A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Prof. M.Sc. FÁBIO FRANCISCO DA COSTA FONTES Setembro - 2009.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Prof. M.Sc. FÁBIO FRANCISCO DA COSTA FONTES Setembro - 2009."— Transcrição da apresentação:

1 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Prof. M.Sc. FÁBIO FRANCISCO DA COSTA FONTES Setembro

2 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Refletindo sobre o método simplex, nota-se que nem todos os elementos do quadro são necessários para obter uma nova solução. Precisamos de: 1- todos os c j, j N, para podermos encontrar c s = Min(c j ); 2- a coluna p s = (a 1s,a 2s,a 3s,...,a ms ), que corresponde à variável x s, contendo os elementos necessários para o pivoteamento; 3- os valores de b, o que nos permite obter Min {b i / a is }, a is > o i M Portanto, valores atualizados das variáveis básicas(após o pivoteamento).

3 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Então para um menor esforço computacional, o ideal seria atualizar uma coluna somente quando a variável a ela associado fosse escolhida para entrar na base, ou seja, desejamos uma maneira de obter diretamente o valor dos elementos de uma coluna na iteração n sem que ela tenha sido atualizada nas n – 1 iterações anteriores

4 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Dado o problema Max c T x s.a: Ax = b x 0 Onde A é m x m Escolhe-se m variáveis/coluna para serem básicas e supõe-se que estas são as m primeiras. Assim, a matriz A pode ser particionada em:

5 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO A = [B : N] onde B mxm e N mxn-m Mas esta partição induz a partição em X e C dados por x B X = --- C T = [c B T :c N T ] x N Daí se obtém Ax = b [B : N] x B --- = b x N Bx B + Nx N = b

6 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Se existe B -1 então B -1 BX B + B -1 Nx N = B -1 b Como B -1 B = I, então x B +B -1 Nx N = B -1 b ou x B = B -1 b – B -1 Nx N Por outro lado c T x = c B T x B + C N T X N = c B T (B -1 b – B -1 Nx N ) + c N T x N = c B T B -1 b –C B T B -1 Nx N +c N T x N = c B T B -1 b +(c N T – c B T B -1 N)x N

7 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Então: c T x = c B T B -1 b +(c N T – c B T B -1 N)x N x B = B -1 b – B -1 Nx N Fazendo x N = 0 Z=c T x = c B T B -1 b x B = B -1 b0

8 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Exemplo para explicação do algoritmo do método simplex revisado Max x 1 + x 2 s.a: 2x 1 + x 2 2 s.a: 2x 1 +x 2 + x 3 =2 x 1 + 3x 2 3 x 1 +3x 2 +x 4 =3 x 1 0 e x 2 0 x 1,x 2,x 3,x 4 0

9 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Passo1- solução básica inicial IB={3,4} INB={1,2} A= c B T = (0 0) c N T = (1 1) N= 2 1 B=B -1 = 1 0 b=

10 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Passo2 – Teste de Otimalidade e seleção da variável que entra na base c N T - c B T B -1 N=(1 1)-(0 0) =(1 1) Como existe c Ni - c B T B -1 N i 0, então a solução ainda não é ótima. X 1 entra na base

11 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Passo3 – Atualizar b b = B -1 b = = Passo4 – Determinar a variável que deve sair da base N 1 = B -1 N 1 = = min {b/N 1 ¹, b/N 2 ¹}= min {2/2, 3/1}=1 X 3 sai da base

12 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Passo5 – Achar a nova solução Básica IB={1,4} INB={3,2} B= 2 0 N= 1 1 B -1 = ½ ½ 1 x B T =(x 1 x 4 ) x N T =(x 3 x 2 ) c B T =(1 0) c N T =(0 1) Retornar ao Passo2.

13 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO c N T - c B T B -1 N =(0 1)-(1 0) ½ =(-½ ½) -½ x 2 entra na base Passo3 – b= B -1 b = ½ 0 2 = 1 -½ 1 3 2

14 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Passo4 – N ² = B -1 N ² = ½ 0 1 = ½ -½ 1 3 5/2 min {b/N 1 ², b/N 2 ²} min {1/(½), 2/(5/2)}=0,8 x 4 sai da base

15 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Passo5 – IB={1,2} INB={3,4} B= 2 1 N= 1 0 B -1 = 3/5 -1/ /5 2/5 x B T =(x 1 x 2 ) x N T =(x 3 x 4 ) c B T =(1 1) c N T =(0 0) Retornar ao Passo2.

16 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO c N T - c B T B -1 N=(0 0)-(1 1) 3/5 -1/ /5 2/5 0 1 c N T - c B T B -1 N =(-2/5 -1/5) Como não existe c Ni - c B T B -1 N i 0, então a solução é ótima. Calcular x B e Z

17 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO x B = B -1 b x B = 3/5 -1/5 2 = 3/5 -1/5 2/5 3 4/5 Z=c B T B -1 b= (1 1) 3/5 -1/5 2 -1/5 2/5 3 Z= (2/5 1/5) 2 = 7/5 3

18 Exemplo 2 Resolva o problema abaixo: Max 3x 1 + 5x 2 s.a: x 1 4 x x 1 + 2x 2 18 x 1 0 e x 2 0

19 Bibliografia ANDRADE, Eduardo Leopoldino. Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos Para A Análise de Decisão. Rio de Janeiro: LTC, Cap. 3, p MACULAN FILHO, Nelson; PEREIRA, Mário Veiga Ferraz. Programação linear. São Paulo: Atlas, Cap. 3, p. 182.


Carregar ppt "SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO Prof. M.Sc. FÁBIO FRANCISCO DA COSTA FONTES Setembro - 2009."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google