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Aula 22 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin.

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1 Aula 22 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin

2 Aula 22 Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Estabilidade e Causalidade Sistemas estáveis e causais possuem todos os pólos inseridos no círculo unitário.

3 Aula 22 Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Estabilidade e Causalidade Exemplo 1: Um sistema tem a função de transferência 1.Encontre a resposta ao impulso supondo que o sistema seja a)Estável b)Causal 2.Este sistema pode ser tanto estável quanto causal?

4 Aula 22 Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Estabilidade e Causalidade Solução: Este sistema tem pólos em, e a) Se o sistema for estável, a região de convergência incluirá o círculo unitário. Assim, os pólos dentro do círculo contribuem com termos laterais direito, enquanto que o pólo fora, contribui com um termo lateral esquerdo.

5 Aula 22 Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Estabilidade e Causalidade Solução: Logo, b) Se o sistema for causal, então todos os pólos contribuirão com termos laterais direito, de modo que Portanto, este sistema não pode ser nem estável e nem causal, pois possui um pólo fora do círculo unitário.

6 Aula 22 Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Invertibilidade Seja h -1 [n] a resposta ao impulso de um sistema inverso, de forma que Tomando a transforma Z da identidade acima, temos Se então

7 Aula 22 Análise com Transformada Z de Sistemas LTI – Invertibilidade Exemplo 2:Um sistema é descrito pela equação de diferenças a) Encontre a função de transferência do sistema inverso. b) Um sistema inverso estável e causal existe? Solução:

8 Aula 22 Estruturas Computacionais para Implementar Sistemas de Tempo Discretos Obtendo as raízes dos polinômios do numerador e denominador de H(z), podemos expressar a função de transferência como de modo que Observe que os pólos do sistema inverso, ¼ e -1/2, estão dentro do círculo unitário, de modo que o sistema inverso pode ser tanto causal quanto estável.

9 Aula 22 Estruturas Computacionais para Implementar Sistemas de Tempo Discreto Exemplo 3: Considere o sistema representado pela função de transferência Descreva a forma em cascata deste sistema usando seções de segunda ordem com valor real.

10 Aula 22 Estruturas Computacionais para Implementar Sistemas de Tempo Discreto Solução:

11 Aula 22 Estruturas Computacionais para Implementar Sistemas de Tempo Discreto Solução: seja De modo que

12 Aula 22 Estruturas Computacionais para Implementar Sistemas de Tempo Discreto Solução: seja

13 Aula 22 A Transformada Z Unilateral Aplica-se a sinais de sistemas causais É definida como As transformadas Z Unilateral e Bilateral são equivalentes para sistemas causais. A transformadas Z Unilateral satisfaz as mesmas propriedades da Transformada Z Bilateral, com exceção da propriedade de deslocamento no tempo.

14 Aula 22 A Transformada Z Unilateral Deslocamento no Tempo Admitamos que, onde é a transformada Z unilateral de x[n]. A transformadas Z Unilateral de w[n] é definida de maneira semelhante, isto é

15 Aula 22 A Transformada Z Unilateral Deslocamento no Tempo Expressamos W(z) como uma função de X(z) com segue:

16 Aula 22 A Transformada Z Unilateral Deslocamento no Tempo Para um retardo k, isto é, temos que Para um adiamento k, isto é, temos que

17 Aula 22 A Transformada Z Unilateral Exemplo 4: Considere o sistema descrito pela equação de diferenças Encontre a saída se a entrada for e se a condição inicial for Solução: Tomando a transformada Z unilateral de ambos os lados, e usando a propriedade de deslocamento no tempo, temos que

18 Aula 22 A Transformada Z Unilateral Solução: Resposta NaturalResposta Forçada

19 Aula 22 A Transformada Z Unilateral Solução: desde que e y[-1]=2 então Usando o método das frações parciais, temos Daí,

20 Aula 22 A Transformada Z Unilateral

21 Aula 22 A Transformada Z Unilateral Considere agora tomar a transformada Z de ambos os lados da equação de diferenças a seguir: Podemos escrever a transformada Z como a seguir. em que e

22 Aula 22 A Transformada Z Unilateral Supomos que x[n] é causal, de forma que O termo C(z) depende das N condições iniciais, y[-1], y[-2],...,y[-N], e de a k. C(z) será nulo se todas as condições iniciais forem nulas e

23 Aula 22 A Transformada Z Unilateral Finalmente, resolvendo Y(z) para obtemos Resposta NaturalResposta Forçada Note que a forma da resposta natural depende apenas dos pólos do sistema; Note também que se o sistema for estável, os pólos deverão estar situados dentro do círculo unitário.


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