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Ensino Superior Cálculo 1 2- Derivada- A Linguagem do Movimento Amintas Paiva Afonso.

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Apresentação em tema: "Ensino Superior Cálculo 1 2- Derivada- A Linguagem do Movimento Amintas Paiva Afonso."— Transcrição da apresentação:

1 Ensino Superior Cálculo 1 2- Derivada- A Linguagem do Movimento Amintas Paiva Afonso

2 A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em qualquer fenômeno que envolva funções. derivadas Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas. Derivada, a linguagem do movimento Mas, quando se trata de corpos em movimento, esta interpretação é especialmente precisa e interessante. De fato, historicamente, foi o que deu origem ao estudo das derivadas.

3 LEI DA QUEDA DOS CORPOS A tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático - as derivadas. Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?... Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles. Newton (Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 Londres, 31 de Março de 1727) Leibniz (Leipzig, 1 de julho de 1646 Hanôver, 14 de Novembro de 1716) Derivada, a linguagem do movimento

4 ( ) O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida pelo próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de ter desfeito o coração de Leibniz. Derivada, a linguagem do movimento Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial e, ao medir o ritmo de mudança dos fenómenos físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram as portas ao espectacular desenvolvimento científico e tecnológico que transformou o mundo em 3 séculos tanto ou mais que em toda a história anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o sonho pitagórico: explicar o mundo com a Matemática.

5 a f(b) x y O b f(a) f(b) - f(a) b - a Derivada, a linguagem do movimento Se uma função é representada graficamente por uma reta (função afim) facilmente sabemos com que velocidade varia essa função. Corresponde, é claro, ao declive da reta representativa da função. Introdução y x tmv = tg = taxa média de variação

6 O que o Matemáticos se lembraram foi de substituir localmente a curva por uma reta e calcular o declive dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas… a f(b) b f(a) b - a f(b) - f(a) x O y E... se o gráfico da função não for uma reta? Com que velocidade (rapidez) varia essa função? Derivada, a linguagem do movimento y x tmv =

7 Aplicação da Derivada na Geometria Analítica

8 O ZOOM IN x-x 0 x 0 f(x) x f(x 0 ) f(x) - f(x 0 ) x O y Vamos, então, estudar Derivadas! Mas, vamos perceber melhor tudo isto com o estudo que vamos fazer a seguir. E também isto! E… quando tomamos o limite.

9 Exemplos Exemplo 1 – Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x 2, no ponto de abscissa 1/2. y(ºC) x 0 = 1 2 y y x(h) 1/4 x

10 Exemplos Exemplo 2 – Determinar a equação da reta normal ao gráfico de f(x) = x 2 + 1, no ponto de abscissa 1. y x 0 = 1 f(1) = 2 x 0

11 Exemplo 3 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x 2. y(ºC) x 0 =1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x –Então temos que: A partir de x 0 = 1h, a variável x aumentou de 2 unidades (horas) e passou para x = 3h. x = x – x 0 = 3 – 1 = 2 A temperatura y = f(x) também sofre variação: passou de f(1) = 1ºC para f(3) = 9ºC, aumentando 8 unidades (ºC). y = f(x) – f(x 0 ) = 9 – 1 = 8 A razão y/ x = 4ºC/h, significa que, entre 1h e 3h, a temperatura aumentou 4ºC por hora, em média. Outros Exemplos

12 Temperatura de uma sala Noção Intuitiva –Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de x 0 = 1h. xxf(x) x y y/ x 1h30min1,52,250,51,252,5 1h12min1,21,440,20,442,2 1h06min1,11,210,10,212,1 1h1seg 1, ,000550, ,000552, y(ºC) x 0 =1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x À medida que x se aproxima de zero, y/ x se aproxima de 2.

13 xxf(x) x y y/ x 1h30min1,52,250,51,252,5 1h12min1,21,440,20,442,2 1h06min1,11,210,10,212,1 1h1seg 1, , , , , y(ºC) x 0 =1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x Temperatura de uma sala Noção Intuitiva –Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de x 0 = 1h.

14 O limite da razão y/ x, quando x 0, exprime que, quando x aumenta de 1 unidade de tempo a partir de x 0 = 1h, a temperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC. (aproximadamente, pois se trata de limites) y(ºC) x 0 =1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x Temperatura de uma sala

15 a) Se x x 0, então x 0. b) Se x = x - x 0, então x = x + x 0 c) f(x) = f( x + x 0 ) y(ºC) x 0 =1 y f(3)=9 x(h) f(1)=1 x=3 x

16 Exemplo 4 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x 2 no ponto x 0 = 3, ou seja, f(3). Temos: x 0 = 3; f(x 0 ) = f(3) = = 18

17 Exemplo 5 – Determinar a derivada da função f(x) = x 2 - 6x no ponto x 0 = 2, ou seja, f(2). Temos: x 0 = 2; f(x 0 ) = f(2) = 2 2 – 6.2 = -8

18 Exemplo 6 – Determinar a derivada da função f(x) = x no ponto x 0 = 0, ou seja, f(0). Temos: x 0 = 0; f(x 0 ) = f(0) = 0 = 0 Nesse caso, dizemos que f(x) = x não tem derivada no ponto x 0 = 0.

19 Exemplo 7 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de motores, sendo o custo mensal de produção dado por: C(x) = x (em reais). a) Determine a derivada no ponto x 0 = 100 motores. b) Interprete o resultado obtido. b) O resultado f(x 0 ) = 11, significa que a cada aumento de unidade de motor, há um aumento de 11 reais no custo mensal, a partir de 100 motores. a) f(x 0 ) = f(100) = = 3700

20 Exemplo 8 - Consideremos a função C(x) = custo da produção de x sapatos, em reais. Suponhamos que para uma produção x 0 = 2000 sapatos, tenhamos a derivada C(x 0 ) = 20 reais por sapato. O que significa isso? Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20 reais, aproximadamente.

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