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Semanas 3 e 4: Sistemas e sua Classificação. PC-Semana 3e4 - RCBetini2 DEFINIÇÃO Um sistema é um modelo matemático de um processo físico que relaciona.

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1 Semanas 3 e 4: Sistemas e sua Classificação

2 PC-Semana 3e4 - RCBetini2 DEFINIÇÃO Um sistema é um modelo matemático de um processo físico que relaciona o sinal de entrada (excitação) com o sinal de saída (resposta). Usaremos, como exemplo, x(t) como o sinal de entrada de um sistema e y(t) como a resposta do sistema a esse sinal. Assim, a representação matemática desse sistema será: Onde T é a representação da regra que transforma x em y. Sabendo que um sinal é a representação de um valor que muda no tempo, e que um sinal carrega consigo informação, podemos também dizer que um sistema é a abstração de um processo ou objeto que coloca um número de sinais dentro de algum relacionamento.

3 PC-Semana 3e4 - RCBetini3 Sistemas com Uma ou Múltiplas entradas e saídas

4 PC-Semana 3e4 - RCBetini4 Sistemas Contínuos e Discretos no Tempo Quando os sinais de entrada e saída do sistema são sinais contínuos, isto é, tem valores contínuos de amplitude e de tempo, dizemos que o sistema é contínuo no tempo. Por outro lado, os sinais de entrada e saída podem ser discretos. Quando isso ocorre, o sistema é dito como discreto no tempo.

5 PC-Semana 3e4 - RCBetini5 Representação de Sistemas Contínuos e Sistemas Discretos

6 PC-Semana 3e4 - RCBetini6 Sistemas Com Memória e Sem Memória Um sistema é dito ser um sistema sem memória quando a saída em qualquer tempo depende somente da entrada naquele mesmo tempo. Um exemplo de sistema sem memória é um resistor R onde o sinal de entrada x(t) é a corrente e de saída y(t) é a tensão no resistor. O relacionamento de entrada e saída no Resistor é: y(t)=Rx(t) (Lei de Ohm). Sistemas que dependam de fatores anteriores são ditos sistemas com memória. Um exemplo de sistema com memória é um capacitor C que possui a corrente x(t) como entrada e a tensão y(t) como sinal de saída.

7 PC-Semana 3e4 - RCBetini7 Exemplo de Sistema com Memória Sistema discreto onde a entrada e a saída estão relacionados.

8 PC-Semana 3e4 - RCBetini8 SISTEMAS Sistemas com memória Sistemas sem memória

9 PC-Semana 3e4 - RCBetini9 Sistema Causal e Não Causal Um sistema é chamado de causal se sua saída y(t) em qualquer tempo arbitrário t=t 0 depende somente da entrada x(t) para t t 0.. Isto é, a saída de um sistema causal no tempo presente depende somente dos valores presentes ou passados da entrada, não de valores futuros. Ou seja, nunca poderemos ter uma saída se não for aplicado uma entrada! Um sistema é chamado de não causal se não for causal. Ex.: y(t)=x(t +1) p/ t=-1 ; y[n]=x[-n] p/ n=-1

10 PC-Semana 3e4 - RCBetini10 Exemplos de Sistemas não Causais A saída de um sistema causal no tempo presente depende somente dos valores presentes ou passados da entrada, não de valores futuros. Note que todos os sistemas sem memória são causais. Más o inverso não é verdadeiro.

11 PC-Semana 3e4 - RCBetini11 Sistemas Lineares e Não Lineares Se o operador T satisfaz as condições (1) e (2) então ele é dito ser um sistema linear e o operador é chamado de operador linear. (1) Aditividade => Tx 1 =y 1 e Tx 2 =y 2 então T{x 1 + x 2 } = y 1 + y 2 para qualquer sinais x 1 e x 2. (2) Homogeneidade ou Escalar T{ x} = y para qualquer sinal de x e escalar. Qualquer sistema que não satisfaz as condições (1) e (2) é chamado de sistema não linear.

12 PC-Semana 3e4 - RCBetini12 Sistemas Lineares e Não Lineares As condições anteriores podem ser combinadas numa única condição: Exemplo de sistemas não lineares: y = x 2 ; y =cos x. Note que como consequencia da propriedade de homogeneidade de sistemas lineares é que uma entrada zero produz uma saída zero. Ou se =0 então a saída também será zero.

13 PC-Semana 3e4 - RCBetini13 Sistemas Variantes e Invariantes no Tempo. O deslocamento do sinal representa o que ocorre com o sinal de saída em relação ao sinal de entrada. Definindo o deslocamento como T, o deslocamento é dado por:

14 PC-Semana 3e4 - RCBetini14 Sistemas Variantes e Invariantes no Tempo. No domínio da frequência, o deslocamento do sinal é chamado de H(s), onde s é a frequência, e H(s) é a relação do sinal de saída com o sinal de entrada, estando a saída e a resposta também no domínio da frequência. Neste caso, chamamos H(s) de função de transferência do sistema (FT). Para o cálculo e estudo de sistemas, é particularmente interessante estudarmos sistemas no qual o deslocamento do sinal não seja variável no tempo, pois assim podemos trabalhar com um sistema no qual apenas uma função será sua característica. Desta forma a FT é constante!

15 PC-Semana 3e4 - RCBetini15 Sistema Invariante no Tempo Um sitema é invariante no tempo se para um deslocamento no tempo (atraso ou avanço) do sinal de entrada houver o mesmo deslocamento de tempo no sinal de saída. Para sistemas contínuos teremos: Um sistema que não satisfaz as equações acima é chamado de variante no tempo. E para sistemas discretos teremos:

16 PC-Semana 3e4 - RCBetini16 Sistemas Lineares Invarintes no Tempo (Sistemas LTI) Sistemas lineares que também são invariantes no tempo são ditos sistemas Lineares Invariantes no Tempo ou Sistemas LTI (Linear Time Invariant).

17 PC-Semana 3e4 - RCBetini17 Sistemas Estáveis Um sistema é dito ser um sistema estável se ele satisfaz a condição de que um sinal de entrada x(t) produz uma resposta também limitada y(t), de forma que: Note que K 1 e K 2 são constantes reais e finitas!

18 PC-Semana 3e4 - RCBetini18 Sistemas com Realimentação ou Feedback Sistemas com retroalimentação, também chamados de sistemas de feedback ou retorno, são sistemas cuja saída é controlada pela entrada. Um exemplo bastante prático de sistema retroalimentado é uma estufa que tenha um sensor de temperatura. Desejando manter a temperatura constante, um sensor é instalado, junto com um ventilador ou um ar condicionado. Caso a temperatura lida esteja mais alta que a especificada, o sistema irá atuar para corrigir a saída.

19 PC-Semana 3e4 - RCBetini19 Sistemas com Realimentação ou Feedback Num sistema de Feedback o sinal de saída retorna e é adicionado a entrada do sistema.

20 PC-Semana 3e4 - RCBetini20 RELAÇÕES IMPORTANTES:

21 PC-Semana 3e4 - RCBetini21 Fórmula de Euler Identidades Trigonométricas

22 PC-Semana 3e4 - RCBetini22 Identidades Trigonométricas

23 PC-Semana 3e4 - RCBetini23 Expanção em Séries de Potências

24 PC-Semana 3e4 - RCBetini24 Funções Logarítmicas e Exponenciais

25 PC-Semana 3e4 - RCBetini25 Revisão sobre Números Complexos

26 PC-Semana 3e4 - RCBetini26 Revisão sobre Números Complexos

27 PC-Semana 3e4 - RCBetini27 Revisão sobre Números Complexos Onde j é o número complexo, x é a frequência e C a defasagem do sinal. Normalmente trabalhamos com a defasagem inicial sendo 0, para simplificar os cálculos.

28 PC-Semana 3e4 - RCBetini28 Exercícios Sobre Sinais e Sistemas

29 PC-Semana 3e4 - RCBetini29 1) Um sinal contínuo x(t) é mostrado na figura abaixo, desenhe e rotule cada um dos seguintes sinais:

30 PC-Semana 3e4 - RCBetini30 Resolução 1(a): SINAL DESLOCADO E ATRASADO EM RELAÇÃO A REFERÊNCIA t = t-2 t = 0 t = 2 t = 1 t = 3 t = 2 t = 4 t = 3 t = 5 t = 4 t = 6

31 PC-Semana 3e4 - RCBetini31 Resolução 1(b): SINAL COMPRIMIDO EM RELAÇÃO A t E AMPLITUDE AMPLIFICADA EM RELAÇÃO A t t = 2t t = 0 t = 1 t = 1/2 t = 2 t = 1 t = 3 t = 3/2 t = 4 t = 2

32 PC-Semana 3e4 - RCBetini32 Resolução 1(c): SINAL EXPANDIDO EM RELAÇÃO A t E AMPLITUDE COMPRIMIDA EM RELAÇÃO A t t = t/2 t = 0 t = 1 t = 2 t = 2 t = 4 t = 3 t = 6 t = 4 t = 8

33 PC-Semana 3e4 - RCBetini33 Resolução 1(c): SINAL TRANSLADADO EM 180° t = -t t = 0 t = 1 t = -1 t = 2 t = -2 t = 3 t = -3 t = 4 t = -4

34 PC-Semana 3e4 - RCBetini34 Resolução do exercício 1 Sinal atrasado de 2 unidades!Sinal comprimido! Sinal expandido de 2 unidades!Sinal transladado de 180 graus!

35 PC-Semana 3e4 - RCBetini35 2) Um sinal discreto no tempo é mostrado na figura abaixo. Desenhe e rotule cada um dos seguintes sinais:

36 PC-Semana 3e4 - RCBetini36 Resolução 2(a): SINAL DESLOCADO E ATRASADO EM 2 UNIDADES EM RELAÇÃO A REFERÊNCIA n = n-2 n = -2 n = 0 n = -1 n = 1 n = 0 n = 2 n = 1 n = 3 n = 2 n = 4 n = 3 n = 5 n = 4 n = 6 n = 5 n = 7 n = 6 n = 8

37 PC-Semana 3e4 - RCBetini37 Resolução 2(b): SINAL COMPRIMIDO EM 2 UNIDADES EM RELAÇÃO A n n = 2n n = -2 n = -1 n = -1 n = -1/2 n = 0 n = 1 n = 1/2 n = 2 n = 1 n = 3 n = 3/2 n = 4 n = 2 n = 5 n = 5/2 n = 6 n = 3

38 PC-Semana 3e4 - RCBetini38 Resolução 2(c): SINAL TRANSLADADO EM 180° n = -n n = -2 n = 2 n = -1 n = 1 n = 0 n = 1 n = -1 n = 2 n = -2 n = 3 n = -3 n = 4 n = -4 n = 5 n = -5 n = 6 n = -6

39 PC-Semana 3e4 - RCBetini39 Resolução 2(d): SINAL TRANSLADADO EM 180° E ADIANTADO DE 2 UNIDADES EM RELAÇÃO A n. n = -n+2 n = -2 n = 4 n = -1 n = 3 n = 0 n = 2 n = 1 n = 2 n = 0 n = 3 n = -1 n = 4 n = -2 n = 5 n = -3 n = 6 n = -4

40 PC-Semana 3e4 - RCBetini40 3) DADO O SINAL CONTÍNUO NO TEMPO ESPECIFICADO POR: a) Determine a sequência discreta no tempo obtida pela amostragem uniforme de x(t), com um intervalo de amostragem de 0,25s:

41 PC-Semana 3e4 - RCBetini41 3) DADO O SINAL CONTÍNUO NO TEMPO ESPECIFICADO POR: b) Determine a sequência discreta no tempo obtida pela amostragem uniforme de x(t), com um intervalo de amostragem de 0,50s:

42 PC-Semana 3e4 - RCBetini42 3) DADO O SINAL CONTÍNUO NO TEMPO ESPECIFICADO POR: c) Determine a sequência discreta no tempo obtida pela amostragem uniforme de x(t), com um intervalo de amostragem de 1,00s:

43 PC-Semana 3e4 - RCBetini43 4) OS SEGUINTES SINAIS POSSUEM AMPLITUDE DISCRETA, TEMPO DISCRETO E/OU SÃO DIGITAIS? Número de dias de chuva por mês. Amplitude e tempo discretos. Média de temperatura alta por mês. Amplitude contínua e tempo discreto. Temperatura atual. Amplitude e tempo contínuos. População atual da china. Amplitude discreta e tempo contínuo. Produção diária de leite de uma vaca. Tempo discreto e amplitude contínua.


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