se p então q e se q então p. p somente se q e q somente se p. p é condição necessária e suficiente para q. q é condição necessária e suficiente para p. se p, então q e reciprocamente. p é equivalente a q. todo p é q e todo q é p.

46 Bicondicional (3) A proposição bicondicional p ↔ q só é Verdadeira (V) quando os valores verdades de p e q são iguais. A expressão p ↔ q é uma abreviação de: (p → q) ∧ (q → p)

47 Bicondicional (4) Exemplo 15: Exemplo 16:
p: Perereca se transforma em sapo. q: Sapo se transforma em príncipe. p ↔ q: Perereca se transforma em sapo se, e somente se, Sapo se transforma em príncipe. Exemplo 16: p: O dia está ensolarado. q: Carlos foi pescar. p ↔ q: O dia está ensolarado se, e somente se, Carlos foi pescar.

48 Bicondicional (5) Exemplo intuitivo:
Numa outra vez em que a mãe da Maria estava irritada também por causa da bagunça, ela determinou que iria bater na Maria SE, E SOMENTE SE, Maria não parasse com a bagunça. Como já visto, um de quatro cenários pode acontecer: Maria continua bagunçando e a mãe irritada acaba batendo nela. Maria continua bagunçando mas a mãe fica com dó e não bate nela. Maria para de bagunçar, mas a mãe já estava irritada e bate nela assim mesmo. Maria para de bagunçar e a mãe não bate nela.

49 Bicondicional (6) No caso da bicondicional a frase pode ser vista do seguinte ponto de vista: Se Maria bagunça, então sua mãe lhe bate e ... Se a mãe bate, então Maria continua bagunçando. Logo, a expressão só tem sentido verdadeiro se: Maria apanhou porque estava bagunçando. Maria não apanhou porque parou de bagunçar.

50 Bicondicional (7) Obs.: Se alguém disser:
“Eduardo fica alegre se, e somente se, Mariana sorri”. É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais: “Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica alegre”. Ou ainda, dito de outra forma: “Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre”. São construções do mesmo sentido!

51 Bicondicional (8) Exercício: Faça o bicondicional entre as proposições, denotando também formalmente as conjunções criadas (usando a simbologia já apresentada). p: Nove é diferente de cinco. q: Sete é menor que três. r : Quatro vezes cinco é vinte. s: Os cavalos são mamíferos. t: O Sol perde calor durante o inverno. Exemplo 17: p ↔ q. Nove é diferente de cinco SE, E SOMENTE SE, Sete é menor que três.

52 Bicondicional (9) Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição bicondicional “p se e somente se q” corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q. Ou seja, tem-se:

53 Negação (1) A negação é um operador lógico que tem como funcionalidade inverter o sentido (lógico) da proposição. Este operador é comumente denotado por: ¬ ,~, ou `. A operação é denotada por: ¬p (operador unário). Exemplo 18: p: Pedro comprou banana. ¬p: Pedro não comprou banana. q: Bruno é culpado. ¬q: Bruno não é culpado. Observe que: r : A garrafa é de plástico. s: A garrafa é de vidro.

54 Negação (2) ¬r não equivale a s. “A garrafa não é de plástico” significa que a garrafa pode ser de qualquer coisa, como por exemplo alumínio ou vidro, com exceção de plástico. Expressões em português equivalentes do conectivo de negação: Não p. É falso que p... . Não é verdade que p ... . Exemplo 19: p: Vai chover amanhã. ¬p: Não vai chover amanhã. ¬p: É falso que vai chover amanhã. ¬p: Não é verdade que vai chover amanhã.

55 Negação (3) Exemplo 20: p: Pedro é alto e magro.
¬p: Pedro não é alto ou magro. ¬p:É falso que Pedro seja alto e magro. ¬p: Não é verdade que Pedro seja alto e magro.

56 Negação (4) Exercício: Negue as seguintes proposições abaixo.
p: Nove é diferente de cinco. q: Sete é maior que três. r : Quatro vezes cinco é igual a vinte. s: O Brasil é hexacampeão mundial de futebol. t: Todo número é divisível por um. u: Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil. v: O Sol perde calor durante o inverno. Exemplo 21: ¬p Nove NÂO é diferente de cinco.

57 Tabela Verdade - TV As proposições (simples ou não) possuem valores lógicos (V ou F): As operações realizadas sobre as proposições também possuem valores lógicos. A Tabela Verdade – TV é uma ferramenta útil para avaliar o valor verdade resultante da aplicação dos operadores lógicos sobre as proposições: Ela mostra o resultado das operações lógicas, supondo diferentes valores verdade para as proposições componentes.

58 TV - Conjunção A conjunção é um conectivo lógico que relaciona duas proposições: O valor verdade da expressão p ∧ q depende do valor verdade das proposições p e q, isto é, o resultado da operação é Verdadeiro (V) somente se ambas proposições são verdadeiras.

59 TV - Disjunção A disjunção também é um conectivo lógico que relaciona duas proposições: Ao contrário da conjunção, para que a operação de disjunção resulte verdadeira, basta que ao menos uma (ou no mínimo uma) das duas proposições componentes analisadas tenha valor lógico Verdadeiro (V). Ou seja, o valor verdade V da expressão p ∨ q depende do valor verdade V de apenas uma das proposições p e q.

60 TV - Condicional O operador condicional tem como função descrever a conseqüência que uma proposição tem sobre outra proposição: Na condicional p → q, a proposição p é chamada antecedente e q de conseqüente. O valor verdade da operação condicional será Falso (F) somente quando o valor verdade do antecedente é Verdadeiro (V) e do o conseqüente é Falso (F).

61 TV – Bicondicional O operador bicondicional tem como função descrever a conseqüência que cada proposição exerce sobre a outra. Lê-se p ↔ q como: “p se, e somente se, q” ou “p é condição necessária e suficiente para q” ou ainda “se p, então q reciprocamente”; O valor verdade da operação bicondicional é Verdadeiro (V) quando ambas proposições possuem o mesmo valor verdade.

62 TV - Negação A negação tem a função de alterar o valor verdade de uma dada proposição: Sendo p uma proposição qualquer Se p tem valor verdade V, então ¬p tem valor verdade F. Se p tem valor verdade F, então ¬p tem valor verdade V. Exemplo 22: p: As pedras são seres vivos. (Valor Verdade F). ¬p: As pedras não são seres vivos. (Valor Verdade V).

63 TV – Disjunção Exclusiva (1)
A disjunção exclusiva também é um conectivo lógico que relaciona duas proposições: Este operador é denotado por p ∨ q ou p  q. Para que esta operação resulte em Verdadeiro (V), somente uma das proposições pode ser verdadeira (ou seja ter valor verdade V).

64 TV – Disjunção Exclusiva (2)
Considerando duas proposições p e q quaisquer, este operador produz resultado verdadeiro se: p é Verdadeiro E q é Falso, ou p é Falso E q é Verdade. Reescrevendo em símbolos lógicos: (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q). Exercício: Faça a tabela verdade da expressão (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) e compare com o resultado de p ∨ q.

65 TV - Resumo (1)

66 TV - Resumo (2)

67 Exercícios de Fixação (1)
. Considere as seguintes proposições: p: Carlos é bom aluno. q: Maria é bonita. Transcreva da lógica matemática para o português as seguintes proposições abaixo: p ∧ q p → q ¬p → q p ∧ ¬q ¬p ∨ q p ↔ q ¬¬q p ↔ ¬q

68 Exercícios de Fixação (2)
Transcreva do português para a lógica matemática: Se o cavalo estiver descansado, então o cavaleiro vencerá. O cavaleiro vencerá apenas se o cavalo estiver descansado e a armadura for forte. O cavaleiro vencerá se, e somente se, a armadura for forte. Se o cavalo estiver descansado ou a armadura for forte, então o cavaleiro vencerá. O cavalo estará descansado se, e somente se, a armadura for leve. Se o cavaleiro não perder, então o cavaleiro vencerá. O cavaleiro vencerá se a armadura for forte ou o cavalo estará descansado se a armadura for leve. O cavalo está cansado e o cavaleiro será derrotado.