Sinais e Sistemas – Capítulo 2

Sinais e Sistemas – Capítulo 2
Aula 1 Sinais e Sistemas – Capítulo 2 Simon Haykin Aula 7

Integral de Convolução
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EXEMPLO: Considere o circuito RC da figura e suponha que a constante de tempo do circuito seja RC=1s. Determine a tensão do capacitor, y(t), resultante de uma tensão de entrada SOLUÇÂO: O circuito é LTI, de forma que a saída é a convolução da entrada e da resposta ao impulso, ou seja, y(t)=x(t)*h(t). A resposta ao impulso deste circuito é Aula 7

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Propriedades da Representação Resposta ao Impulso para Sistemas LTI
Conexão paralela de sistemas

Propriedade distributiva

Conexão em cascata de sistemas

Conexão em cascata de sistemas Mudança de variável A integral interna é a convolução de h1(t) e h2(t) avaliada em t-μ. Ou seja, se definirmos h(t)= h1(t)*h2(t), então

Conexão em cascata de sistemas Logo,

Propriedade Associativa Propriedade Comutativa Todas as propriedades também se aplicam ao tempo discreto!

Exemplo: Considere a interconexão dos sistemas LTI mostrados na figura. A resposta ao impulso de cada sistema é: Encontre a resposta ao impulso do sistema global, h(t)

Solução Dividir para conquistar!

Sistema sem Memória A saída de um sistema LTI de tempo discreto pode ser descrita como Para que este sistema seja sem memória, y[n] deve depender somente de x[n] e não de x[n-k], para k≠0. Neste caso, Condição análoga se verifica para um sistema LTI de tempo contínuo!

Sistema Causal Considere a saída de um sistema LTI de tempo discreto Para que este sistema seja causal, y[n] deve depender somente de valores passados e presente de x[n], de modo que h[k]=0, para k<0. Neste caso, Condição análoga se verifica para um sistema LTI de tempo contínuo!

Sistema Estável Sistema BIBO estável Então,

Sistema Estável Supondo que a entrada é limitada, isto é Consequentemente, a saída também será limitada, isto é desde que a resposta ao impulso seja absolutamente somável. Logo , é a condição necessária para que um sistema seja estável! Analogamente, para um sistema de tempo contínuo, temos que

Exemplo: Um sistema de tempo discreto tem a resposta ao impulso Este é um sistema BIBO estável, sem memória ou causal? Solução: Verificação da estabilidade O último somatório converge se |a|<1. Logo, o sistema é estável se e somente se 0<a<1.

Solução: O sistema é não causal, uma vez que a resposta ao impulso é não nula para as amostras futuras n=-1 e n=-2. O sistema é com memória, pois a resposta ao impulso é não nula para amostras n≠0.

Sistema Invertível e Desconvolução Similarmente um sistema LTI de tempo discreto é invertível se

Exemplo: Considere projetar um sistema inverso de tempo discreto para eliminar a distorção associada com um eco indesejável num problema de transmissão de dados. Suponha que o eco seja representado como atenuação por uma constante a e um retardo correspondente a uma unidade de tempo na sequência de entrada. Daí, o sinal recebido distorcido y[n] pode ser expresso em termos do sinal transmitido x[n] como Encontre um sistema inverso causal que recupere x[n] de y[n]. Verifique se este sistema inverso é estável.

Solução: Primeiramente identificamos a resposta ao impulso do sistema que relaciona y[n] e x[n]. onde O sistema inverso h-1[n] deve satisfazer

Solução: em um sistema causal, para n<0, h-1[n]=0. Para n=0, De modo que Para n>0, de modo que Uma vez que Para verificar a estabilidade, basta averiguar se h-1[n] é absolutamente somável.

Solução: Para verificar a estabilidade, basta averiguar se h-1[n] é absolutamente somável. A série acima converge para a<1. Logo, o sistema é estável para 0<a<1. Isto significa que o sistema é estável se o eco atenuar o sinal transmitido x[n], mas é instável se o eco amplificar tal sinal.

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