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Teorema da Recursão Teoria da Computação Pós-graduação em Ciência da Computação Profa. Sandra de Amo.

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1 Teorema da Recursão Teoria da Computação Pós-graduação em Ciência da Computação Profa. Sandra de Amo

2 Auto-referência Máquina de Turing SELF SELF = No input w 1. Apaga w da fita; 2. Insere na fita o string = código da máquina SELF

3 Como construir a máquina SELF Passo 1 : Máquina P w = máquina que imprime w na fita P w = No input x 1. Ignora x 2. Imprime w na fita Exemplo : w = 00 Código da máquina P 00 δ(q0,x) = (q1,0,R), para qualquer simbolo x da fita δ(q1,x) = (q2,0,R), para qualquer simbolo x da fita δ(q2,x) = (q2,B,R), para x B δ(q2,B) = (qa,B,R).

4 Como construir a máquina SELF Passo 2 : Máquina Q = máquina que no input w imprime o código da máquina que imprime w. Q w Máquina de 2 fitas: Q = No input w 1. Constrói o string na fita 2 2. Apaga w da fita 1 3. Copia na fita 1 Input = w Output = (código da máquina P w )

5 Como construir a máquina SELF Passo 3 : Máquina B B = No input 1. Computa Q( ) = > 2. Imprime na fita. M > 3. Pára. M > é o código concatenado de > e δ(q0,..) = (q1,...) δ(q_0,...) =... δ(q0,...)= (q1,...) δ(q,..) = (qa,..) δ(q,..) = (qa,....) δ(q,...) = (q_0,...) δ(q,...) = (qa,...) >

6 Como construir a máquina SELF Passo 4 : Máquina A A = P Passo 5 : Máquina SELF SELF = A. B

7 Máquina SELF Self = No input x faça 1. Ignora x 2. Executa A: Imprime código da máquina B na fita 3. Executa B sobre o string da fita (no caso ) : Imprime código da máquina que imprime B na fita seguido do código de B 4. Resultado na fita =

8 Máquina SELF = A.B Input w a1 a2 a3 a4 a5 A qB0qB0 0 q1 0R B # qA0qA0 0 q4 1L # > = qB0qB0 0 q1 0R # 0... q1 0

9 Teorema da Recursão Seja T máquina de Turing a duas fitas que recebe como input dois strings : w na primeira fita e u na segunda fita T : (w, u) z Então existe máquina de Turing R com uma fita tal que R(u) = T(, u)

10 Prova do Teorema da Recursão Considere a máquina P w a duas fitas P w = No input x 1. Transporta x para a segunda fita 2. Imprime w na primeira fita Seja A = P R = A.B.T

11 Input w a1 a2 a3 a4 a5 A q BT 0 0 q1 0R B # qA0qA0 0 q4 1L # > = q BT 0 0 q1 0R # 0... q1 0 1a fita T a1 a2 a3 a4 a5 2a fita 1a fita LOGO : ABT (a1a2....a5) = T(,a1a2...a5)

12 Característica da Máquina R Constrói uma réplica de seu próprio código. Continua o restante de seu cálculo que pode incluir ações envolvendo seu próprio código. Programas de vírus contém construção análoga à descrita na prova do teorema da recursão.

13 Outra formulação do Teorema da Recursão Seja T máquina de Turing a duas fitas. Para cada w fixo, seja a máquina de Turing a uma fita T w : u z Existem infinitas máquinas deste tipo. O teorema da Recursão afirma que existe uma máquina de Turing R a uma fita tal que T = R

14 Aplicações do Teorema da Recursão Virus: Dada uma máquina T, é possivel construir uma máquina T equivalente a T que replica seu próprio código na fita. T = A.B.T T: No input x faça Executa A Executa B % Após a execução do passo 2, tem-se o código de T na fita 1 e x na fita 2 3) Executa T sobre x (que está na 2a fita) 4) Se T aceita x, aceita. Se T rejeita x, rejeita.

15 Aplicações do Teorema da Recursão Outra prova que o Problema da Parada é indecidível. Suponha que Halt fosse decidível. Seja H uma MT que decide Halt. Considere a máquina H que retorna o oposto de H: H( ) = qa se H( ) = qr H( ) entra em loop se H( ) = qa Considere a máquina H = ABH H : No input w faça: 1) Executa A 2) Executa B % Após a execução do passo 2, tem-se o código de H na fita 1 e w na fita 2 3) Executa H em H(w) = qa (pára) se H(H,w) = qr (isto é, se H não pára ao ser executada em w) H(w) entra em loop (não pára) se H(H,w) = qa (isto é, se H pára ao ser executada em w) ABSURDO !

16 Aplicações do Teorema da Recursão M é uma máquina minimal se não é possivel encontrar máquina M equivalente com código mais curto. Problema MIN = { | M é uma MT minimal} não é Turing Reconhecível. É fácil ver que o MIN é infinito (existem infinitas máquinas que são minimais).

17 Prova Suponha que MIN fosse Turing Reconhecível. Seja E uma máquina enumeradora de MIN. Seja E a seguinte máquina: E : No input x faça: 1)Aciona o enumerador E 2)A primeira vez que aparece um código de máquina de Turing D no dispositivo de impressão de E que seja maior do x, simule D em x. Repare que como MIN é infinito, sempre vai aparecer um código D maior do que x no dispositivo de impressão de E.

18 Prova (continuação) Considere a máquina M = ABE M = No input w faça 1) Executa A 2) Executa B % Após a execução do passo 2, tem-se o código de M na fita 1 e w na fita 2 3) Executa E em M(w) = D(w). Como o código de D é maior do que o de M então D não pode estar em MIN. Mas o código de D aparece na enumeração dos códigos de MIN !! ABSURDO

19 Teorema do Ponto Fixo Seja f: * * uma função computável qualquer. f pode ser aplicada sobre códigos de máquina de Turing, produzindo como resposta um string que pode ou não ser código de máquina de Turing. Teorema do Ponto Fixo: Existe uma máquina de Turing F tal que f( ) é um código de MT equivalente a F Isto é: o comportamento da máquina F fica inalterado após a transformação de seu código via f.

20 Prova do Teorema do Ponto Fixo Considere a seguinte máquina G G( ) = f( )(w) Considere a máquina F = ABG. Vamos mostrar que F é equivalente à máquina f( ) F = No input w faça: 1. Execute A 2. Execute B % Após a execução do passo 2, tem-se o código de F na fita 1 e w na fita 2 3. Execute G em ( ) Logo: F(w) = G( ) = f( )(w). Portanto F é equivalente a f( ).


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