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Ensino Superior 2.2- Integração Numérica Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.

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1 Ensino Superior 2.2- Integração Numérica Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

2 Problema (I) x y (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) (x 3,y 3 ) (x 4,y 4 ) (x 5,y 5 ) (x 6,y 6 ) a b (x 7,y 7 ) g(x) h(x)

3 Problema (II) x

4 Motivação Calcular a integral de uma função f(x) em casos onde: I)f(x) é conhecida apenas em certos pontos II) é impossível calcular ou difícil de expressar a antiderivada F(x) de f(x)

5 Integração Numérica Utilizam-se funções polinomiais de interpolação para aproximar o valor da integral definida:

6 Aproximações para a integral Regra do Retângulo (P 0 (x)) Regra do Trapézio (P 1 (x)) Regra de Simpson (P 2 (x))

7 Regra do Retângulo Aproximamos a integral de f(x) divindo o intervalo [ a,b ] em m subintervalos e calculando a área dos retângulos de base h=(b-a)/m e altura f(x), isto é, usando f(x) do ponto à esquerda usando f(x) do ponto à direta usando f(x) do ponto médio

8 Regra do Trapézio Aproximamos f(x) por um polinômio de grau 1 que interpola (x 0,y 0 ) e (x 1,y 1 )=(x 0 +h,y 1 ) pela forma de Lagrange:

9 Regra do Trapézio Integrando o polinômio no intervalo [x 0,x 1 ]:

10 Regra do Trapézio Interpretação geométrica: a expressão anterior mostra que a integral de f(x) pode ser aproximada pela a área do trapézio: =x 0 =x 1 = x 0 +h y0y0 y1y1 h f(x)

11 Regra do Trapézio Repetida Dividindo o intervalo de integração em m partes iguais de medida h=(b-a)/m, temos a Regra do Trapézio Repetida:

12 Regra de Simpson Aproximando f(x) pelo polinômio de grau 2 que interpola os pontos (x 0, f(x 0 )), (x 1, f(x 1 ))=(x 0 +h, f(x 0 +h)), (x 2,f(x 2 ))=(x 0 +2h, f(x 0 +2h)), temos:

13 Regra de Simpson

14 Integrando a expressão anterior no intervalo [x 0,x 2 ], após simplificações, obtemos:

15 Regra de Simpson Interpretação geométrica: a integral de f(x) é aproximada pela área entre o eixo-x e a parábola que passa pelo ponto médio e pelos extremos do intervalo [a,b] :

16 Regra de Simpson Repetida Subdividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos (sendo m par): obtemos a Regra de Simpson Repetida:

17 Estimativas de Erro Pela Regra dos Trapézios Repetida: Pela Regra de Simpson Repetida:

18 Exercícios 1. a) Calcule a integral definida de f(x)=e x no intervalo [0,1] pelo método de Simpson com uma estimativa de erro inferior a b) Para se obter um resultado com estimativa de erro semelhante utilizando a Regra do Trapézio, quantas subdivisões do intervalo de integração são necessárias?

19 Exercícios 2.a) Qual o erro máximo cometido na aproximação de pela regra de Simpson com quatro subintervalos? E por Trapézios? b) Calcule a integral pelos dois métodos e compare com a estimativa do item a).

20 Exercícios 3. Use a Regra de Simpson para integrar a função abaixo entre 0 e 2 com o menor esforço computacional possível (menor números de divisões e maior precisão). Justifique sua resposta.Trabalhe com três casas decimais.

21 Exercícios 4. Sabendo que a Regra de Simpson é, em geral, mais precisa que a Regra dos Trapézios, qual seria o modo mais adequado de calcular a integral definida de f(x) no intervalo dado, usando a tabela abaixo? Aplique este processo para determinar o valor da integral. x f(x)

22 Exercícios para Entrega 1.a) Calcule a integral a seguir pela Regra do Trapézio e pela Regra de Simpson, usando quatro e seis divisões do intervalo [a,b]. Compare os resultados. b) Quantas divisões do intervalo são necessárias, no mínimo, para se obter erros menores que 10 -5, com cada uma das regras?

23 Respostas aos exercícios 1. a) m 8; para m=8 temos I S = b) m E SR =0; I S =172; |E TR | 24; I T = I S = com erro zero. 4. I = (Trapézios no primeiro intervalo e o restante por Simpson). 1. a) Trapézios (m=4): Trapézios (m=6): Simpson (m=4): Simpson (m=6): b) Trapézios: 1382 Simpson: 80

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