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Aula 12 Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Simon Haykin.

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1 Aula 12 Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Simon Haykin

2 Aula 12 Sinais periódicos de Tempo Contínuo: A Série de Fourier Seja x(t) uma função periódica com período fundamental T. Então, é uma aproximação por FS, onde Supondo que podemos encontrar os coeficientes A[k], tal que, então

3 Aula 12 Sinais periódicos de Tempo Contínuo: A Série de Fourier Logo, Observe que a integral do lado direito é igual a zero, exceto quando k = m, de modo que

4 Aula 12 Representação por Série de Fourier Podemos escrever a FS como Dizemos que x(t) e X[k] são um par de FS

5 Aula 12 Representação por Série de Fourier Exemplo: Determine a representação por FS para o sinal Solução: O período fundamental de x(t) é T=4. Consequentemente Procuramos expressar x(t) como

6 Aula 12 Representação por Série de Fourier A última expressão está na forma de FS. Logo, comparando com, temos que

7 Aula 12 Representação por Série de Fourier

8 Aula 12 Representação por Série de Fourier Exemplo: Determine a representação por FS da onda quadrada mostrada na figura Solução: O período é T, de forma que ω 0 =2π/T. Neste caso, é conveniente usar a forma de integral de FS, isto é

9 Aula 12 Representação por Série de Fourier Substituindo ω 0 =2π/T

10 Aula 12 Representação por Série de Fourier Para k=0, temos

11 Aula 12 Representação por Série de Fourier Para -50k50 e Ts/T=1/4, temos Para -50k50 e Ts/T=1/16, temos

12 Aula 12 Representação por Série de Fourier A forma funcional ocorre com tanta frequência na análise de Fourier, que damos a ela um nome especial Dessa forma, os coeficientes da FS obtidos no último exemplo podem ser expresso usando a função sinc

13 Aula 12 Representação por Série de Fourier O máximo da função sinc é a unidade em u=0. Os cruzamentos por zero ocorre nos valores inteiros de u. O módulo decresce com 1/u A parte da função sinc entre os cruzamentos por zero para u=±1 é conhecida como lóbulo principal As ondas menores são conhecidas como lóbulos laterais

14 Aula 12 Representação por Série de Fourier Cada termo da FS, para X[k] não nulo, contribui para a representação do sinal. Para ilustrar isso, consideraremos a onda quadrada o exemplo anterior. Vamos explorar a simetria par de X[k] para escrever a FS como uma soma de cossenos harmonicamente relacionados. Logo, como X[k]=X[-k], então

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16 Aula 12 Representação por Série de Fourier Se definirmos B[0]=X[0] e B[k]=2X[k], k0, então Exemplo: Definimos a aproximação por soma parcial para a representação da FS da onda quadrada, isto é Suponha que T=1 e Ts/T=1/4. Neste caso,

17 Aula 12 Representação por Série de Fourier Descreva um período do J-ésimo termo nesta soma e para J=1,3,7, 29 e 99. Solução:

18 Aula 12 Representação por Série de Fourier

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