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Prof. Jorge Funções trigonométricas. Prof. Jorge Função seno A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real sen x, ordenada.

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1 Prof. Jorge Funções trigonométricas

2 Prof. Jorge Função seno A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real sen x, ordenada do ponto P, associado ao número x no ciclo. Fica definida assim, a função seno, de domínio, expressa por y = f(x) = sen x Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, sen x).

3 Prof. Jorge Variação da função y = sen x para x [0, 2] O 0 B A B /2 A sen 1 Quando x cresce de 0 a /2, sen x cresce de 0 a 1. O B A B /2 A sen 1 Quando x cresce de /2 a, sen x decresce de 1 a 0.

4 Prof. Jorge Variação da função y = sen x para x [0, 2] O B A B 3/2 A sen –1 Quando x cresce de a 3 /2, sen x decresce de 0 a –1. O A B A B 3/2 2 sen –1 Quando x cresce de 3/2 a 2, sen x cresce de –1 a 0.

5 Prof. Jorge Gráfico da função y = sen x 0 0–110 y = sen x 2 3 /2 /20 x x y = sen x 0 /2 1 –1 3 /2 2 D = [0, 2] Im = [–1, 1]

6 Prof. Jorge Observação O gráfico da função seno é chamado senóide. A senóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude 2:... [–4, –2], [–2, 0], [0, 2], [2, 4],... O período da função seno é igual a 2. Seu conjunto imagem é o intervalo [–1, 1].

7 Prof. Jorge Gráfico da função y = sen x x y = sen x 0 /2 1 –1 3 /2 2 Na figura abaixo, temos dois períodos completos da senóide. – /2 – –3 /2 –2

8 Prof. Jorge Função co-seno A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real cos x, abscissa do ponto P, associado ao número x no ciclo. Fica definida assim, a função co-seno, de domínio, expressa por y = f(x) = cos x Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, cos x).

9 Prof. Jorge Variação da função y = cos x para x [0, 2] O 0 B A B /2 A cos 1 Quando x cresce de 0 a /2, cos x decresce de 1 a 0. O B A B /2 A cos –1 Quando x cresce de /2 a, cos x decresce de 0 a –1.

10 Prof. Jorge Variação da função y = cos x para x [0, 2[ O B A B 3/2 A cos –1 Quando x cresce de a 3 /2, cos x cresce de –1 a 0. O A B A B 3/2 2 cos 1 Quando x cresce de 3/2 a 2, cos x cresce de 0 a 1.

11 Prof. Jorge Gráfico da função y = cos x – y = cos x 2 3 /2 /20 x x y = cos x 0 /2 1 –1 3 /2 2 D = [0, 2] Im = [–1, 1]

12 Prof. Jorge Observação O gráfico da função co-seno é chamado co- senóide. A co-senóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude 2:... [–4, –2], [–2, 0], [0, 2], [2, 4],... O período da função co-seno é igual a 2. Seu conjunto imagem é o intervalo [–1, 1].

13 Prof. Jorge Gráfico da função y = cos x x y = cos x 0 /2 1 –1 3 /2 2 Na figura abaixo, temos dois períodos completos da co-senóide. – /2 – –3 /2 –2

14 Prof. Jorge Função tangente A cada número real x do ciclo trigonométrico está associado um único número real tg x, ordenada do ponto T, associado ao número x no ciclo. Fica definida assim, a função tangente, de domínio – /2 + k, k expressa por y = f(x) = tg x Seu gráfico cartesiano é constituído por todos os pares ordenados (x, y) = (x, tg x).

15 Prof. Jorge Variação da função y = tg x para x [0, 2] O 0 B A B /2 A tg Quando x cresce de 0 a /2, tg x cresce de 0 a +. O B A B /2 A tg Quando x cresce de /2 a, tg x cresce de – a 0. 0

16 Prof. Jorge Variação da função y = tg x para x [0, 2[ O B A B 3/2 A tg 0 Quando x cresce de a 3 /2, tg x cresce de 0 a +. O A B A B 3/2 2 tg 0 Quando x cresce de 3/2 a 2, tg x cresce de – a 0.

17 Prof. Jorge Gráfico da função y = tg x y = tg x 2 3 /2 /20 x x y = tg x 0 /2 3 /2 2 D = [0, 2]Im = [–, + ]

18 Prof. Jorge Observação O gráfico da função tangente é chamado tangentóide. A tangentóide se repete nos infinitos intervalos, todos de amplitude :... [–2, –], [–, 0], [0, ], [, 2],... O período da função tangente é igual a. Seu conjunto imagem é o intervalo [–, +].

19 Prof. Jorge Gráfico da função y = tg x x y = tg x 0 /2 3 /2 2 Na figura abaixo, temos quatro períodos completos da tangentóide. – /2 – –3 /2 –2

20 Prof. Jorge Domínio, período e conjunto imagem das funções seno, co-seno e tangente

21 Prof. Jorge Resumo Funçãoy = sen xy = cos xy = tg x domínio x k + /2 período 22 mínimo–1 – máximo11– Imagem[–1, 1]

22 Prof. Jorge Exemplos Construir o gráfico da função y = 2 sen x: 0 0 0–220 y = 2 sen x 0–110 sen x 23/2/2 0x x y 0 1 –1 3 /2 2 2 –2 y = sen x y = 2sen x p = 2 Im = ]–1, 1] p = 2 Im = ]–2, 2]

23 Prof. Jorge Exemplos Construir o gráfico da função y = sen 2x: 0 /2 0–110 y = sen 2x 2 3 /4 /40 x 23/2/2 02x x y = sen x 0 /2 1 –1 3 /2 2 /4 3 /4

24 Prof. Jorge Exemplos Construir o gráfico da função y = 1 + sen x: y = 1 + sen x 0–110 sen x 23/2/2 0x x y 0 1 –1 3 /2 2 2 –2 y = sen x y = 1 + sen x p = 2 Im = ]–1, 1] p = 2 Im = ]0, 2]

25 Prof. Jorge Domínio, imagem e período de outras funções seno

26 Prof. Jorge [–1, 0] /8 y = –1 + sen 2 (8x) [0, 1] y = sen 2 (x) [–3, 1] 2 y = –1 + 2sen (x + /2) [–2, 4] y = 1 + 3sen (2x) Período [–2, 2] y = 2sen (2x + /2) [–2, 2] y = 2sen (x – /2) [–1, 1] y = sen (x/2) [–1, 1] y = sex (2x) [–1, 1] y = sen (x) ImagemDomínioFunção

27 Prof. Jorge Domínio, imagem e período de outras funções co-seno

28 Prof. Jorge [–1, 0] /8 y = –1 + cos 2 (8x) [0, 1] y = cos 2 (x) [–3, 1] 2 y = –1 + 2cos (x + /2) [–2, 4] y = 1 + 3cos (2x) Período [–2, 2] y = 2cos (2x + /2) [–2, 2] y = 2cos (x – /2) [–1, 1] y = cos (x/2) [–1, 1] y = cos (2x) [–1, 1] y = cos (x) ImagemDomínioFunção

29 Prof. Jorge Domínio, imagem e período de outras funções tangente

30 Prof. Jorge /8 xk/8 +/16 y = –1 + tg 2 (8x) x k + /2 y = tg 2 (x) x ky = –1 + 2tg (x + /2) /2x k/2 + /4 y = 1 + 3tg (2x) /2 2 /2 Período x k/2y = 2tg (2x + /2) x k + y = 2tg (x – /2) x 2k + y = tg (x/2) x k/2+ /4 y = tg (2x) x k + /2 y = tg (x) ImagemDomínioFunção


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