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Resolução Numérica de Equações (Parte III) Cálculo Numérico Módulo III Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz José Eustáquio Rangel de Queiroz Marcelo.

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1 Resolução Numérica de Equações (Parte III) Cálculo Numérico Módulo III Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz José Eustáquio Rangel de Queiroz Marcelo Alves de Barros

2 2 Análise Comparativa dos Métodos Garantias de Convergência Garantias de Convergência Rapidez de Convergência Rapidez de Convergência Esforço Computacional Esforço Computacional Critérios de Comparação

3 3 Análise Comparativa dos Métodos BissecçãoFalsa Posição Bissecção e Falsa Posição Convergência garantida contínuaab f(a)f(b)<0 Convergência garantida, desde que a função seja contínua num intervalo [a,b], tal que f(a)f(b)<0 Garantias de Convergência dos Métodos Ponto Fixo Newton-RaphsonSecante Ponto Fixo, Newton-Raphson e Secante mais restritivas Condições mais restritivas de convergência satisfeitas mais rápidos Se as condições de convergência forem satisfeitas, os dois últimos métodos são mais rápidos do que os demais estudados

4 4 Análise Comparativa dos Métodos Número de Iterações rapidez de convergência Número de Iterações Medida usualmente adotada para a determinação da rapidez de convergência de um método conclusiva Não deve ser uma medida conclusiva sobre o tempo de execução do programa Tempo gasto Variável Tempo gasto na execução de uma iteração Variável de método para método Rapidez de Convergência

5 5 Análise Comparativa dos Métodos Indicadores operações Número de operações efetuadas a cada iteração; Complexidade Complexidade das operações; decisões Número de decisões lógicas; avaliações Número de avaliações de função a cada iteração; e iterações Número total de iterações. Esforço Computacional

6 6 Análise Comparativa dos Métodos Conclusões gerais sobre a eficiência computacional de um método. Bissecçãosimples Bissecção Cálculos mais simples por iteração Newtonelaborados Newton Cálculos mais elaborados Bissecção muito maior Newton Número de iterações da Bissecção é, na grande maioria das vezes, muito maior do que o número de iterações efetuadas por Newton Esforço Computacional

7 7 Análise Comparativa dos Métodos Convergência assegurada Convergência assegurada Ordem de convergência alta Ordem de convergência alta Cálculos por iteração simples Cálculos por iteração simples Condições a Serem Satisfeitas pelo Método Ideal

8 8 Análise Comparativa dos Métodos Newton-Raphson f´(x) Newton-Raphson Caso seja fácil a verificação das condições de convergência e o cálculo de f´(x) Secante f´(x) f´(x) Secante Caso seja trabalhoso obter e/ou avaliar f´(x), uma vez que não é necessária a obtenção de f´(x) Escolha do Melhor Método

9 9 Análise Comparativa dos Métodos redução BissecçãoFalsa Posição Modificadonão Falsa Posição Se o objetivo for a redução do intervalo que contém a raiz Bissecção ou Falsa Posição Modificado (não usar o Método da Falsa Posição) valor inicial Newton-RaphsonSecante x k Se a escolha parte de um valor inicial para a raiz Newton-Raphson ou da Secante (pois trabalham com aproximações x k para a raiz exata) importante Critério de Parada Detalhe importante na escolha do método

10 10 Análise Comparativa dos Métodos Newton-Raphson Secante Situações nas quais se deve evitar o uso do Método de Newton-Raphson e da Secante paralelelismo Tendência da curva ao paralelelismo a qualquer um dos eixos tangência Tendência da função à tangência ao eixo das abscissas em um ou mais pontos. Observações Importantes

11 11 Análise Comparativa dos Métodos equação Escolha do método Diretamente relacionada com a equação cuja solução é desejada Comportamento da função na região da raiz exata f´(x) Dificuldades com o cálculo de f´(x) Critério de parada, etc. Conclusão

12 12 Análise Comparativa dos Métodos f(x) = x 3 – x – 1 Exemplo 01: f(x) = x 3 – x – 1 x1234 y ], [1, 2 ], 1 = 2 = 10 -6

13 13 Análise Comparativa dos Métodos Exemplo 01: φ(x) = (x+1) 1/3

14 14 Análise Comparativa dos Métodos x 2 + x – 6 = 0 Exemplo 02: x 2 + x – 6 = 0 g(x) x y ], [1, 3 ], 1 = 2 = 10 -6

15 15 Exemplo 02: Análise Comparativa dos Métodos φ(x) = (6 - x) 1/2


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