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Módulo de um número real

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Apresentação em tema: "Módulo de um número real"— Transcrição da apresentação:

1 Módulo de um número real

2 Simétrico de um número real
Se x é um número real, o simétrico de x é –x. Veja alguns valores reais arbitrários de x e os respectivos simétricos –x. x 5 –3 3 – π √2 – 1 –x –5 3 –3 + π –√2 + 1 O simétrico de 0 é o próprio 0. Nos outros casos, de dois números simétricos, sempre um é positivo e o outro é negativo.

3 Exemplos Qual é o único real igual ao seu simétrico?
É verdade que –x é um real negativo? Pode –x ser positivo? Para isso, qual deve ser o sinal de x? Qual número é maior: x ou –x? Complete com os sinais =, > ou <. x = 0 ⇒ –x x > 0 ⇒ –x x < 0 ⇒ –x O real 0. Falso. Pode. x < 0. Depende do sinal de x. = < >

4 Simétrico de um número real
Na reta real, dois números simétricos estão a uma mesma distância da origem. Mas em lados opostos relativamente a ela. C’ B’ A’ O A B C x –2 –1 1 2 –7/2 7/2 OA = OA’ = 1 OB = OB’ = 2 OC = OC’ = 7/2

5 Módulo de um número real
Se P é um ponto da reta real e representa o número real x, a distância de P até a origem é chamada de módulo ou valor absoluto de x. Indicamos o módulo de x colocando-o entre duas barras. |x| O P OP = |x| x |x| é o número não-negativo escolhido entre x e o seu simétrico –x.

6 Exemplos Na reta real, marcamos os pontos O, A, B, C e D, com suas respectivas abscissas. Determine: |0|, |2|, |–5|,|–π| e |√3|. B B’ O A B x –5 –π 2 √3 |0| = 0 |–5| = 5 |√3| = √3 |2| = 2 |–π|= π

7 Definição de módulo de um número real
De tudo que vimos a respeito de módulo, podemos estabelecer algumas regras gerais: O módulo de 0 é 0; O módulo de um número positivo é o próprio número; O módulo de um número negativo é o simétrico dele, que é positivo. Em símbolos, se x ∊ R, podemos definir: x, se x ≥ 0 |x|= |x|≥ 0 –x, se x ≤ 0

8 Exemplos Calcule os seguintes módulos:
|8| = 8 |–3| = 3 |π – 4| = –π + 4 = 4 – π |√5 – 2| = √5 – 2 |π – 3| = π – 3 |3√3 – 5| = 3√3 – 5

9 Exemplos É verdade que |–x| = x, qualquer que seja o valor de x? Não.
|–x| = x, apenas para x ≥ 0.

10 Observações Na definição de módulo, podemos substituir x por uma expressão algébrica qualquer. Veja. x, se x ≥ 0 |x|= –x, se x ≤ 0 x – 3, se x – 3 ≥ 0 |x – 3|= –(x – 3), se x – 3 ≤ 0 x – 3, se x ≥ 3 |x – 3|= –x + 3, se x ≤ 3

11 Observações Na definição de módulo, podemos substituir x por uma expressão algébrica qualquer. Veja. x, se x ≥ 0 |x|= –x, se x ≤ 0 x2 + x – 6, se x2 + x – 6 ≥ 0 |x2 + x – 6|= –(x2 + x – 6), se x2 + x – 6 ≤ 0 x2 + x – 6, se x ≤ –3 ou x ≥ 2 |x2 + x – 6|= –x2 – x + 6, se –3 ≤ x ≤ 2

12 Observações Pode-se definir o módulo de um número real x, também, da seguinte maneira:. Exemplos √(–5)2 = |–5| = 5 √(3 – π)2 = |3 – π| = π – 3

13 Observações Pode-se definir o módulo de um número real x, também, da seguinte maneira:. Exemplos x + 2, se x + 2 ≥ 0 √(x + 2)2 = |x + 2| = –(x + 2), se x + 2 ≤ 0 x + 2, se x ≥ –2 |x + 2|= –x – 2, se x ≤ –2

14 Observações |–x|=|x|, para todo x real. |x| ≥ 0, para todo x real.
|x| = |y| ⇔ x = y ou x = –y.

15 Propriedades do módulo

16 Propriedades Na reta real, destacamos os números reais –4 e 4 e os intervalos que eles delimitam. Também destacamos a origem, associada ao 0. x –4 4 Que pontos da reta estão à distância 4 da origem? Que números têm módulo 4? Qual a solução da equação |x| = 4? |x|= 4 ⇔ x = 4 ou x = –4

17 Propriedades Na reta real, destacamos os números reais –4 e 4 e os intervalos que eles delimitam. Também destacamos a origem, associada ao 0. x –4 4 Que pontos da reta estão à distância menor que 4 da origem? Que números têm módulo menor que 4? Qual a solução da inequação |x| < 4? |x|< 4 ⇔ –4 < x < 4

18 |x|> 4 ⇔ x < –4 ou x > 4
Propriedades Na reta real, destacamos os números reais –4 e 4 e os intervalos que eles delimitam. Também destacamos a origem, associada ao 0. x –4 4 Que pontos da reta estão à distância maior que 4 da origem? Que números têm módulo maior que 4? Qual a solução da inequação |x| > 4? |x|> 4 ⇔ x < –4 ou x > 4

19 Propriedades Pela definição de módulo, dois números só podem ter módulos iguais em dois casos: se forem iguais ou forem simétricos. Em símbolos, P1. |x|= |y| ⇔ x = y ou x = –y

20 |x|< k ⇔ –k < x < k |x|> k ⇔ x < –k ou x > k
Propriedades Na reta real, destacamos os números reais –k e k e os intervalos que eles delimitam. |x|< k |x|> k |x|> k x –k k |x|= k |x|= k ⇔ x = k ou x = –k P2. |x|< k ⇔ –k < x < k P3. P4. |x|> k ⇔ x < –k ou x > k

21 Equações e inequações modulares

22 Equações e inequações modulares
São aquelas em que a incógnita aparece dentro do módulo. Sua resolução se baseia nas quatro propriedade vistas anteriormente. P1. |x|= |y| ⇔ x = y ou x = –y |x|= k ⇔ x = k ou x = –k P2. |x|< k ⇔ –k < x < k P3. P4. |x|> k ⇔ x < –k ou x > k

23 Exemplos Resolver as equações modulares? a)|x – 5| = 0 x – 5 = 0

24 Exemplos Resolver as equações modulares? b)|2x – 5| = 7 ⇒ ⇒ ⇒
2x – 5 = 7 ou 2x = ou 2x – 5 = –7 2x = –2 x = 6 ou x = –1 S = { –1, 6 }

25 Exemplos Resolver as equações modulares? c)|x + 2| = |2x + 1| ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
x + 2 = 2x ou x – 2x = 1 – ou x + 2 = –(2x + 1) x + 2x = –1 – 2 – x = – 1 ou x = 1 ou 3x = –3 x = –1 S = { –1, 1 }

26 Exemplos Resolver as equações modulares? d)|x + 2| = 3x – 6 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Condição inicial: a equação só é possível para 3x – 6 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ 6 ⇒ x ≥ 2 x + 2 = 3x – 6 ou x – 3x = – 6 – ou x + 2 = –(3x – 6) x + 3x = 6 – 2 –2x = – 8 ou x = 4 ou S = { 4 } 4x = 4 x = 1

27 Exemplos Resolver as inequações modulares? a)|2 – 3x| < 1
2 – 3x < 1 –3x < – 1 x < 1 e x > 1/3 S = { x ∊ R / 1/3 < x < 1 }

28 Exemplos Resolver as inequações modulares? b)|x2 – x – 1| ≥ 1 ⇒ ⇒ ⇒
x2 – x – 1 ≤ – ou x2 – x ≤ ou x2 – x – 1 ≥ 1 x2 – x – 2 ≥ 0 0 ≤ x ≤ ou x ≤ – 1 ou x ≥ 2 S = { x ∊ R / x ≤ – 1 ou 0 ≤ x ≤ 1 ou x ≥ 2 }

29 Funções modulares Funções em que a variável aparece dentro de módulo.
Construímos o seu gráfico a partir da definição de módulo.

30 Funções modulares A função y = f(x) = |x| é chamada função módulo. Seu gráfico é a união das bissetrizes do 1.º e 2.º quadrantes. x, se x ≥ 0 (1) f(x) =|x|= y –x, se x ≤ 0 (2) y = –x y = x 4 3 x ≥ 0 x ≤ 0 2 1 x y x y –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x 1 1 1 –1 D = R Im = R+

31 Exemplos Construir o gráfico de f(x) = |x – 1|. x – 1, se x ≥ 1 (1)
(2) y x ≥ 1 x ≤ 1 y = –x +1 y = x – 1 x y x y 1 1 1 2 1 1 O 1 2 x

32 Exemplos Construir o gráfico de f(x) = |x + 1|. x + 1, se x ≥ – 1 (1)
(2) y x ≥ – 1 x ≤ – 1 y = –x – 1 y = x + 1 x y x y –1 –1 1 1 –2 1 –2 –1 O x

33 Exemplos Construir o gráfico de f(x) = |x|+ 1. x, se x ≥ 0
Por definição, |x|= –x, se x ≤ 0 Somando 1 nos dois membros, x + 1, se x ≥ 0 f(x) = |x|+ 1 = –x + 1, se x ≤ 0

34 Exemplos Construir o gráfico de f(x) = |x|+ 1. x + 1, se x ≥ 0 (1)
(2) y x ≥ 0 x ≤ 0 y = –x + 1 y = x + 1 x y x y 1 1 2 1 2 –1 2 1 –1 O 1 x

35 Exemplos Construir o gráfico de f(x) = |x – 2|– 1. x – 2, se x ≥ 2
Por definição, |x – 2|= –x + 2, se x ≤ 2 Subtraindo 1 nos dois membros, (x – 2) – 1, se x ≥ 2 |x – 2|– 1 = (–x + 2) – 1, se x ≤ 2 x – 3, se x ≥ 2 f(x) =|x – 2|– 1 = –x + 1, se x ≤ 2

36 Exemplos Construir o gráfico de f(x) = |x – 2|– 1. x – 3, se x ≥ 2 (1)
(2) –x + 1, se x ≤ 2 y x ≥ 2 x ≤ 2 y = –x +1 y = x – 3 x y x y 1 2 –1 2 –1 2 3 1 O 1 3 x –1

37 Funções modulares gráficos

38 Obtendo gráficos a partir do gráfico da função f(x) =|x|
y g(x) =|x|+ 1 4 3 h(x) =|x|– 2 2 i(x) =|x + 2| 1 x j(x) =|x – 2| –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –1 k(x) =|x + 2| – 2 –2 –3 p(x) =|x – 2| + 1

39 Exemplos A figura mostra o gráfico da função f(x) = x2 – 4x + 3. A partir dele, construir o gráfico da função g(x) = |f(x)|. g(x) = |x2 – 4x + 3| y 4 3 2 1 x –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –1 –2 –3

40 Exemplos A figura mostra o gráfico de função real f. A partir dele, obter o gráfico da função g(x) = |f(x)|. y 4 3 2 1 x –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 –1 –2 –3


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