SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO

Apresentação em tema: "SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO"— Transcrição da apresentação:

1 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Prof. M.Sc. FÁBIO FRANCISCO DA COSTA FONTES Setembro

2 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Refletindo sobre o método simplex, nota-se que nem todos os elementos do quadro são necessários para obter uma nova solução. Precisamos de: 1- todos os cj, j ∊ N, para podermos encontrar cs = Min(cj); 2- a coluna ps = (a1s,a2s,a3s,...,ams), que corresponde à variável xs, contendo os elementos necessários para o pivoteamento; 3- os valores de b, o que nos permite obter Min {bi / ais}, ais > o i ∊ M Portanto, valores atualizados das variáveis básicas(após o pivoteamento).

3 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Então para um menor esforço computacional, o ideal seria atualizar uma coluna somente quando a variável a ela associado fosse escolhida para entrar na base, ou seja, desejamos uma maneira de obter diretamente o valor dos elementos de uma coluna na iteração n sem que ela tenha sido atualizada nas n – 1 iterações anteriores

4 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Dado o problema Max cTx s.a: Ax = b x≥ 0 Onde A é m x m Escolhe-se m variáveis/coluna para serem básicas e supõe-se que estas são as m primeiras. Assim, a matriz A pode ser particionada em:

5 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
A = [B : N] onde Bmxm e Nmxn-m Mas esta partição induz a partição em X e C dados por xB X = CT = [cBT:cNT] xN Daí se obtém Ax = b <==> [B : N] xB --- = b BxB + NxN = b

6 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Se existe B-1 então B-1BXB + B-1NxN = B-1b Como B-1B = I, então xB +B-1NxN = B-1b ou xB = B-1b – B-1NxN Por outro lado cTx = cBTxB + CNTXN = cBT(B-1b – B-1NxN) + cNTxN = cBTB-1b –CBTB-1NxN+cNTxN = cBTB-1b +(cNT – cBTB-1N)xN

7 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Então: cTx = cBTB-1b +(cNT – cBTB-1N)xN xB = B-1b – B-1NxN Fazendo xN = 0 Z=cTx = cBTB-1b xB = B-1b≥0

8 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Exemplo para explicação do algoritmo do método simplex revisado Max x1 + x Max x1 + x2 s.a: 2x1 + x2 ≤ s.a: 2x1+x2 + x3=2 x1 + 3x2 ≤ x1+3x2+x4=3 x1≥0 e x2≥ x1,x2,x3,x4≥0

9 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo1- solução básica inicial IB={3,4} INB={1,2} A= cBT = (0 0) cNT = (1 1) N= B=B-1= b= 2

10 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo2 – Teste de Otimalidade e seleção da variável que entra na base cNT- cBTB-1N=(1 1)-(0 0) =(1 1) Como existe cNi- cBTB-1Ni ≥ 0, então a solução ainda não é ótima. X1 entra na base

11 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo3 – Atualizar b b’ = B-1b = = 2 Passo4 – Determinar a variável que deve sair da base N1 = B-1N1 = = 2 min{b’/N1¹, b’/N2¹}=min{2/2, 3/1}=1 X3 sai da base

12 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo5 – Achar a nova solução Básica IB={1,4} INB={3,2} B= N= B-1= ½ 0 ½ 1 xBT=(x1 x4) xNT=(x3 x2) cBT=(1 0) cNT=(0 1) Retornar ao Passo2.

13 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
cNT- cBTB-1N=(0 1)-(1 0) ½ =(-½ ½) -½ x2 entra na base Passo3 – b’= B-1b = ½ = 1 -½

14 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo4 – N² = B-1N²= ½ = ½ -½ /2 min{b’/N1², b’/N2²} min{1/(½), 2/(5/2)}=0,8 x4 sai da base

15 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
Passo5 – IB={1,2} INB={3,4} B= N= B-1= 3/5 -1/5 /5 2/5 xBT=(x1 x2) xNT=(x3 x4) cBT=(1 1) cNT=(0 0) Retornar ao Passo2.

16 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
cNT- cBTB-1N=(0 0)-(1 1) 3/5 -1/ -1/5 2/ cNT- cBTB-1N =(-2/5 -1/5) Como não existe cNi- cBTB-1Ni ≥ 0, então a solução é ótima. Calcular xB e Z

17 SOLUÇÃO MATRICIAL E MÉTODO SIMPLEX REVISADO
xB = B-1b xB = 3/5 -1/ = 3/5 -1/5 2/ /5 Z=cBTB-1b= (1 1) 3/5 -1/5 2 -1/5 2/5 3 Z= (2/5 1/5) 2 = 7/5 3

18 Exemplo 2 Resolva o problema abaixo: Max 3x1 + 5x2 s.a: x1 ≤ 4 x2 ≤ 12
x1≥0 e x2≥0

19 Bibliografia ANDRADE, Eduardo Leopoldino. Introdução à
Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos Para A Análise de Decisão. Rio de Janeiro: LTC, Cap. 3, p. 377. MACULAN FILHO, Nelson; PEREIRA, Mário Veiga Ferraz. Programação linear. São Paulo: Atlas, Cap. 3, p. 182.