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Prof. Jorge Módulo de um número real. Prof. Jorge Simétrico de um número real Se x é um número real, o simétrico de x é –x. Veja alguns valores reais.

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1 Prof. Jorge Módulo de um número real

2 Prof. Jorge Simétrico de um número real Se x é um número real, o simétrico de x é –x. Veja alguns valores reais arbitrários de x e os respectivos simétricos –x. –3 + π 3 – π 3–50–x –350x O simétrico de 0 é o próprio 0. Nos outros casos, de dois números simétricos, sempre um é positivo e o outro é negativo. 2 – 1 –2 + 1

3 Prof. Jorge Exemplos Qual é o único real igual ao seu simétrico? É verdade que –x é um real negativo? Pode –x ser positivo? Para isso, qual deve ser o sinal de x? Qual número é maior: x ou –x? Complete com os sinais =, > ou <. x = 0 –x x > 0 –x x < 0 –x O real 0. Falso. Pode. x < 0. Depende do sinal de x. = < >

4 Prof. Jorge OABCABC 12 7/2 –1–2 –7/2 0 Simétrico de um número real Na reta real, dois números simétricos estão a uma mesma distância da origem. Mas em lados opostos relativamente a ela. x OA = OA = 1 OB = OB = 2 OC = OC = 7/2

5 Prof. Jorge OP x 0 Módulo de um número real Se P é um ponto da reta real e representa o número real x, a distância de P até a origem é chamada de módulo ou valor absoluto de x. Indicamos o módulo de x colocando-o entre duas barras. |x| OP = |x| |x| é o número não-negativo escolhido entre x e o seu simétrico –x.

6 Prof. Jorge B 3 A 2 O 0–π–π B –5 Exemplos Na reta real, marcamos os pontos O, A, B, C e D, com suas respectivas abscissas. Determine: |0|, |2|, |–5|,|–π| e |3|. x B |0| = 0 |2| = 2 |–5| = 5 |–π|= π |3| = 3

7 Prof. Jorge Definição de módulo de um número real De tudo que vimos a respeito de módulo, podemos estabelecer algumas regras gerais: O módulo de 0 é 0; O módulo de um número positivo é o próprio número; O módulo de um número negativo é o simétrico dele, que é positivo. Em símbolos, se x R, podemos definir: |x|= x, se x 0 –x, se x 0 |x| 0

8 Prof. Jorge Exemplos Calcule os seguintes módulos: |8|, |–3|,|π – 4|, |5 – 2|, |π – 3| e |33 – 5|. |8| |–3| |π – 4| = 4 – π |π – 3| |5 – 2| |33 – 5| = 8 = 3 = –π + 4 = 5 – 2 = π – 3 = 33 – 5

9 Prof. Jorge Exemplos É verdade que |–x| = x, qualquer que seja o valor de x? |–x| = x, apenas para x 0. Não.

10 Prof. Jorge Observações Na definição de módulo, podemos substituir x por uma expressão algébrica qualquer. Veja. |x|= x, se x 0 –x, se x 0 |x – 3|= x – 3, se x – 3 0 –(x – 3), se x – 3 0 |x – 3|= x – 3, se x 3 –x + 3, se x 3

11 Prof. Jorge Observações Na definição de módulo, podemos substituir x por uma expressão algébrica qualquer. Veja. |x|= x, se x 0 –x, se x 0 |x 2 + x – 6|= x 2 + x – 6, se x 2 + x – 6 0 –(x 2 + x – 6), se x 2 + x – 6 0 |x 2 + x – 6|= x 2 + x – 6, se x –3 ou x 2 –x 2 – x + 6, se –3 x 2

12 Prof. Jorge Observações Pode-se definir o módulo de um número real x, também, da seguinte maneira:. Exemplos (–5) 2 (3 – π) 2 = |–5| = |3 – π| = π – 3 = 5

13 Prof. Jorge Observações Pode-se definir o módulo de um número real x, também, da seguinte maneira:. Exemplos (x + 2) 2 x + 2, se x –(x + 2), se x = |x + 2| = |x + 2|= x + 2, se x –2 –x – 2, se x –2

14 Prof. Jorge Observações |–x|=|x|, para todo x real. |x| 0, para todo x real. |x| 2 = x 2, para todo x real. |x| = |y| x = y ou x = –y.

15 Prof. Jorge Propriedades do módulo

16 Prof. Jorge 4 0 –4 Propriedades Na reta real, destacamos os números reais –4 e 4 e os intervalos que eles delimitam. Também destacamos a origem, associada ao 0. x Que pontos da reta estão à distância 4 da origem? Que números têm módulo 4? Qual a solução da equação |x| = 4? |x| = 4 x = 4 ou x = –4

17 Prof. Jorge 4 0 –4 Propriedades Na reta real, destacamos os números reais –4 e 4 e os intervalos que eles delimitam. Também destacamos a origem, associada ao 0. x Que pontos da reta estão à distância menor que 4 da origem? Que números têm módulo menor que 4? Qual a solução da inequação |x| < 4? |x| < 4 –4 < x < 4

18 Prof. Jorge 4 0 –4 Propriedades Na reta real, destacamos os números reais –4 e 4 e os intervalos que eles delimitam. Também destacamos a origem, associada ao 0. x Que pontos da reta estão à distância maior que 4 da origem? Que números têm módulo maior que 4? Qual a solução da inequação |x| > 4? |x| > 4 x 4

19 Prof. Jorge Propriedades Pela definição de módulo, dois números só podem ter módulos iguais em dois casos: se forem iguais ou forem simétricos. Em símbolos, |x|= |y| x = y ou x = –y P1.

20 Prof. Jorge Propriedades Na reta real, destacamos os números reais –k e k e os intervalos que eles delimitam. k 0 –k x |x|< k |x|> k|x|> k |x|= k |x| = k x = k ou x = –k |x| < k –k < x < k |x| > k x k P2. P3. P4.

21 Prof. Jorge Equações e inequações modulares

22 Prof. Jorge Equações e inequações modulares São aquelas em que a incógnita aparece dentro do módulo. Sua resolução se baseia nas quatro propriedade vistas anteriormente. |x|= |y| x = y ou x = –y P1. |x| = k x = k ou x = –k P2. |x| < k –k < x < k P3. |x| > k x k P4.

23 Prof. Jorge Exemplos Resolver as equações modulares? a)|x – 5| = 0 x – 5 = 0 x – 5 = 0 x = 5 S = { 5 }

24 Prof. Jorge Exemplos Resolver as equações modulares? b)|2x – 5| = 7 2x – 5 = 7 ou 2x – 5 = –7 2x = 12 ou 2x = –2 x = 6ou x = –1 S = { –1, 6 }

25 Prof. Jorge Exemplos Resolver as equações modulares? c)|x + 2| = |2x + 1| x + 2 = 2x + 1 ou x + 2 = –(2x + 1) x – 2x = 1 – 2 ou x + 2x = –1 – 2 – x = – 1ou 3x = –3 S = { –1, 1 } x = 1ou x = –1

26 Prof. Jorge Exemplos Resolver as equações modulares? d)|x + 2| = 3x – 6 x + 2 = 3x – 6 ou x + 2 = –(3x – 6) x – 3x = – 6 – 2 ou x + 3x = 6 – 2 Condição inicial: a equação só é possível para 3x – x 6 x 2 –2x = – 8 ou 4x = 4 x = 4 ou x = 1 S = { 4 }

27 Prof. Jorge Exemplos Resolver as inequações modulares? a)|2 – 3x| < 1 – 1 < 2 – 3x e 2 – 3x < 1 3x < 3 e –3x < – 1 x < 1 e x > 1/3 S = { x R / 1/3 < x < 1 } –1 < 2 – 3x < 1

28 Prof. Jorge Exemplos Resolver as inequações modulares? b)|x 2 – x – 1| 1 x 2 – x – 1 – 1 ou S = { x R / x – 1 ou 0 x 1 ou x 2 } x 2 – x – 1 1 x 2 – x 0 ou x 2 – x – x 1 ou x – 1 ou x 2

29 Prof. Jorge Funções modulares Funções em que a variável aparece dentro de módulo. Construímos o seu gráfico a partir da definição de módulo.

30 Prof. Jorge Funções modulares A função y = f(x) = |x| é chamada função módulo. Seu gráfico é a união das bissetrizes do 1.º e 2.º quadrantes. x, se x 0 –x, se x 0 f(x) =|x|= (1) (2) yx x 0 –11 00 yx x 0 x y D = R Im = R + 1–1234–2–3– y = xy = –x

31 Prof. Jorge Exemplos Construir o gráfico de f(x) = |x – 1|. x – 1, se x 1 –x + 1, se x 1 f(x) =|x – 1|= (1)(1) (2)(2) yx x yx x 1 x y O 1 y = x – y = –x +1

32 Prof. Jorge Exemplos Construir o gráfico de f(x) = |x + 1|. x + 1, se x – 1 –x – 1, se x – 1 f(x) =|x + 1|= (1)(1) (2)(2) 10 0–1 yx x – 1 1–2 0–1 yx x – 1 x y O y = x + 1 –2 1 y = –x – 1 –1

33 Prof. Jorge x, se x 0 –x, se x 0 Exemplos Construir o gráfico de f(x) = |x|+ 1. |x|= Por definição, Somando 1 nos dois membros, x + 1, se x 0 –x + 1, se x 0 f(x) = |x|+ 1 =

34 Prof. Jorge Exemplos Construir o gráfico de f(x) = |x|+ 1. x + 1, se x 0 –x + 1, se x 0 f(x) =|x|+ 1 = (1)(1) (2)(2) yx x 0 2–1 10 yx x 0 x y O y = x y = –x + 1 –1 2

35 Prof. Jorge x – 2, se x 2 –x + 2, se x 2 Exemplos Construir o gráfico de f(x) = |x – 2|– 1. |x – 2|= Por definição, Subtraindo 1 nos dois membros, (x – 2) – 1, se x 2 (–x + 2) – 1, se x 2 |x – 2|– 1 = x – 3, se x 2 –x + 1, se x 2 f(x) =|x – 2|– 1 =

36 Prof. Jorge Exemplos Construir o gráfico de f(x) = |x – 2|– 1. x – 3, se x 2 –x + 1, se x 2 f(x) =|x – 2|– 1 = (1)(1) (2)(2) 03 –12 yx x 2 01 –12 yx x 2 x y O 3 1 y = x – 3 2 –1 1 y = –x +1

37 Prof. Jorge Funções modulares gráficos

38 Prof. Jorge x y 1 1– –2–3–4 –1 –2 –3 Obtendo gráficos a partir do gráfico da função f(x) =|x| f(x) =|x| g(x) =|x|+ 1 h(x) =|x|– 2 i(x) =|x + 2| j(x) =|x – 2| k(x) =|x + 2| – 2 p(x) =|x – 2| + 1

39 Prof. Jorge Exemplos A figura mostra o gráfico da função f(x) = x 2 – 4x + 3. A partir dele, construir o gráfico da função g(x) = |f(x)|. g(x) = |x 2 – 4x + 3| x y 1 1– –2–3–4 –1 –2 –3

40 Prof. Jorge Exemplos A figura mostra o gráfico de função real f. A partir dele, obter o gráfico da função g(x) = |f(x)|. x y 1 1– –2–3–4 –1 –2 –3


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