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COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.1. DEFINIÇÕES Circunferência: Considerando-se um ponto C qualquer de um plano, e.

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1 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.1. DEFINIÇÕES Circunferência: Considerando-se um ponto C qualquer de um plano, e uma medida positiva qualquer r, chama-se circunferência de centro C e raio r o conjunto de pontos do plano que distam de C a medida r.

2 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.1. DEFINIÇÕES Círculo: É a união de uma circunferência com os seus pontos interiores.

3 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.2. ELEMENTOS Arco: é qualquer uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois pontos A e B. Corda: é um segmento de reta determinado por dois pontos da circunferência. A corda que passa pelo centro da circunferência se chama diâmetro.

4 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.2. ELEMENTOS Flecha: o menor dos dois segmentos em que fica dividido o diâmetro de uma circunferência, por uma corda perpendicular a ele.. AB M P C AB: Corda MP: Flecha PP: Diâmetro P

5 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.3. REGIÕES DA CIRCUNFERÊNCIA E SUAS ÁREAS a) Círculo A =.r 2 b) Coroa Circular A =.R 2 -.r 2 c) Setor Circular 360 o r 2 o A 2..r r 2 C A Em função do ângulo : Em função do comprimento C:

6 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.3. REGIÕES DA CIRCUNFERÊNCIA E SUAS ÁREAS d) Segmento Circular A = A setor – A triângulo r A setor h 180 -

7 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA Tangente: um único ponto comum d = r Secante: dois pontos distintos em comum Exterior: não há ponto comum. d > r d < r

8 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA OBSERVAÇÃO: PROPRIEDADES a) Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. r T C.

9 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA OBSERVAÇÃO: PROPRIEDADES b) Considere P um ponto exterior a uma circunferência e os pontos A e B pertencentes a ela, de modo que os segmentos PA e PB sejam tangentes à circunferência. Dessa forma, as medidas desses segmentos são iguais. P A B. PA = PB

10 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA OBSERVAÇÃO: PROPRIEDADES c) Uma conseqüência da observação anterior: as somas dos lados opostos de um quadrilátero circunscrito são iguais.

11 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA OBSERVAÇÃO: PROPRIEDADES d) Arcos e cordas compreendidos entre cordas paralelas são geometricamente iguais.

12 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.5. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Externas Uma interna à outra

13 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.5. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Secantes Tangentes exteriormente

14 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.5. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Tangentes interiormente Coincidentes

15 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.6. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA Ângulo Central: o ângulo que tem como vértice o centro de uma circunferência é chamado ângulo central dessa circunferência. Ângulo Inscrito: é o ângulo cujo vértice pertence à circunferência e seus lados são secantes a ela.

16 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.6. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA Ângulo de segmento: é o ângulo cujo vértice pertence à circunferência, um lado é tangente e o outro é secante

17 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.6. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA Ângulo Excêntrico Interno: é o ângulo cujo vértice é um ponto qualquer interior à circunferência.

18 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.6. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA Ângulo Excêntrico Externo: é o ângulo cujo vértice é um ponto qualquer exterior à circunferência, e seus lados são secantes, ou tangentes, ou ainda um secante e um tangente à circunferência.

19 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.7. POTÊNCIA DE UM PONTO Ponto interior: Considere uma circunferência com duas cordas AB e CD concorrentes no ponto P, conforme a figura abaixo. Chama-se Potência do ponto P a cada um dos produtos PA.PB ou PC.PD.

20 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.7. POTÊNCIA DE UM PONTO Ponto exterior: Considere duas retas secantes a uma circunferência, e que se interceptam num ponto P exterior à circunferência, conforme a figura abaixo: Chama-se Potência do ponto P a cada um dos produtos PA.PB ou PC.PD.

21 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.7. POTÊNCIA DE UM PONTO OBSERVAÇÕES: a) A potência de um ponto P exterior à circunferência também pode ser calculado em relação a um segmento PT, tangente à circunferência em T. Observe na figura a seguir: PA.PB = PT 2

22 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 7.7. POTÊNCIA DE UM PONTO OBSERVAÇÕES: b) Pontos que pertencem à circunferência têm potência zero.

23 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Questão 4 Calcule a área da coroa circular limitada pelas circunferências inscritas e circunscritas a um triângulo eqüilátero de lado 4dm. a) dm 2 b) 2 dm 2 c) 3 dm 2 d) 4 dm 2 e) 5 dm 2

24 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Solução: r 2 R

25 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Questão 6 Uma placa retangular de aço tem 60cm de comprimento por 30cm de largura. Dessa placa será retirado o maior número possível de arruelas com 1,5cm de raio externo e 0,5 cm de raio interno. O aço que sobrar será fundido e transformado em uma placa circular, com a mesma espessura da placa original. A medida do raio dessa nova placa, em cm, será:

26 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Solução: 60 cm 30 cm 200 arruelas

27 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Questão 8 Sendo 18 cm 2 a área da coroa circular, e AB, uma corda da circunferência externa, tangente à circunferência interna, calcule a área do quadrado ABCD. a) 68 b) 70 c) 72 d) 74 e) 76

28 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Solução: R r x

29 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Questão 9 Com centro no ponto médio de cada lado e com raio igual à metade de cada um, descrevem-se quatro semicírculos que passam pelo centro do quadrado, conforme a figura abaixo. A área da rosácea de quatro folhas assim formada, em m 2, é igual a:

30 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Solução:

31 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Questão 10 Na figura a seguir, as quatro circunferências têm o mesmo centro, e seus raios são 2, 3, 4 e 5. A área do maior anel sombreado é p% maior do que a área do menor anel sombreado. Indique p. a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80

32 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Solução:

33 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Questão 11 Na figura, calcule a medida em graus do ângulo x. a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

34 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Solução: 25 o x = 25 º

35 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Questão 14 (UFPR-adaptada) Uma circunferência de raio 5cm tangencia um lado de uma quadrado e passa pelos vértices que não pertencem a esse lado, conforme a figura. Calcule a área desse quadrado. a) 25 cm 2 b) 40cm 2 c) 50cm 2 d) 64cm 2 e) 36cm 2

36 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Solução: x 10 – x (10 – x)/2

37 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Questão 17 (Fuvest) O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. A medida de é: a) /3 b) 2 c) 1 d) 2 /3 e) /2

38 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Solução:

39 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Questão 19 Traçam-se retas tangentes exteriores comuns a duas circunferências de raios 2cm e 4cm. Sabendo-se que as circunferências são tangentes exteriormente, calcule o perímetro do quadrilátero cujos vértices são o ponto de interseção das tangentes, o centro da circunferência maior e os pontos de contato das tangentes com a circunferência maior.

40 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Solução: 4 cm 2 cm 12 cm x

41 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Questão 20 (Mackenzie) Na figura, a medida de MN, tangente ao círculo, é variável. O perímetro do triângulo AMN é: a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

42 COLÉGIO MARISTA SÃO LUÍS GEOMETRIA PLANA 7. CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Solução: ab c


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