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Prof. Jorge Determinantes. Prof. Jorge Determinante de uma matriz quadrada A toda matriz quadrada A está associado um número real, chamado determinante.

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1 Prof. Jorge Determinantes

2 Prof. Jorge Determinante de uma matriz quadrada A toda matriz quadrada A está associado um número real, chamado determinante de A. Ele é obtido por meio de certas operações com os elementos da matriz. O determinante de uma matriz A pode ser indicado por det A ou, ainda, substituído-se os parênteses ou colchetes da matriz por barras.

3 Prof. Jorge Exemplo O determinante da matriz P abaixo pode ser indicado –50 –14 P = Por det P; –50 –14

4 Prof. Jorge Determinantes de 1ª e 2ª ordem O determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem (matriz 1 x 1) é igual ao valor de seu único elemento. Exemplo 2 det A = 2 A = A = [a 11 ] det A = a 11

5 Prof. Jorge Determinantes de 1ª e 2ª ordem O determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem (matriz 2 x 2) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, menos o produto dos elementos da diagonal secundária. a 11 a 12 a 21 a 22 =a 11. a 22 – a 12. a 21

6 Prof. Jorge Exemplos Calcule o determinante das matrizes M e N abaixo M = –50 –14 N = Det M = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15= –13 –50 –14 Det N = = (–5).4 – 0.(–1) = –20

7 Prof. Jorge Exemplos Resolver a equação x2 xx + 1 = 2. x2 x = x.(x + 1) – 2.x = x 2 + x – 2x= x 2 – x x 2 – x = 2 x 2 – x – 2 = 0 x = –1 ou x = 2

8 Prof. Jorge Determinantes de 3ª ordem Para calcular determinantes de 3ª ordem, usamos um dispositivo chamado Regra de Sarrus. Veja os passos a serem seguidos, em que tomamos um determinante de uma matriz genérica A. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A =

9 Prof. Jorge Determinantes de 3ª ordem a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 Det A = M = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 13.a 21.a 32 – a 13.a 22.a 31 – a 11.a 23.a 32 – a 12.a 21.a 33

10 Prof. Jorge 1– –213 Exemplos Calcule o determinante da matriz A abaixo. A = 1– –213 1–3 42 – (–3).0.(–2) = = 14 –[2.2.(–2)] –[1.0.1]–[(–3).4.3] = 8 – = 44 Det A = = 58

11 Prof. Jorge x23 –1x4 –301 Exemplos Encontrar os valores de x que anulam o determinante x23 –1x4 –301 x2 –1x –30 x.x (–3) + 3.( – 1).0= x 2 – 24 –[3.x.(–3)] –[x.4.0]–[2.(–1).1] = 9x + 2 Det A = x 2 + 9x – 22 x 2 + 9x – 22 = 0 x = –11 ou x = 2

12 Prof. Jorge Determinantes de matrizes n x n

13 Prof. Jorge Matriz reduzida Dada uma matriz quadrada A, de ordem n 2, chama-se matriz reduzida de A pelo elemento a ij à matriz de ordem n–1 que se obtém de A suprimindo sua linha i e sua coluna j. Indicaremos a matriz reduzida de A pelo elemento a ij com B ij. O determinante da matriz reduzida é chamado de menor complementar.

14 Prof. Jorge Exemplo Considerando a matriz A abaixo, obter as matrizes reduzidas de A pelos elemento a 21 e a 13. A = B 21 = – B 13 = 321 –25–7 1082

15 Prof. Jorge Co-fator de um elemento de uma matriz Numa matriz quadrada A, de ordem n2, chama-se co-fator do elemento a ij (simbolicamente A ij ) o número real definido por A ij = (–1) i+j.det B ij. Obs.: B ij é a matriz reduzida de A pelo elemento a ij.

16 Prof. Jorge Exemplo Considerando a matriz A abaixo, calcular A 13, co- fator do elemento a 13 e A 23, co-fator do elemento a 23. A = A ij = (–1) i + j. Det B ij A 13 = (–1) Det B B 13 = A 13 = (–1) 4. (24 – 4) = 1. 20=

17 Prof. Jorge Exemplo Considerando a matriz A abaixo, calcular A 13, co- fator do elemento a 13 e A 23, co-fator do elemento a 23. A = A ij = (–1) i + j. Det B ij A 23 = (–1) Det B B 23 = A 13 = (–1) 5. (16 – 10) = (–1). 6= –

18 Prof. Jorge Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n 2, é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores.

19 Prof. Jorge 1340 – Exemplo Calcular, utilizando o teorema de Laplace, o determinante da matriz A = Det A = a 12.A 12 + a 22.A 22 + a 32.A 32 + a 42.A 42 Det A = 3.A A A A 42 Det A = 3.A A 42

20 Prof. Jorge Exemplo Calcular, utilizando o teorema de Laplace, o determinante da matriz A = Cálculo de A 12 : A 12 = (–1) Det B 12 – B 12 = A 12 = (–1) = (–1). 10= – –

21 Prof. Jorge Exemplo Calcular, utilizando o teorema de Laplace, o determinante da matriz A = Cálculo de A 42 : A 42 = (–1) Det B – B 42 = A 42 = (–1) = –

22 Prof. Jorge Exemplo Calcular, utilizando o teorema de Laplace, o determinante da matriz A = Det A = a 12.A 12 + a 22.A 22 + a 32.A 32 + a 42.A – Det A = 3.A A 42 Det A = 3.(–10) = 32

23 Prof. Jorge Matriz Inversa

24 Prof. Jorge Matriz inversa - Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A inversa de A existe se, e somente se, det A 0. A inversa da matriz A (caso exista) é dada por A –1 = 1 det A. [cof A] t [cof A] = matriz dos cofatores de A, também chamada de matriz adjunta de A.

25 Prof. Jorge 2–5 1–3 Exemplo Determine a inversa da matriz A abaixo. A = Vamos obter o co-fator de cada elemento de A. A 11 = (–1) Det [–3] A 11 = –3 A 12 = (–1) Det [1] A 12 = –1 A 21 = (–1) Det [–5] A 21 = 5 A 22 = (–1) Det [2] A 22 = 2 cof A = –3–1 52

26 Prof. Jorge 2–5 1–3 Exemplo Determine a inversa da matriz A abaixo. A = A inversa da matriz A é obtida assim A –1 = 1 det A. [cof A] t Det A = 2.(–3) – (–5).1 = –1 cof A = –3–1 52 (cof A) t = –35 –12

27 Prof. Jorge 3–5 1–2 2–5 13 Exemplo Determine a inversa da matriz A abaixo. A = A inversa da matriz A é obtida assim A –1 = 1 det A. [cof A] t A –1 = 1 –1 –35 –12 A –1 =

28 Prof. Jorge Propriedades dos Determinantes

29 Prof. Jorge Propriedades dos determinantes P1. O determinante de uma matriz vale zero se ele tem: Uma linha (ou coluna) nula. – = 0 Duas linhas (ou colunas) iguais ou proporcionais – = –3412 = 0

30 Prof. Jorge Propriedades dos determinantes P2. se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (ou colunas) de um determinante, ele troca de sinal. 2– –21 = –1 3– –23 = 1

31 Prof. Jorge 2.3– –5 14 Propriedades dos determinantes P3. Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de um determinante por uma constante k, ele fica multiplicado por k. = 13 6–5 34 == = 39

32 Prof. Jorge Propriedades dos determinantes P4. O determinante do produto de duas matrizes é o produto de seus determinantes (teorema de Binet). det (AB) = det A. Det B Exemplo A = 2–3 41 B = 10–8 16–10 AB = Det A = 2 Det B = 14Det AB = 28

33 Prof. Jorge Propriedades dos determinantes P5. Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. A é inversível det A 0

34 Prof. Jorge Exemplo Calcular o parâmetro m para que seja invertível a matriz A abaixo. A = m12 3m– Det A = m 2 – 4m – 5 m 2 – 4m – 5 0 m –1 e m 5

35 Prof. Jorge Propriedades dos determinantes P6. Se uma matriz é invertível, o determinante de sua inversa é o inverso de seu determinante. Det A –1 1/det A

36 Prof. Jorge Exemplo Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, com det A = 2 e det B = 6, calcular det (B.A –1 ). Det (B.A –1 ) = det B. det A –1 = 6. 1/2 = 3

37 Prof. Jorge Propriedades dos determinantes P7. O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. Det A t det A Exemplo 31 –42 A = 3–4 12 A t = Det A = 10Det A t = 10

38 Prof. Jorge 200 3– Propriedades dos determinantes P8. Se forem nulos todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal, o determinante será igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo A = Det A = 2.(–1).3= –6 A matriz A é triangular.

39 Prof. Jorge 1 + (–2) (–2).55 Propriedades dos determinantes P9. Um determinante não se altera se substituirmos uma de suas filas por ela própria somada com uma outra paralela multiplicada por uma constante (Teorema de Jacobi). Exemplo =1.5 – 2.3 = 5 – 6= –1 = –32 –75 = –15 – (–14)= –1

40 Prof. Jorge Observação A aplicação dessa propriedade pode facilitar o cálculo de certos determinantes, principalmente os de 4ª ordem ou de ordem superior.

41 Prof. Jorge Exemplo Calcular o determinante abaixo. Vamos adicionar à segunda coluna a 1ª coluna multiplicada por – (–2) (–2) = Det A = –1. A 12 1–

42 Prof. Jorge Exemplo Calcular o determinante abaixo. Cálculo de A 12 : A 12 = (–1) = –2 Det = (–1).(–2) = 2 1–

43 Prof. Jorge Regra de Chió Permite baixar a ordem de um determinante facilitando o seu cálculo.

44 Prof. Jorge Etapas 1ª Etapa: eliminamos da matriz A a linha i e a coluna j do elemento a ij = 1. 2ª Etapa: Subtraímos de cada um dos elementos restantes de A o produto dos elementos eliminados que se encontra na sua linha e na sua coluna, obtendo assim uma matriz B de ordem n – 1. 3ª Etapa: o determinante de A é igual a (–1) i+j. det B.

45 Prof. Jorge Exemplo Calcular o determinante abaixo utilizando a regra de Chió. Vamos aplicar a regra de Chió a partir do elemento a – – (2.0)2 – (4.0)3 – (1.0) 3 – (2.2) –1 – (2.0)3 – (4.0)2 – (1.0) 2 – (4.2)–1 – (1.2) 23–

46 Prof. Jorge Exemplo Calcular o determinante abaixo utilizando a regra de Chió. Vamos aplicar a regra de Chió a partir do elemento a – – (1.0)3 – (4.0)–1 – (2.0) 3 – (1.0)2 – (4.0)2 – (2.0) –1 – (1.2)2 – (4.2)3 – (2.2) 23–1 322 –3–6–1 Det = (–1) det B = (–1) 6. (–13)= 13


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