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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO (UFERSA) DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS (DCA) CURSO: BACHARELADO em CIÊNCIA E TECNOLOGIA DISCIPLINA: GEOMETRIA.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO (UFERSA) DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS (DCA) CURSO: BACHARELADO em CIÊNCIA E TECNOLOGIA DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA ROTAÇÃO DE CÔNICAS Prof. Dr: Walter Martins Rodrigues MOSSORÓ - 24 NOVEMBRO de 2008

2 INTRODUÇÃO Neste trabalho apresentamos um estudo teórico das rotações das cônicas Conhecer o conceito de rotação Saber determinar o ângulo de rotação Identificar a equação reduzida são os principais elementos deste estudo para quaisquer engenheiros

3 ELEMENTOS DE UMA ELIPSE focos : os pontos F 1 e F 2 centro: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo maior: a semi-eixo menor: b semidistância focal: c vértices: os pontos A 1, A 2, B 1, B 2 eixo maior: eixo menor: distância focal :

4 ELEMENTOS DE UMA ELIPSE focos : os pontos F 1 e F 2 centro: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo maior: a semi-eixo menor: b semidistância focal: c vértices: os pontos A 1, A 2, B 1, B 2 eixo maior: eixo menor: distância focal :

5 Equação da Elipse com F 1 F 2 paralela ao eixo X Translacao: Equação para elipse em que F 1 F 2 é paralelo ao eixo x. Seja C(x 0, y 0 ) o centro da elipse; então, as coordenadas dos focos são: F 1 (x 0 + c, y 0 ) e F 2 (x 0 – c, y 0 ). Para um ponto P(x, y) qualquer da elipse, temos:

6 ELEMENTOS DE UMA HIPÉRBOLE

7 Equação da Hipérbole com F 1 F 2 paralela ao eixo X Seja C(xo, yo) o centro da hipérbole; então os focos são: Para um ponto qualquer P da hipérbole, temos:

8 Equação da Hipérbole com F 1 F 2 paralela ao eixo Y Seja c(xo, yo) o centro da hipérbole, então os focos são. Para um ponto qualquer P(x, y) da hipérbole temos:

9 PARÁBOLA Dados um ponto F e uma reta d, pertencentes a um plano, com F d, seja P a distancia entre F e d, parábola é o conjunto dos pontos de, que estão a mesma distancia de F e de d. Parábola = PF = Pd

10 ELEMENTOS DE UMA PARÁBOLA d: reta diretriz (reta fixa); F: Foco (ponto fixo); = p > 0: parâmetro VF: eixo de simetria; V: Vértice ( ponto médio de FB, FB d e B Є d) Sendo p o parâmetro da parábola, BF = p, BV =.

11 Equação da Parábola com diretriz d paralela ao eixo Y e o foco à direita de d Seja V(xo, yo), o vértice da parábola, então: o foco é. Para um ponto P(x,y) da parábola. Temos.

12 Desenvolvendo, temos: Que é a equação da parábola, quando a diretriz d esta paralela ao eixo y e o foco a direita de d. Quando se considera p sendo a distância do vértice ao foco temos:

13 CONSIDERAÇÕES GERAIS da aula ANTERIOR As cônicas acima não estão rotacionadas De modo geral cônicas podem ser expressas por equações do tipo: A matriz associada a cônica é:

14 Translação de Centro: Operando com as equações quadráticas O centro da cônica, se existir, pode ser determinado pelo sistema linear: O novo termo independente da cônica transladada é A equação da cônica transladada será:

15 Rotação de cônicas A rotação por um ângulo (sentido anti-horário) é simplesmente mudar da base canônica {(1,0), (0,1)} para a base {(cos( ), sen( )),(- sen( ),cos( ))}, 0 /2 Portanto, a matriz de mudança de bases neste processo é: Após a rotação definida pelo ângulo definido pelo coeficiente angular da reta que passa por um foco e vértice o termo B é eliminado, mas os outros termos serão combinações lineares desta nova base.

16 Equação após uma rotação Observe que o termo independente não muda e que os lineares também não se a equação já estiver transladada

17 Simplificações importantes Qual o ângulo que permite eliminar o termo mixto B com uma rotação: Como fica a nova equação:

18 Determinação dos parâmetros Este processo simplificado evita o trabalho excessivo com equações trigonométricas

19 Conseqüências do processo Este tipo de classificação ainda é abstrato, uma vez que estas equações podem ser cônicas degeneradas. Há um indicador para o tipo da equação 1. Elíptico: se 2. Parabólico: se 3. Hiperbólico: se


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