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Eletricidade A - ENG04474 AULA VIII. Circuitos Capacitivos Capacitor carga armazenada, q, funçãoda tensão Capacitor é um bipolo onde a carga armazenada,

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1 Eletricidade A - ENG04474 AULA VIII

2 Circuitos Capacitivos Capacitor carga armazenada, q, funçãoda tensão Capacitor é um bipolo onde a carga armazenada, q, é uma função instantânea da tensão. Capacitor Linear q= C v Capacitor Linear - q= C v CcapacitânciaFarad (F) C é denominado capacitância e sua unidade é Farad (F) Não existe corrente atravessando o dielétrico A passagem de corrente de um terminal a outro do capacitor corresponde a uma variação de carga Não existe corrente atravessando o dielétrico.

3 Circuitos Capacitivos Capacitor Linearfunção f ( i, v )=0 Num Capacitor Linear, a função f ( i, v )=0 é dada por: (convenção passiva) Carregando um Capacitor com Fonte de Corrente Carregando um Capacitor com Fonte de Corrente + v(t) - i(t) C + Vc - C1 1uF I1 100mA Se o capacitor estiver descarregado em t=0 então v c (0)=0 t vcvc 1ms 100 V

4 Circuitos RC Carregando um Capacitor com Fonte de Tensão Carregando um Capacitor com Fonte de Tensão + Vc V1 10V R1 1k C1 1uF icicicic iriririr I1 Como V R1 =Vc então i r é igual a Vc/R 1 Se V1(t) for constante Se V1(t) for constante igual a V1 para t>0 e em t=0 Vc= v c (0) então: Regime Permanente Resposta para t= (Regime Permanente) Possui Mesma Natureza da Fonte Resposta Transitória Resposta Transitória ou Natural Depende da estrutura do circuito Equação Diferencial t vcvc v c (0) 0 V1 Reg. Perm Reg. Trans. icicicic

5 Circuitos RC Descarregando um Capacitor Descarregando um Capacitor Equação Diferencial Se V1(t) = 0constante Se V1(t) = 0 constante para t>t 0 e em t=t 0 Vc= v c (t 0 ) então: Regime Permanente Resposta para t= (Regime Permanente) Possui Mesma Natureza da Fonte Resposta Transitória Resposta Transitória ou Natural Depende da estrutura do circuito t vcvc v c (t 0 ) 0 Reg. Perm Reg. Trans. t0t0 + Vc V1 10V R1 1k C1 1uF icicicic V1(t>t 0 )= 0

6 Circuitos RC Carregando e Descarregando um Capacitor em um Circuito RC Carregando e Descarregando um Capacitor em um Circuito RC

7 Circuitos Capacitivos Potência no Capacitor Potência no Capacitor Capacitor Armazena Energia Elétrica O Capacitor Armazena Energia Elétrica No instante de tempo t o capacitor que encontra-se carregado com V volts armazena w Joules: No instante de tempo t o capacitor que encontra-se carregado com V volts armazena w Joules: Varia ao longo do tempo Em um momento pode ser positiva e em outro negativa A energia armazenada no capacitor também pode variar ao longo do tempo + v(t) - i(t) C Potência Instantânea

8 Circuitos Indutivos Indutor fluxo magnético concatenado,, função da corrente. Indutor é um bipolo onde o fluxo magnético concatenado,, é uma função instantânea da corrente. Indutor Linear - =L i Indutor Linear - =L i LindutânciaHenry (H) L é denominado indutância e sua unidade é Henry (H).

9 Circuitos Indutivos Indutor Linearfunção f ( i, v )=0 Num Indutor Linear, a função f ( i, v )=0 é dada por: (convenção passiva) Carregando um Indutor com Fonte de Tensão Carregando um Indutor com Fonte de Tensão iLiL Se o indutor estiver descarregado em t=0 então i L (0)=0 t iLiL 1ms 100 A + v(t) - i(t)

10 Circuitos RL Carregando um Indutor com Fonte de Corrente Carregando um Indutor com Fonte de Corrente + v R - +vL-+vL- iLiL Como i R1 = i L então v R é igual a i L.R 1 Se I1(t) for constante Se I1(t) for constante igual a I1 para t>0 e em t=0 i L = i L (0) então: Regime Permanente Resposta para t= (Regime Permanente) Possui Mesma Natureza da Fonte Resposta Transitória Resposta Transitória ou Natural Depende da estrutura do circuito Equação Diferencial iLiL t iLiL i L (0) 0 I1 Reg. Perm Reg. Trans.

11 Circuitos RL Descarregando um Indutor Descarregando um Indutor - --vLvL++--vLvL+++ iLiLiLiL Equação Diferencial Se I1(t) = 0constante Se I1(t) = 0 constante para t>t 0 e em t=t 0 i L = i L (t 0 ) então: Regime Permanente Resposta para t= (Regime Permanente) Possui Mesma Natureza da Fonte Resposta Transitória Resposta Transitória ou Natural Depende da estrutura do circuito t iLiL i L (t 0 ) 0 Reg. Perm Reg. Trans. t0t0 I1(t>t 0 )=0

12 Circuitos Indutivos Potência no Indutor Potência no Indutor Indutor Armazena Energia Elétrica O Indutor Armazena Energia Elétrica No instante de tempo t o indutor que encontra-se carregado com I ampères armazena w Joules: No instante de tempo t o indutor que encontra-se carregado com I ampères armazena w Joules: + v(t) - i(t) Varia ao longo do tempo Em um momento pode ser positiva e em outro negativa Potência Instantânea A energia armazenada no indutor também pode variar ao longo do tempo

13 Bipolos Equivalentes - Associação de Capacitores Capacitores Em Série Em paralelo i1i1i1i1 i2i2i2i2 inininin +v- + v v v n - i +v- i +v- i +v- i

14 Bipolos Equivalentes - Associação de Indutores Indutores Em Série Em Paralelo + v v v n - i +v- i1i1i1i1 i2i2i2i2 inininin +v- i +v- i +v- i

15 Equacionando Circuitos RLC São utilizados os mesmos métodos empregados para equacionar os circuitos resistivos Aplicação sistemática das Leis de Kirchhoff Técnicas de Redução de Circuitos Associações Série e Paralelo Transformações e Explosões de Fontes Teoremas de Thevenin e Norton Princípio da Superposição Método das Correntes de Malha Método das Tensões de Nó Com a adição de dispositivos com relações VxI que envolvem integral e derivada (capacitores e indutores) Exemplo (RL) (Método das Correntes de Malha): I R I + L dIdI dt – V1= 0 Resolvendo... Sempre chegaremos a uma Equação diferencial

16 Equacionando Circuitos RLC Exemplo (RL) Usando o Método das Correntes de Malha Algorítmico I(t) I(t) ( R + ??? ) = V1 L d() dt Operador derivada D L I(t) d() dt = L dI(t) dt I(t)R + = V1 L dI(t) dt A notação na forma de operadores será útil em circuitos maiores quando for necessário resolver sistemas de equações

17 Propriedades dos Operadores Derivada e Integral Produto de uma função do tempo ( fontes ) com o operador ou vice versa Produto de uma constante com o operador ou vice versa Produto entre os operadores Equacionando Circuitos RLC f(t)D = df(t) dt K d() dt K d() dt Df(t) = = = f(t) f(t) = dt f(t) () dt K () dt K =d()dt () dt = d() dt d() dt d 2 () dt 2 =D 2 D = D = 1 = 1 D () dt () dt = () dt =

18 Equacionando Circuitos RLC Exemplo (RL) (Método das tensões de Nó) A i1i1 i2i2 i3i3 Se V1 for independente do tempo Multiplicando ambos os lados por D

19 Equacionando Circuitos RLC Exemplo (RC) (Método das Tensões de Nó) A B i(t) Também se poderia ter simplificado o circuito a esquerda do capacitor, eliminando o Nó A, obtendo-se um sistema de 1 equação de Nó

20 Equacionando Circuitos RLC Exemplo (RL) (Método das Correntes de Malha) i 1 (t) i 2 (t) i 3 (t) i(t) i(t) = i 2 (t) Também se poderia ter simplificado o circuito a esquerda do indutor, eliminando a malha 1. obtendo- se assim um sistema de 1 equação de malha

21 Equacionando Circuitos RLC Exemplo (RLC) (Método das Correntes de Malha) i 1 (t) Derivando ambos os lados em relação ao tempo (multiplicar ambos os lados por D ) Re-arranjando e dividindo tudo por L Equação diferencial de 2ª ordem Se V1 for independente do tempo

22 Equacionando Circuitos RLC Possíveis soluções para uma Equação Diferencial de 2ª Ordem Homogênea Superamortecida 2 > 0 2 s1s2 2 > 0 2 s1 e s2 reais negativos A1A2 A1 e A2 são reais e dependem de i L (t 0 ) e v C (t 0 ) i (t) t Subamortecida 2 < 0 2 s1s2 2 < 0 2 s1 e s2 complexos conjugados B1B2 B1 e B2 são reais e dependem de i L (t 0 ) e v C (t 0 ) i (t) t Criticamente amortecida = 0 s1s2- = 0 s1 = s2 = - reais iguais D1D2 D1 e D2 são reais e dependem de i L (t 0 ) e v C (t 0 ) i (t) t


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