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Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza e Crescimento Populacional Apresentação por: Gonçalo Martins de Sousa Apresentação no dia.

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1 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza e Crescimento Populacional Apresentação por: Gonçalo Martins de Sousa Apresentação no dia 10 de Outubro de 2002 Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia – Universidade de Coimbra Disciplina: Disciplina: Fundamentos e Ensino da Álgebra Apresentação por: Sónia Carvalheiro

2 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Apresentação: Crescimento na Natureza: Crescimento na Natureza: –Breve contexto Histórico; –Números de Fibonacci e Fórmula de Binet; –Números de Fibonacci e Álgebra: uma relação de Ouro –Os Números de Fibonacci e o Número de Ouro na Natureza; –Gnomos: breve definição e casos particulares (Triângulos de Ouro e Rectângulos de Ouro); –Rectângulo de ouro e suas aplicações; –Conclusão; –Exercícios Propostos.

3 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza. Breve Contexto Histórico Há mais de 2000 anos, os Gregos deram um contributo importantíssimo para a resposta a problemas relacionados com a natureza, nomeadamente através da Geometria Euclidiana e da descoberta dos números irracionais. Há mais de 2000 anos, os Gregos deram um contributo importantíssimo para a resposta a problemas relacionados com a natureza, nomeadamente através da Geometria Euclidiana e da descoberta dos números irracionais. Há cerca de 800 anos, Leonardo de Pisa ( ), mais conhecido por Fibonacci (Filius Bonacci), permitiu aprofundar ainda mais a relação entre a natureza e a matemática, com a descoberta de uma família de números à qual foi atribuida o seu nome (números de Fibonacci). Dessa família de números iremos analizar algumas características que permitem estabelecer essa importante relação com a natureza, nomeadamente no que ao crescimento diz respeito, relacionando esses números com a Álgebra e com a Geometria que, juntos, permitem responder a inúmeras questões relacionadas com o tema que estamos a desenvolver. Há cerca de 800 anos, Leonardo de Pisa ( ), mais conhecido por Fibonacci (Filius Bonacci), permitiu aprofundar ainda mais a relação entre a natureza e a matemática, com a descoberta de uma família de números à qual foi atribuida o seu nome (números de Fibonacci). Dessa família de números iremos analizar algumas características que permitem estabelecer essa importante relação com a natureza, nomeadamente no que ao crescimento diz respeito, relacionando esses números com a Álgebra e com a Geometria que, juntos, permitem responder a inúmeras questões relacionadas com o tema que estamos a desenvolver. Mais tarde, em 1638, René Descartes, Filósofo Francês, estudou, por razões puramente teóricas, uma equação (r=ae θ ), e cujo gráfico representa uma espiral. A razão de ser desta situação histórica tem a ver com o facto de as espirais desempenharem um papel importante na natureza, pelo que o seu estudo se reveste de grande importância, com vista à reposta, no que à Matemática diz respeito, de muitas questões que se prendem com o crescimento na Natureza. Neste trabalho, iremos por diversas vezes abordar a temática das espirais, explicando a razão da sua utilização. Mais tarde, em 1638, René Descartes, Filósofo Francês, estudou, por razões puramente teóricas, uma equação (r=ae θ ), e cujo gráfico representa uma espiral. A razão de ser desta situação histórica tem a ver com o facto de as espirais desempenharem um papel importante na natureza, pelo que o seu estudo se reveste de grande importância, com vista à reposta, no que à Matemática diz respeito, de muitas questões que se prendem com o crescimento na Natureza. Neste trabalho, iremos por diversas vezes abordar a temática das espirais, explicando a razão da sua utilização. Desde então, outros matemáticos se dedicaram a este tema, contribuindo alguns deles, nos últimos anos, para o desenvolvimento de teorias nesta área, com alguns conceitos de Matemática abstrata. Desde então, outros matemáticos se dedicaram a este tema, contribuindo alguns deles, nos últimos anos, para o desenvolvimento de teorias nesta área, com alguns conceitos de Matemática abstrata.

4 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza. Numeros de Fibonacci e Fórmula de Binet Parte-se do princípio que todos os presentes sabem construir a sucessão dos números de Fibonacci. F 1 =1; F 2 =1; F n =F n-2 +F n-1 (n>2). A estratégia pode ser usada logo no 3º Ciclo do Ensino Básico, nomeadamente através dos exercícios práticos do tipo Apresente uma continuação para a sequência apresentada, indicando, por exemplo, os primeiros 5 termos da sequência dos números de Fibonacci. Mais tarde, no Ensino Secundário, ao abordar o tema das sucessões, já se poderá pedir ao aluno para achar alguns dos termos apresentados pela sequência definida por recorrência, ou pedir ao aluno para definir a sucessão por recorrência, apresentando os primeiros n termos (sendo n não demasiado grande…) Parte-se do princípio que todos os presentes sabem construir a sucessão dos números de Fibonacci. F 1 =1; F 2 =1; F n =F n-2 +F n-1 (n>2). A estratégia pode ser usada logo no 3º Ciclo do Ensino Básico, nomeadamente através dos exercícios práticos do tipo Apresente uma continuação para a sequência apresentada, indicando, por exemplo, os primeiros 5 termos da sequência dos números de Fibonacci. Mais tarde, no Ensino Secundário, ao abordar o tema das sucessões, já se poderá pedir ao aluno para achar alguns dos termos apresentados pela sequência definida por recorrência, ou pedir ao aluno para definir a sucessão por recorrência, apresentando os primeiros n termos (sendo n não demasiado grande…) É obvio que não será muito conveniente pedir ao aluno para achar o 100º termo da sequência (F 100 ). Basta para tal ter em conta que: É obvio que não será muito conveniente pedir ao aluno para achar o 100º termo da sequência (F 100 ). Basta para tal ter em conta que: F 98 = F 99 = F 100 = (e ainda mais fácil para os termos que sucedem ) Há cerca de 250 anos, Leonhard Euler descobriu uma fórmula, um pouco complicada, mas que permite de forma mais directa, definir uma aproximação para qualquer termo da Sucessão dos Números de Fibonacci. Cerca de 100 anos depois, Jacques Binet redescobriu a fórmula, e continuou o trabalho, acabando a fórmula por adquirir o seu nome (Fórmula de Binet). Há cerca de 250 anos, Leonhard Euler descobriu uma fórmula, um pouco complicada, mas que permite de forma mais directa, definir uma aproximação para qualquer termo da Sucessão dos Números de Fibonacci. Cerca de 100 anos depois, Jacques Binet redescobriu a fórmula, e continuou o trabalho, acabando a fórmula por adquirir o seu nome (Fórmula de Binet). Eis então a Fórmula de Binet para Números de Fibonacci:

5 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza. Numeros de Fibonacci e Álgebra: uma relação de Ouro Se observarmos a tabela à direita, constatamos com alguma facilidade que a razão entre dois números de Fibonacci sucessivos se aproxima do valor 1,61803 (tomando apenas 5 casas decimais para arredondamento), à medida que o valor de n aumenta. Se observarmos a tabela à direita, constatamos com alguma facilidade que a razão entre dois números de Fibonacci sucessivos se aproxima do valor 1,61803 (tomando apenas 5 casas decimais para arredondamento), à medida que o valor de n aumenta. Usando um programa do género do Excel, poderíamos verificar que esse valor não corresponde exactamente àquele que apresentámos (alterando a largura das células da segunda coluna - F n+1 /F n, alteramos a margem de erro pretendida). Usando um programa do género do Excel, poderíamos verificar que esse valor não corresponde exactamente àquele que apresentámos (alterando a largura das células da segunda coluna - F n+1 /F n, alteramos a margem de erro pretendida). Ao valor lim n (F n+1 /F n ) = Φ, chamamos Número de ouro. Ao valor lim n (F n+1 /F n ) = Φ, chamamos Número de ouro. Esse valor coincide com a raiz da equação x 2 = x+1. Esse valor coincide com a raiz da equação x 2 = x+1. Resolvendo a equação, verificamos que constitui uma das suas raizes. Resolvendo a equação, verificamos que constitui uma das suas raizes. Calculando o valor apresentado, verificamos que esse valor coincide com Φ. Calculando o valor apresentado, verificamos que esse valor coincide com Φ. NOTA: Quando nos referimos a Φ, devemos ter em consideração que Φ Є R.

6 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza. Numeros de Fibonacci e Álgebra: uma relação de Ouro (cont.) a equação x 2 = x+1 permite-nos calcular o valor de Φ n. a equação x 2 = x+1 permite-nos calcular o valor de Φ n. Na verdade, verificamos com facilidade que Φ 2 = Φ+1. Na verdade, verificamos com facilidade que Φ 2 = Φ+1. Daí vem que Φ 3 = Φ 2 + Φ = (Φ+1) + Φ = 2Φ + 1 Daí vem que Φ 3 = Φ 2 + Φ = (Φ+1) + Φ = 2Φ + 1 Φ 4 = 2Φ 2 + Φ = 2(Φ+1) + Φ = 3Φ + 2 Φ 4 = 2Φ 2 + Φ = 2(Φ+1) + Φ = 3Φ + 2 Φ 5 = 3Φ 2 + 2Φ = 3(Φ+1) + 2Φ = 5Φ + 3 Φ 5 = 3Φ 2 + 2Φ = 3(Φ+1) + 2Φ = 5Φ + 3 Φ 6 = 5Φ 2 + 3Φ = 5(Φ+1) + 3Φ = 8Φ + 5 Φ 6 = 5Φ 2 + 3Φ = 5(Φ+1) + 3Φ = 8Φ + 5 E facilmente se prova por indução que: Φ n = F n Φ + F n-1 Φ n = F n Φ + F n-1 Todo o estudo que temos desenvolvido levanta normalmente no aluno a eterna dúvida que se prende com a sua utilidade. Todo o estudo que temos desenvolvido levanta normalmente no aluno a eterna dúvida que se prende com a sua utilidade. Iremos de seguida apresentar alguns casos que permitem elucidar a razão da importância que os Números de Fibonacci e o Número de Ouro ocupam na Natureza… Iremos de seguida apresentar alguns casos que permitem elucidar a razão da importância que os Números de Fibonacci e o Número de Ouro ocupam na Natureza… ???

7 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza. Os Números de Fibonacci e o Número de Ouro na Natureza; Ramos de troncos em árvores Algumas plantas apresentam os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos. Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a cada mês, sendo que um broto leva dois meses para produzir o seu primeiro broto. Existem várias plantas cujo crescimento se parecem com o descrito aqui. Existe uma planta denominada Achillea ptarmica, que tem estas características Algumas plantas apresentam os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos. Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a cada mês, sendo que um broto leva dois meses para produzir o seu primeiro broto. Existem várias plantas cujo crescimento se parecem com o descrito aqui. Existe uma planta denominada Achillea ptarmica, que tem estas características

8 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza. Os Números de Fibonacci e o Número de Ouro na Natureza; Filotaxia: Um caso ainda por explicar... (Curiosidades) Os números de Fibonacci também são encontrados em arranjos de folhas (Filotaxia). Consideremos que exista um padrão helicoidal (para a esquerda ou para a direita) para as folhas em torno do caule. Cada conjunto de 3 folhas consecutivas (1,2,3) nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e entre 2 e 3, mantendo uma certa distância ao longo do caule. Na figura, a folha 3 forma um mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2 forma com 1. Admitimos o mesmo padrão para todas as folhas restantes. Neste exemplo, temos 5 folhas e 2 voltas. Cada volta é entendida como uma rotação de 360 o para que uma folha se possa sobrepor à outra. Para que isto ocorra cada ângulo deverá ser igual a 2x360 o ÷5=144 o. Os números de Fibonacci também são encontrados em arranjos de folhas (Filotaxia). Consideremos que exista um padrão helicoidal (para a esquerda ou para a direita) para as folhas em torno do caule. Cada conjunto de 3 folhas consecutivas (1,2,3) nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e entre 2 e 3, mantendo uma certa distância ao longo do caule. Na figura, a folha 3 forma um mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2 forma com 1. Admitimos o mesmo padrão para todas as folhas restantes. Neste exemplo, temos 5 folhas e 2 voltas. Cada volta é entendida como uma rotação de 360 o para que uma folha se possa sobrepor à outra. Para que isto ocorra cada ângulo deverá ser igual a 2x360 o ÷5=144 o. Podemos identificar o período p como o número de voltas necessárias até nascer uma nova folha que se sobrepõe à primeira e m indicará o número de folhas por período, neste caso, p=2 e m=5. Numerosas experiências com plantas mostraram que p e m assumem mais frequentemente valores como 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., que são os números da sequência de Fibonacci. Existem também exceções, mas os números de Fibonacci ocorrem tão frequentamente que não podem ser explicados como casuais. Os biólogos tantaram explicar a predominância dos números de Fibonacci na Filotaxia. A simetria das folhas pode dar equilíbrio ao caule e também facilitar a exposição à luz, mas a ciência está longe de dar uma explicação satisfatória. Podemos identificar o período p como o número de voltas necessárias até nascer uma nova folha que se sobrepõe à primeira e m indicará o número de folhas por período, neste caso, p=2 e m=5. Numerosas experiências com plantas mostraram que p e m assumem mais frequentemente valores como 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., que são os números da sequência de Fibonacci. Existem também exceções, mas os números de Fibonacci ocorrem tão frequentamente que não podem ser explicados como casuais. Os biólogos tantaram explicar a predominância dos números de Fibonacci na Filotaxia. A simetria das folhas pode dar equilíbrio ao caule e também facilitar a exposição à luz, mas a ciência está longe de dar uma explicação satisfatória.

9 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza. Os Números de Fibonacci e o Número de Ouro na Natureza; ESPIRAIS DE FIBONACCI NAS: Sementes de flores: Sementes de flores: Os números de Fibonacci também podem ser vistos na organização das sementes na coroa das flores. À esquerda, encontra-se o diagrama de como o girassol ou uma margarida podem parecer quando aumentados. O centro é marcando com um ponto preto. Pode ver que as sementes parecem formar espirais a curvar tanto para a direita como para a esquerda. Se contar essas espirais que partem da direita, a partir da borda da figura, são 34. Para o outro lado quantas são? Verá que esses dois números são vizinhos na série de Fibonacci. Os números de Fibonacci também podem ser vistos na organização das sementes na coroa das flores. À esquerda, encontra-se o diagrama de como o girassol ou uma margarida podem parecer quando aumentados. O centro é marcando com um ponto preto. Pode ver que as sementes parecem formar espirais a curvar tanto para a direita como para a esquerda. Se contar essas espirais que partem da direita, a partir da borda da figura, são 34. Para o outro lado quantas são? Verá que esses dois números são vizinhos na série de Fibonacci. O mesmo acontece nas sementes reais da natureza. A razão, parece estar na forma da distribuição óptima das sementes, não importando o seu tamanho, mas sim a sua distribuição uniforme, desde que não estejam acumuladas no centro nem demasiado afastadas da margem. Se contar as espirais perto do centro nas duas direcções, serão ambos números de Fibonacci. (Desenvolvimento – ver J.H.Conway – O Livro dos Números – pág. 129 a 139) À direita estão algumas figuras de 500, 1000 e 5000 sementes. À direita estão algumas figuras de 500, 1000 e 5000 sementes.

10 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza. Os Números de Fibonacci e o Número de Ouro na Natureza; O Nautilus Marinho Juntando dois quadrados unitários (Lado=1), teremos um retângulo 2x1, sendo que o comprimento 2 é igual à soma dos lados dos quadrados anteriores). De novo anexamos outro quadrado com L=2 (o maior dos lados do retângulo anterior) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos antes. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3, 5, 8, 13,... que é a sequência de Fibonacci. Juntando dois quadrados unitários (Lado=1), teremos um retângulo 2x1, sendo que o comprimento 2 é igual à soma dos lados dos quadrados anteriores). De novo anexamos outro quadrado com L=2 (o maior dos lados do retângulo anterior) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos antes. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3, 5, 8, 13,... que é a sequência de Fibonacci. Com um compasso, tracemos um quarto de circunferência no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado. De acordo com esse desenho, tracemos quartos de circunferências nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1. Com um compasso, tracemos um quarto de circunferência no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado. De acordo com esse desenho, tracemos quartos de circunferências nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1. Considerando as concordâncias dessas curvas, obteremos uma espiral como a que aparece no Nautilus marinho. Considerando as concordâncias dessas curvas, obteremos uma espiral como a que aparece no Nautilus marinho.

11 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza. Gnomos: Breve definição e casos particulares… Gnomos... Afinal, de que se trata? Para os Antigos Gregos, Gnómon (conhecedor) era uma peça que podia juntar-se a uma figura, para produzir uma outra figura da mesma forma, mas de maior tamanho. Para os Antigos Gregos, Gnómon (conhecedor) era uma peça que podia juntar-se a uma figura, para produzir uma outra figura da mesma forma, mas de maior tamanho. Pressupõe-se o conhecimento prévio das noções de semelhança de figuras. Pressupõe-se o conhecimento prévio das noções de semelhança de figuras. No caso que se encontra retratado à direita (fundo), se continuarmos a aplicar gnomos aos sucessivos triângulos isósceles de ângulos 72 o -72 o -36 o (que são triângulos isósceles de ângulos 36 o -36 o -108 o. Cada um desses triângulos e dos respectivos gnomos apresenta uma característica: a razão entre o lado mais comprido e o mais curto é o número de ouro. No caso que se encontra retratado à direita (fundo), se continuarmos a aplicar gnomos aos sucessivos triângulos isósceles de ângulos 72 o -72 o -36 o (que são triângulos isósceles de ângulos 36 o -36 o -108 o. Cada um desses triângulos e dos respectivos gnomos apresenta uma característica: a razão entre o lado mais comprido e o mais curto é o número de ouro. Pelas características apresentadas, chamamos a esses triângulos Triângulos de Ouro ou Triângulos Áureos. Pelas características apresentadas, chamamos a esses triângulos Triângulos de Ouro ou Triângulos Áureos. 72 o 36 o

12 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza. Rectângulo de Ouro e suas aplicações. No caso que apresentámos, referente ao Nautilus Marinho, tendo em conta a contrução dos sucessivos rectângulos, observamos que as razões sucessivas entre os comprimentos e as larguras se aproximam da razão de ouro (Φ). No caso que apresentámos, referente ao Nautilus Marinho, tendo em conta a contrução dos sucessivos rectângulos, observamos que as razões sucessivas entre os comprimentos e as larguras se aproximam da razão de ouro (Φ). A um rectângulo cuja razão entre comprimento e largura é o número de ouro, chamamos Rectângulo de Ouro ou Rectângulo Áureo. Esse tipo de rectângulos aparece também na Economia, nomeadamente na confecção de embalagens. O rectângulo de ouro torna- se agradável à vista. A um rectângulo cuja razão entre comprimento e largura é o número de ouro, chamamos Rectângulo de Ouro ou Rectângulo Áureo. Esse tipo de rectângulos aparece também na Economia, nomeadamente na confecção de embalagens. O rectângulo de ouro torna- se agradável à vista. Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci chamava esta de Divina Proporção e a usou em muitos de seus trabalhos. No quadro Mona Lisa pode-se observar a proporção Áurea em várias situações. Por exemplo, se construirmos um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este possui a proporção do retângulo Áureo. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e temos novamente a proporção Áurea. Podemos continuar a explorar esta proporção em várias outras partes do corpo. Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci chamava esta de Divina Proporção e a usou em muitos de seus trabalhos. No quadro Mona Lisa pode-se observar a proporção Áurea em várias situações. Por exemplo, se construirmos um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este possui a proporção do retângulo Áureo. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e temos novamente a proporção Áurea. Podemos continuar a explorar esta proporção em várias outras partes do corpo.

13 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Conclusão Fibonacci e os seus números contribuiram grandemente para a resolução de problemas de crescimento na natureza, nomeadamente questões onde, geometricamente, prevalece o aparecimento de espirais. Podemos por isso afirmar que as espirais são um símbolo de crescimento. Fibonacci e os seus números contribuiram grandemente para a resolução de problemas de crescimento na natureza, nomeadamente questões onde, geometricamente, prevalece o aparecimento de espirais. Podemos por isso afirmar que as espirais são um símbolo de crescimento. O número de ouro representa uma razão que chegou, em tempos a ser apelidada de Divina Proporção, por ocorrer um pouco em todas as áreas, desde as Ciências à Economia, passando pela Arte. O número de ouro representa uma razão que chegou, em tempos a ser apelidada de Divina Proporção, por ocorrer um pouco em todas as áreas, desde as Ciências à Economia, passando pela Arte. Recorrendo a figuras geométricas e alguns dos seus Gnomos, e aplicando alguma Álgebra, consegue-se resolver muitos problemas que, de outro modo, poderiam ser de muito mais complicada resolução, facilitando a compreensão e o raciocínio conducentes a essa resolução. Recorrendo a figuras geométricas e alguns dos seus Gnomos, e aplicando alguma Álgebra, consegue-se resolver muitos problemas que, de outro modo, poderiam ser de muito mais complicada resolução, facilitando a compreensão e o raciocínio conducentes a essa resolução.

14 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza. Problema das abelhas (Exercício) O macho da família de abelhas é chamado zangão, que é chocado de ovos não fertilizados (partogênese). O macho da família de abelhas é chamado zangão, que é chocado de ovos não fertilizados (partogênese). Como consequência disto, cada zangão não tem pai mas têm um avô por parte materna. Usando as idéias de sequências de Fibonacci, você saberia calcular o número de ancestrais de um zangão n gerações atrás? Se não souber, faça uma pesquisa na Internet pois existem páginas excelentes sobre o assunto.

15 Trabalho nº2 - Ano Lectivo 2002/2003 Crescimento na Natureza. Páginas consultadas na Internet e Bibliografia John H. Conway, Richard K. Guy John H. Conway, Richard K. Guy O Livro dos Números (Tradução de José Sousa Pinto) 1ª Edição – Outubro / 99 Gradiva – Universidade de AveiroISBN X


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