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Prof. Jorge Matrizes. Prof. Jorge Organizando e analisando dados O colégio Tales distribui, durante o ano letivo, 100 pontos por matéria. O quadro a seguir.

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1 Prof. Jorge Matrizes

2 Prof. Jorge Organizando e analisando dados O colégio Tales distribui, durante o ano letivo, 100 pontos por matéria. O quadro a seguir mostra os totais de pontos obtidos por Ana, Carlos e Pedro, em Matemática nos anos de 2006 e AnaCarlosPedro , ,578 Quadros como esses ajudam a organizar dados. Fica mais fácil analisá-los, combiná-los com outros.

3 Prof. Jorge Matrizes – Conceitos iniciais Foi o matemático inglês, James Joseph, Sylvester, quem usou pela primeira vez esta forma de trabalhar com um conjunto de informações, dispondo-as em linhas e colunas em uma tabela. A um quadro desse tipo, damos o nome de Matriz. Cada número que o constitui é um elemento da matriz. O quadro apresentado é uma matriz 2 x 3, isto é, possui 2 linhas e 3 colunas.

4 Prof. Jorge Representando matrizes Para nomear matrizes, usamos letras latinas maiúsculas. Seus elementos ficam dentro de parênteses ou colchetes. Exemplo ,5 7682, ,5 7685,278 ou A = A =

5 Prof. Jorge Representando matrizes Nossa matriz tem 2 linhas e 3 colunas. Dizemos que ela é do tipo 2 x 3 (dois por três) ou, simplesmente, uma matriz 2 x ,5 7682,578 A = 1ª linha 2ª linha 1ª coluna2ª coluna3ª coluna Nossa matriz é indicada por A 2x3.

6 Prof. Jorge Representando elementos de uma matriz De maneira geral, indicamos um elemento de uma matriz por uma letra minúscula, acompanhada de dois índices, que definem sua posição na matriz. Um elemento genérico da matriz A é indicado assim: a ij i indica a linha do elemento j indica a coluna do elemento

7 Prof. Jorge Representando elementos de uma matriz Na matriz A exemplificada, temos ,5 7682,578 A = a 11 = 80 a 12 = 75 a 13 = 72,5 a 21 = 76 a 22 = 82,5 a 23 = 78

8 Prof. Jorge Definição de Matriz Se m e n são dois números naturais positivos, chama-se matriz do tipo m x n todo quadro formado por m.n números reais, dispostos de forma ordenada em m linhas e n colunas. Uma matriz genérica A m x n pode ser representada assim: a mn...a m3 a m2 a m1... a 23 a a 2n a 22 a 21 a 1n a 12 a 11 A = De forma simplificada, temos A = [a ij ] m x n

9 Prof. Jorge Exemplo Na matriz A representada a seguir, cada elemento a ij indica a média, em Matemática, da turma i no bimestre j. Identificar o tipo de matriz e obter a média da turma 2 no 3.º bimestre e a média da turma 3 no 4.º bimestre. 6,28,397,4 87,38,76,5 7,28,16,97 A = A 3 x 2. a 23 = 8,7 a 34 = 7

10 Prof. Jorge Matriz definida por seu termo genérico

11 Prof. Jorge Matriz definida por seu termo genérico Uma matriz pode ser definida, indicando-se seu tipo e uma fórmula para o cálculo de cada elemento a ij, em função de i e j.

12 Prof. Jorge Exemplos Construir a matriz A = (a ij ) 3x2, em que a ij = 3i – j. a 32 a 31 a 22 a 21 a 12 a 11 A = a ij = 3i – j a 11 =3.1 – 1= 2 a 12 =3.1 – 2= 1 a 21 =3.2 – 1= 5 a 22 =3.2 – 2= 4 a 31 =3.3 – 1= 8 a 32 =3.3 – 2=

13 Prof. Jorge Exemplos Construir a matriz B = (b ij ) 2x2, tal que b 22 b 21 b 12 b 11 B = b 11 = = 3 b 12 =2 1 = 2 b 21 = = 5 b 22 = = B = b ij = 2i + j, se i j j i, se i < j

14 Prof. Jorge Igualdade de matrizes Dizemos que duas matrizes A e B são iguais só se eles são do mesmo tipo e cada elemento de uma delas é igual ao elemento de mesma posição da outra. Se alguma das condições anteriores falhar, dizemos que A e B são matrizes diferentes.

15 Prof. Jorge Exemplos Verificar se as matrizes A e B abaixo são iguais A = B = As matrizes são do mesmo tipo (3 x 2) e têm os mesmos elementos. Elas são diferentes pois os elementos 5 e 8 ocupam posições diferentes.

16 Prof. Jorge Exemplos Calcular x, y, z e t para que ocorra a igualdade. 2x2x –1 y x + z 5t – y = 2 x = 4 y + 1 = 5 x + z = –1 t – y = 3 2 x = 2 2 x = 2 y = z = –1 z = –3 t – 4 = 3 t = 7

17 Prof. Jorge Algumas matrizes especiais

18 Prof. Jorge Matriz Linha e matriz Coluna Uma matriz que tem apenas uma linha é chamada de matriz linha. Uma matriz que tem somente uma coluna é denominada de matriz coluna. Exemplos –125 É uma matriz linha 1 x É uma matriz coluna 2 x 1.

19 Prof. Jorge Matriz Transposta Veja como podemos apresentar os dados referente à tabela da introdução de matrizes. AnaCarlosPedro , , Ana8076 Carlos7582,5 Pedro72, ,5 7682,578 A = 7872,5 82, B =

20 Prof. Jorge Matriz Transposta Se A é uma matriz do tipo m x n, chama-se transposta de A (simbolicamente A t ), a matriz do tipo n x m, obtida de A, trocando-se de posição linhas com colunas, de forma que A = (a ij ) m x n A t = (a ji ) n x m 2–11 30–5 A = –51 0–1 32 A t =

21 Prof. Jorge Matriz Nula Uma matriz que tem os seus elementos iguais a zero é chamada matriz nula. Existe uma matriz nula de cada tipo. A matriz nula pode ser indicada por O m x n É uma matriz nula 2 x 3. O = É uma matriz nula 2 x 2.

22 Prof. Jorge Exemplo Encontre os valores de x e y, para que a matriz M abaixo seja nula. x 2 – 1x 2 – x – 2 x 2 – y 2 x + y M = x 2 – 1 = 0 x 2 – x – 2 = 0 x 2 – y 2 = 0 x + y = 0 x = ±1 x = –1 ou x = 2 x = –1 e y = 1 x = –y

23 Prof. Jorge Matriz Oposta Chama-se oposta de uma matriz A a matriz representada por –A, cujos elementos são os opostos dos elementos de mesma posição em A. 03 –25 A oposta da matriz A =, é a matriz –A = 0–3 2–5

24 Prof. Jorge Matrizes quadradas

25 Prof. Jorge Matriz quadrada Chama-se matriz quadrada toda matriz em que o número de linhas é igual ao de colunas. O número de linhas (ou colunas) é a ordem da matriz. 03 –25 30–3 72–5 140 é matriz quadrada de ordem 2. é matriz quadrada de ordem 3.

26 Prof. Jorge a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Matriz quadrada Numa matriz quadrada A =[a ij ], de ordem n, chama-se Diagonal principal o conjunto dos elementos a ij em que i = j; Diagonal secundária o conjunto dos elementos a ij em que i + j = n + 1; Diagonal secundária (i + j = 4) Diagonal principal (i = j)

27 Prof. Jorge Matriz Identidade Chama-se matriz identidade de ordem n a matriz quadrada indicada I n tal que. Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1; Todos os outros elementos são iguais a 0; é matriz identidade de ordem 2. é matriz identidade de ordem 3. I 2 = I 3 =

28 Prof. Jorge Matriz Diagonal Toda matriz quadrada em que todos os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero é chamada matriz diagonal. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos de sua diagonal principal. 30 0–5 ½ M = N = Traço de M é –2.Traço de N é 3/2.

29 Prof. Jorge Exemplo Calcule o traço da matriz quadrada A abaixo, sabendo que ela é matriz diagonal. x – 2yx – y + 6 x + 2yx + y A = x + 2y = 0 x – y + 6 = 0 x = –4 x + 2y = 0 2x – 2y + 12 = 0 x (2) + 3x + 12 = 0 e y = 2 O traço da matriz é: x – 2y + x + y= 2x – y = –10

30 Prof. Jorge Matriz Simétrica Toda matriz quadrada que é igual a sua transposta é chamada matriz simétrica. 1–35 2–1 5 6 N = A é simétrica A = A t Exemplo

31 Prof. Jorge Exemplo Obtenha m, n, e p, para que seja simétrica a matriz. 3m + n2 –115 m – 2np + 20 P = m + n = –1 m – 2n = 2 m + n = –1 m – 2n = 2 p + 2 = 5 2m + 2n = –2 m – 2n = 2 + 3m = 0 m = 0e n = –1 p = 3

32 Prof. Jorge Matriz Anti-Simétrica Toda matriz quadrada que é igual à oposta de sua transposta é chamada matriz anti-simétrica. 03–5 –30–1 510 N = A é anti-simétrica A = –A t Exemplo

33 Prof. Jorge Exemplo Complete a matriz para que ela seja anti- simétrica – Q = –5 –3

34 Prof. Jorge 31 0–5 Matriz triangular Toda matriz quadrada na qual são nulos todos os elementos situados num mesmo lado da diagonal principal. ½73 0– A = B = Exemplos

35 Prof. Jorge Operações elementares com Matrizes

36 Prof. Jorge Operações com Matrizes Em certos casos surge a necessidade de efetuar operações com matrizes. Adição; Subtração; Multiplicação de uma constante real por uma matriz; Multiplicação.

37 Prof. Jorge Adição de Matrizes Uma empresa fabrica dois produtos A e B, que podem ser acondicionados nas embalagens E 1, E 2 e E 3, com 12, 24 ou 30 unidades, respectivamente. Os quadros abaixo mostram os custos de fabricação do produto e da embalagem, em cada caso. AB E1E E2E E3E AB E1E1 23 E2E2 34 E3E3 46 Custo do produto (R$)Custo da embalagem (R$)

38 Prof. Jorge Adição de Matrizes O fabricante quer vender o produto com lucro de 50% sobre o custo do produto, mas não quer obter lucro no custo da embalagem. Qual será o preço de venda dos produtos A e B P = E = O preço de venda é obtido efetuando-se a operação: 1,5. P + E

39 Prof. Jorge Adição de Matrizes V = 1,5. P + E P = E = 1,5. P = 1,5.1601, , ,5.60 1, ,5.80 = ,5. P + E = =

40 Prof. Jorge Adição de Matrizes Veja como seriam os preços de venda dos dois produtos nas três possíveis embalagens. AB E1E E2E E3E Preço de venda (R$)

41 Prof. Jorge Adição de Matrizes Sendo A e B matrizes de mesmo tipo e k uma constante real, definem-se as seguintes operações: Adição de matrizes: A + B é a matriz em que cadaelemento é a soma dos elementos de mesmaposição em A e B. Subtração de matrizes: A – B = A + (–B), é a somade A com a oposta de B. Multiplicação de um número por uma matriz: kA éa matriz obtida multiplicando-se, por k, cada umdos elementos de A.

42 Prof. Jorge Exemplo Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I 2. – N =M = 3.M = –2 = –63 96 –2.M = –2.4–2.3 –2.0–2.2 = –40 –6–8

43 Prof. Jorge Exemplo Dada as matrizes abaixo obter a matriz 3M – 2N + I 2. – N =M = 3M –2N + I 2 = 3.M + (–2.N) + I 2 = –63 96 –40 –6– –13 3–9 = + + =

44 Prof. Jorge Equações matriciais

45 Prof. Jorge Exemplo Resolver a equação 3X – A = 2B, onde –50 –14 1–3 21 B =A = A matriz X deve ser do mesmo tipo de A e B. xy zt X = 3.X – A = 2B xy zt –50 –14 1– – = 2.

46 Prof. Jorge Exemplo 3.X – A = 2B 3x3y 3z3t 50 1–4 2– = 3t – 43z + 1 3y3x + 5 2–6 42 = 3x + 5 = 2 3y = –6 3z + 1 = 4 3t – 4 = 2 x = –1 y = –2 z = 1 t = 2 –1–2 12 X =

47 Prof. Jorge Exemplo Resolver a equação 3X – A = 2B, onde –50 –14 1–3 21 B =A = Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas. Veja. 3.X – A = 2B 3.X = A + 2B X = 1 3 A + 2B = –50 –14 2– = 63 –6–3 (A + 2B)

48 Prof. Jorge Exemplo Resolver a equação 3X – A = 2B, onde –50 –14 1–3 21 B =A = Equações como essa podem ser resolvidas, também, como se fossem equações algébricas. Veja. 3.X – A = 2B 3.X = A + 2B X = (A + 2B) 1 3 X = = –3– –2–1

49 Prof. Jorge Propriedades da adição de matrizes

50 Prof. Jorge Propriedades da adição de matrizes Suponha que A, B e C sejam matrizes de mesmo tipo e que O seja a matriz nula de mesmo tipo daquelas. Valem, para a adição, as seguintes propriedades: Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Comutativa: A + B = B + A Existência do elemento neutro, a matriz O, tal que A + O = O + A = A Existência do elemento oposto de A, a matriz –A tal que A + (–A) = O. (A + B) t = A t + B t

51 Prof. Jorge Multiplicação de matrizes

52 Prof. Jorge Multiplicação de Matrizes O colégio Tales e o colégio Platão distribuem em cada bimestre letivo, um total de 10 pontos por matéria. No entanto, os pesos em cada bimestre diferem nos dois colégios. Veja o quadro a seguir 1º B2º B3º B4º B Tales1234 Platão2233 Peso por bimestre em cada colégio

53 Prof. Jorge Multiplicação de Matrizes Dois alunos das duas escolas, que eram amigos, resolveram comparar a soma dos pontos obtidos em Matemática no seu colégio com a que teriam obtido, caso estudasse no outro colégio. AndréPedro 1º B69 2º B58 3º B76 4º B85 Nota de cada aluno por bimestre

54 Prof. Jorge Multiplicação de Matrizes Veja o total de pontos que cada um teria feito, estudando no colégio Tales. AndréPedro 1º B69 2º B58 3º B76 4º B85 1º B2º B3º B4º B Tales1234 Platão2233 André: = = 69 Pedro: = = 63

55 Prof. Jorge Multiplicação de Matrizes Veja o total de pontos que cada um teria feito, estudando no colégio Platão. AndréPedro 1º B69 2º B58 3º B76 4º B85 1º B2º B3º B4º B Tales1234 Platão2233 André: = = 67 Pedro: = = 67

56 Prof. Jorge Multiplicação de Matrizes O quadro a seguir sintetiza os resultados. AndréPedro Tales6963 Platão67 Pontos de cada aluno por colégio

57 Prof. Jorge Multiplicação de Matrizes Vemos escrever, agora, as matrizes A, B e C, associadas aos três quadros anteriores. Matriz dos pesos: A = Matriz das notas: B = Matriz dos pontos: C = c 12 = c 12 = c 12 = 63 C = A.B

58 Prof. Jorge Multiplicação de Matrizes - Definição Sob certas condições, definem-se a multiplicação de matrizes. Dadas duas matrizes A e B Existe o produto AB (ou A.B) se, e somente se, o número de colunas de A (1ª matriz) é igual ao número de linhas de B (2ª matriz); Existindo a matriz AB, ela tem o número de linhas de A (1ª matriz) e o número de colunas de B (2ª matriz).

59 Prof. Jorge A é matriz m x n Multiplicação de Matrizes - Definição Observe o esquema. B é matriz n x p iguais existe AB AB é do tipo m x p

60 Prof. Jorge Exemplos Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB. –310 24–2 –12 35 –26 B =A = A é matriz 2 x 3 B é matriz 3 x 2 iguais existe AB AB é do tipo 2 x 2 x 11 x 12 x 21 x 22 AB =

61 Prof. Jorge Exemplo Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB. –310 24–2 –12 35 –26 B =A = Cálculo de x 11 : x 11 = –3.(–1) (–2) = = 6 Cálculo de x 12 : x 12 = – = – = –1

62 Prof. Jorge Exemplo Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB. –310 24–2 –12 35 –26 B =A = Cálculo de x 21 : x 21 = 2.(–1) (–2).(–2) = – = 14 Cálculo de x 22 : x 22 = –2.6 = – 12= 12

63 Prof. Jorge Exemplo Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB. –310 24–2 –12 35 –26 B =A = Conclusão: x 11 x 12 x 21 x 22 AB = 6– =

64 Prof. Jorge Observação Observe que no caso das matrizes A 2x3 e B 3x2 do exemplo anterior, existe o produto BA que é do tipo 3 x 3. Ainda que, em certos casos, tanto AB como BA sejam definidos, em geral AB BA. Se existirem tanto AB quanto BA e, além disso, AB = BA, dizemos que A e B comutam. Se A é uma matriz quadrada, existe o produto AA, que também pode ser indicado por A 2.

65 Prof. Jorge Propriedades da multiplicação de matrizes

66 Prof. Jorge Propriedades da multiplicação de matrizes Suponha que A, B e C sejam matrizes de mesmo tipo e que O seja a matriz nula de mesmo tipo daquelas. Valem, para a adição, as seguintes propriedades: Associativa: A(BC) = A(BC) Distributiva: A(B + C) = AB +AC e (B + C)A = BA + CA Seja A m x n, A.I n = I m.A (AB) t = B t.A t

67 Prof. Jorge Equações que envolvem produto de matizes

68 Prof. Jorge Exemplo Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação matricial AX = B. 2– B =A = Vamos analisar primeiro de que tipo é a matriz X. A é matriz 2 x 2 X é matriz m x n existe AX m = 2 AX é do tipo 2 x n x y AX 2 x n = B 2 x 1 n = 1 X =

69 Prof. Jorge 2x – y = 5 x + y = 4 Exemplo Dado as matrizes A e B abaixo, resolver a equação matricial AX = B. 2– B =A = x y AX = B. 2– = x + y 2x – y 4 5 = x = 3 y = X =

70 Prof. Jorge Inversa de uma matriz quadrada

71 Prof. Jorge Inversa de uma matriz quadrada Dadas as matrizes A e B abaixo, vamos obter os produtos AB e BA. AB = A = 3–1 –21 B = –1 –21. = –2 + 3 – – 6 3 – 2 = BA = 3–1 – = – – 3 – – 2 = Note que AB = BA = I 2, matriz identidade de ordem 2.

72 Prof. Jorge Inversa de uma matriz quadrada AB = BA = I 2, matriz identidade de ordem 2. Dizemos que: A é a inversa de B (A = B –1 ); B é a inversa de A (B = A –1 ).

73 Prof. Jorge Inversa de uma matriz quadrada Dizemos que uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertível se, e somente se, existir uma matriz B tal que AB = BA = I n. No caso a matriz B é chamada de inversa de A e é representada por A –1. Portanto AA –1 = A –1 A = I n

74 Prof. Jorge Exemplo Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e obter sua inversa. 2–5 1–3 A = Caso exista, A –1 ela será de ordem 2. ab cd A –1 = AA –1 = I 2 2–5 1–3. ab cd = b – 3d 2b – 5d a – 3c 2a – 5c = 10 01

75 Prof. Jorge Exemplo Mostrar que a matriz A abaixo é invertível e obter sua inversa. 2–5 1–3 A = Resolvendo os sistemas encontramos a = 3, b = –5, c = 1 e d = –2. Logo 2a – 5c = 1 a – 3c = 0 e 2b – 5d = 0 b – 3d = 1 ab cd A –1 = 3–5 1–2 =


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