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Geometria fractal, distribuição de partículas, distribuição de poros e condutividade hidráulica em solos Conceituação básica de geometria fractal Aplicação.

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Apresentação em tema: "Geometria fractal, distribuição de partículas, distribuição de poros e condutividade hidráulica em solos Conceituação básica de geometria fractal Aplicação."— Transcrição da apresentação:

1 Geometria fractal, distribuição de partículas, distribuição de poros e condutividade hidráulica em solos Conceituação básica de geometria fractal Aplicação do conceito na análise das relações entre textura, porosidade e condutividade hidráulica de solos

2 Bibliografia recomendada: ARYA, L.M., J.F. PARIS A physicoempirical model to predict the soil moisture characteristic from particle-size distribution and bulk density data. Soil Sci. Soc. Am. J. 45: PERFECT, E.; KAY, B.D Applications of fractals in soil and tillage research: a review. Soil & Tillage Research 36:1-20. PUCKETT, W.E.; DANE, J.H.; HAJEK, B.F Physical and Mineralogical Data to Determine Soil Hydraulic Properties. Soil Sci. Soc. Am. J. 49(4) TURCOTTE, D.L Fractals and fragmentation. Journal of Geophysics Research, p.91, n.b2, p TYLER, W.S.; S.W. WHEATCRAFT Application of fractal mathematics to soil water retention estimation. Soil Science Society of America Journal, v.3, p TYLER, W.S.; S.W. WHEATCRAFT Fractal Processes in soil water retention. Water Resources Research, v.26, n.5, p TYLER, W.S.; S.W. WHEATCRAFT Fractal Scaling of Soil Particle-Size Distributions: Analysis and Limitations, Soil Science Society of America Journal, v.56, p BACCHI, O.O.S.; REICHARDT, K Geometria fractal em física do solo Sci. Agric., Piracicaba, 50(2): , jun/set. BACCHI, O.O.S.; REICHARDT, K., VILLA NOVA, N.A Fractal scaling of particle and pore size distributions and its relation to soil hydraulic conductivity. Sci. Agric., Piracicaba, 53(2/3): MANDELBROT, B.B. The fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Co., New York, 1982 Barnsley,M.F.; Devaney, R.L; Mandelbrot, B.B., Peitgen, H.O., Saupe, D., Voss, R.F. The Science of Fractal Images. Heinz-Otto Peitgen and Dietmar Saupe Ed., Springer-Verlag, New York, 1988.

3 O termo fractal é definido em Mandelbrot,1982, e vem do adjetivo em latin fractus, cujo verbo frangere significa quebrar, criar fragmentos irregulares. Etimologicamente, o termo fractal é o oposto do termo algebra ( do árabe jabara) que significa juntar, ligar as partes. Fractal Segundo Mandelbrot, fractais são objetos não topológicos, ou seja, objetos para os quais a dimensão de Hausdorff Besicovitch é um número real não inteiro que excede o valor da dimensão topológica. Objeto topológica e objeto fractal Objeto topológico = formas geométricas Euclideanas Dimensões topológicas inteiras Ponto = 0 Linha = 1 Superfície = 2 Volume = 3 Objeto fractal = formas geométricas não Euclideanas Dimensões fracionárias maiores que as das formas geométricas Euclideanas A dimensão fractal está relacionada à rapidez com que a medida estimada do objeto aumenta enquanto a escala de medida diminui.

4 Auto-similaridade ou escalonamento: Cada parte de um objeto fractal é geometricamente semelhante ao todo A geometria do objeto é semelhante para qualquer escala de observação do objeto a) L 1 =4/3L o ; N=4 b) c) L o =1 ; N o =1 L 2 =16/9L o ; N=16 d) Próximo estágio L 3 = 64/27L o ; N=64 N.r D =1..26,1 27log 64log 9 16log 3 4 (1/r)log N D r 1 =L o /3 r 2 =L o /9 r 3 =L o /27

5 N.r D =1 L=1 N=1 L=1 N=2 N=3 r=1/2 r=1/3 Generalização da relação Formas geométricas Euclideanas, ou de dimensões topológicas inteiras são casos particulares N.r 1 =1 1) Objetos unidimensionais

6 r(linear) =1/2 r(área) =1/4 N=1 A=1 N=4 A=1/4 r(linear) =1/4 r(área) =1/16 N=16 A=1/16 A=1/4 N.r 2 =1 2) Objetos bidimensionais

7 L L/2 N=1 V=1 N=8 V=1/4 r(linear) =1/2 r(volume)=1/4 r(linear) =1/4 r(volume)=1/16 N=64 V=1/16 N.r 3 =1 3) Objetos tridimensionais

8 N=8 r=1/3 N=64 r=1/9 N.r 1,8928 =1 Objetos D dimensionais

9 Dimensão fractal e retenção de água no solo r Poro capilar delineado por partículas de solo de diferentes tamanhos comprimento L do poro depende da escala r de medida Na geometria Euclideana Da geometria fractal (1) (2) Substituindo (2) em (1) Se D > 1, (linha tortuosa) L(r) aumenta mais que proporcionalmente a diminuição de r Escala de medida

10 Comprimento do poro em função da escala Fazendo r = (2.R i ) = diâmetro de partículas na escala r Tomando-se em (2) um comprimento de poro L i = 2R i o número N de partículas envolvidas será N=1 (1) (2) Portanto (1) será: Como:

11 Volume de partículas e de poros em função da escala Void ratio Como: Potencial da água no solo em função da escala (1) (2) Subst. (1) em (2): Potencial mátrico do solo em função de R, N ( textura) e D (dimensão fractal dos capilares) ??

12 Determinação da dimensão fractal N = número de partículas R = ráio de partículas D V = dimensão fractal volumétrica Dificuldade prática de se avaliar N(R) (Tyler & Wheatcraft, 1992) (Tyler & Wheatcraft, 1989) 1) Pela distribuição de tamanho de partículas 2) Pela distribuição de massa de partículas 3) Pela distribuição de volume de poros (Bacchi et al. 1996)

13 Um teste prático de avaliação dos modelos Deve refletir a tortuosidade dos capilares Reflexo na condutividade hidráulica do solo Dimensão fractal dos capilares

14 Pela distribuição de massa de partículas

15 Pela distribuição de volume de poros

16

17 y = x R 2 = DV(m) DV( ) Grupo de solos arenosos y = x R 2 = DV(m) DV( ) Grupo de solos argilosos

18 Outras aplicações Avaliação de rugosidades no solo Simulações da matriz do solo


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