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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCG Av Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: 58109-190 – Campina Grande – PB www.ufcg.edu.br/ – Fones: (0xx83)

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCG Av Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: – Campina Grande – PB – Fones: (0xx83) /1192 – Fax: (0xx83) UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCG Av Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: – Campina Grande – PB – Fones: (0xx83) /1192 – Fax: (0xx83) DSC/CCT/UFCG Prof:José Eustáquio Rangel de Queiroz Carga Horária: 60 horas

2 DSC/CCT/UFCG 2 Roteir o 1.1Objetivo 1.2Motivação 1.3Definições 1.3.1Escalar 1.3.2Vetor 1.3.3Operações sobre vetores 1.3.4Matriz 1.3.5Operações sobre matrizes 1.3.6Auto-valores e Auto-vetores 1.1Objetivo 1.2Motivação 1.3Definições 1.3.1Escalar 1.3.2Vetor 1.3.3Operações sobre vetores 1.3.4Matriz 1.3.5Operações sobre matrizes 1.3.6Auto-valores e Auto-vetores

3 DSC/CCT/UFCG 3 Revisar, em linhas gerais, aspectos relativos ao tratamento de matrizes e vetores, com fins à fundamentação de tópicos de PDI que se respaldam no processamento matricial e/ou vetorial. Objetiv o

4 DSC/CCT/UFCG 4 Várias operações no contexto do PDI envolvem manipulações vetoriais e/ou matriciais Filtragem Espacial I Exemplo 1: Filtragem Espacial I Várias operações no contexto do PDI envolvem manipulações vetoriais e/ou matriciais Filtragem Espacial I Exemplo 1: Filtragem Espacial I Motivação I == TT Máscara 3x3 (template) Máscara 3x3 (template) =i(m,n) x=0 t(x,y) y=0 i(m-x,n-y)M-1N-1M N

5 DSC/CCT/UFCG 5 Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais Filtragem Espacial II Exemplo 1: Filtragem Espacial II Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais Filtragem Espacial II Exemplo 1: Filtragem Espacial II Motivação II for (i = 1; i < M-2; i++) for(j = 1; j < M-2; j++) s[i][j] =e[i-1][j-1]*m[0][0] + e[i-1][j]*m[0][1] + e[i-1][j+1]*m[0][2] + e[i][j-1]*m[1][0] + e[i][j]*m[1][1] + e[i][j+1]*m[1][2] + e[i+1][j-1]*m[2][0] + e[i+1][j]*m[2][1]+e[i+1][j+1]*m[2][2]; Adaptação do processo de convolução da máscara com a imagem de entrada para a linguagem C

6 DSC/CCT/UFCG 6 Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais Filtragem Espacial III Exemplo 1: Filtragem Espacial III Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais Filtragem Espacial III Exemplo 1: Filtragem Espacial III Motivação III Imagem Corrompida com Ruído Gaussiano Imagem Suavizada com Filtro de Suavização Gaussiana Imagem Suavizada com Filtro de Suavização Gaussiana

7 DSC/CCT/UFCG 7 Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais Rotação de Imagem I Exemplo 2: Rotação de Imagem I Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais Rotação de Imagem I Exemplo 2: Rotação de Imagem I Motivação IV Mapeamento direto Imagem Original (x,y) cossen.+.=yxy sencos.-.=yxx Notação matricial - = y x y x cossen sencos '' Imagem Rotacionada (x,y) x x y y (x,y)

8 DSC/CCT/UFCG 8 Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais Rotação de Imagem II Exemplo 2: Rotação de Imagem II Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais Rotação de Imagem II Exemplo 2: Rotação de Imagem II Motivação V Mapeamento direto Imagem Original (x,y) Imagem Rotacionada (x,y) x x y y (x,y) - = y x y x cossen sencos '' Mapeamento reverso - = y x y x cossen sencos ' ' = y x y x cos-sen sencos ''

9 DSC/CCT/UFCG 9 Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais Rotação de Imagem III Exemplo 2: Rotação de Imagem III Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais Rotação de Imagem III Exemplo 2: Rotação de Imagem III Motivação VI Imagem Original (x,y) Imagem Rotacionada (x,y) x x y y (x,y)

10 DSC/CCT/UFCG 10 Escalar Variável descrita por um número (magnitude) ou um símbolo representando um número T20 ºC Temperatura T = 20 ºC d12 g/cm 3 Densidade d = 12 g/cm 3 N c 176 Nível de cinza de um pixel (em uma imagem) N c = 176 Escalar Variável descrita por um número (magnitude) ou um símbolo representando um número T20 ºC Temperatura T = 20 ºC d12 g/cm 3 Densidade d = 12 g/cm 3 N c 176 Nível de cinza de um pixel (em uma imagem) N c = 176 Definiçõe s I

11 DSC/CCT/UFCG 11 Vetor Variável descrita por magnitude e direção Vetor Variável descrita por magnitude e direção Definições II vyvy vyvy V V vxvx vxvx Vetor de Linha pxpx pxpx P P pypy pypy pzpz pzpz y y x x v v v v V V Vetor de Coluna pypy pypy P P pxpx pxpx pzpz pzpz

12 DSC/CCT/UFCG 12 Operações sobre Vetores I Exemplos de transposição Operações sobre Vetores I Exemplos de transposição Coluna Linha Definições III [] 739=TV = V []14=X T = 1 4 X Linha Coluna Linha Coluna

13 DSC/CCT/UFCG 13 Operações sobre Vetores II Produto interno de vetores Escalar Operações sobre Vetores II Produto interno de vetores Escalar [] i i i T yxyxyxyx y yyxxx = =++= = YX V Norma de um vetor em um espaço vetorial V V V || V || Função que atribui a cada vetor V um número real não negativo (norma de V ), denotado por || V || Definições IV

14 DSC/CCT/UFCG 14 Operações sobre Vetores III Condições satisfeitas pela norma || V || > 0 V 0 || 0 || = 0 || V || > 0, para V 0 ; || 0 || = 0 || c V || = | c |.|| V || || c V || = | c |.|| V ||, para qualquer escalar e vetor || V + X || || V || + || X || Operações sobre Vetores III Condições satisfeitas pela norma || V || > 0 V 0 || 0 || = 0 || V || > 0, para V 0 ; || 0 || = 0 || c V || = | c |.|| V || || c V || = | c |.|| V ||, para qualquer escalar e vetor || V + X || || V || + || X || Tamanho de um vetor X = (x x 2 2 ) ½ X = (x x 2 2 ) ½ X = (x x x 3 2 ) ½ X = (x x x 3 2 ) ½ X T X =x x 2 2 +x 3 2 = ( X ) 2 x1x1x1x1 x2x2x2x2 X Definições V

15 DSC/CCT/UFCG 15 Operações sobre Vetores IV 2Euclidiana Norma 2 ou Euclidiana V m Definição do espaço para um vetor V no m real Operações sobre Vetores IV 2Euclidiana Norma 2 ou Euclidiana V m Definição do espaço para um vetor V no m real Comprimento de um vetor Definições VI X = (x x … + x m 2 ) ½ X = (x x … + x m 2 ) ½ x1x1x1x1 x2x2x2x2 X X = (x x 2 2 ) ½ X = (x x 2 2 ) ½ X T X = ((x x 2 2 ) ½ ) 2 = ( X ) 2 ou X = (X T X) ½ X = (X T X) ½

16 DSC/CCT/UFCG 16 Vetores Ortogonais X T Y = 0 sen Y yy/yy/yy/yy/= Operações sobre Vetores V Ângulo entre 2 Vetores Operações sobre Vetores V Ângulo entre 2 Vetores cos Y yx/yx/yx/yx/= sen X xy/xy/xy/xy/= cos X xx/xx/xx/xx/= || X || yxyx yxyx yy || Y || xx xyxy xyxy += cos = cos(-) coscos sensen =/ 2 || X || || Y || cos =X XTY/XTY/XTY/XTY/Y cos cos XY= X T Y X T Y =X xxyx/xxyx/xxyx/xxyx/Y+X xyyy/xyyy/xyyy/xyyy/Y cos cos(/ 2 ) XY=XTYXTY = 0 Definições VII

17 DSC/CCT/UFCG 17 Operações sobre Vetores VI Desigualdade de Cauchy-Schwartz Ortogonalidade Se e somente se o produto interno for nulo X T Y = 0 Ortonormalidade Ortogonalidade Ortogonalidade dos vetores unitário Comprimento de cada vetor unitário XY XTYXTYXTYXTY Definições VIII

18 DSC/CCT/UFCG 18 lclc Matriz l × c ( l por c ") Arranjo retangular de entradas ou elementos (números ou símbolos representando números) encerrados tipicamente por colchetes l l Número de linhas c c Número de colunas lclc Matriz l × c ( l por c ") Arranjo retangular de entradas ou elementos (números ou símbolos representando números) encerrados tipicamente por colchetes l l Número de linhas c c Número de colunas Definições IX lc 2 2 l l 1 1 l l c c m m m m m m m m m m m m c c 1 1 m m 12 m m 11 m m M M

19 DSC/CCT/UFCG 19 lc Matriz l × c Quadradalc Quadrada l = c DiagonalQuadradam lc 0 lc Diagonal Quadrada na qual m lc = 0 para l c e nem todos os elementos diagonais são nulos IdentidadeDiagonal Identidade Diagonal e todos os elementos diagonais são unitários Nulam lc 0 l, c Nula m lc = 0, l, c lc Matriz l × c Quadradalc Quadrada l = c DiagonalQuadradam lc 0 lc Diagonal Quadrada na qual m lc = 0 para l c e nem todos os elementos diagonais são nulos IdentidadeDiagonal Identidade Diagonal e todos os elementos diagonais são unitários Nulam lc 0 l, c Nula m lc = 0, l, c Definições X

20 DSC/CCT/UFCG 20 lc Matriz l × c Transposta de MxN M T cl Transposta de MxN ( M T ) Intercâmbio de linhas por colunas (nova matriz c × l ) SimétricaQuadradaM T M Simétrica Quadrada para a qual M T = M InversaI X.MIM.XI Inversa Qualquer matriz I para a qual X.M = I e M.X = I Múltiplo Escalar k M Múltiplo Escalar Produto de um número real ou complexo (denominado escalar) k e uma matriz M k.M Notação k.M Mk Resultado da multiplicação de todos os elementos de M por k lc Matriz l × c Transposta de MxN M T cl Transposta de MxN ( M T ) Intercâmbio de linhas por colunas (nova matriz c × l ) SimétricaQuadradaM T M Simétrica Quadrada para a qual M T = M InversaI X.MIM.XI Inversa Qualquer matriz I para a qual X.M = I e M.X = I Múltiplo Escalar k M Múltiplo Escalar Produto de um número real ou complexo (denominado escalar) k e uma matriz M k.M Notação k.M Mk Resultado da multiplicação de todos os elementos de M por k Definições XI

21 DSC/CCT/UFCG 21 lc Matriz l × c Negativok M Negativo Múltiplo escalar de k =-1 e uma matriz M Trace Trace Soma dos elementos da diagonal principal Igualdade de matrizesMX m lc x lc Igualdade de matrizes M = X se tiverem o mesmo número de linhas e colunas e m lc = x lc lc Matriz l × c Negativok M Negativo Múltiplo escalar de k =-1 e uma matriz M Trace Trace Soma dos elementos da diagonal principal Igualdade de matrizesMX m lc x lc Igualdade de matrizes M = X se tiverem o mesmo número de linhas e colunas e m lc = x lc Definições XII

22 DSC/CCT/UFCG 22 Operações sobre Matrizes I Exemplos de transposição Operações sobre Matrizes I Exemplos de transposição Definições XIII == MM TT == MM == YY TT == YY

23 DSC/CCT/UFCG 23 Definições XIV Operações sobre Matrizes II Adição/ Subtração Matrizes de mesmas dimensões Propriedades Comutativa I ± J = J ± I Associativa (I ± J) ± K = I ± (J ± K) Operações sobre Matrizes II Adição/ Subtração Matrizes de mesmas dimensões Propriedades Comutativa I ± J = J ± I Associativa (I ± J) ± K = I ± (J ± K) ±=± i4i4i4i4 i3i3i3i3 i2i2i2i2 i1i1i1i1 JI j4j4j4j4 j3j3j3j3 j2j2j2j2 j1j1j1j1 = i 3 ± j 3 i 1 ± j 1 i 4 ± j 4 i 2 ± j 2

24 DSC/CCT/UFCG 24 Definições XV Operações sobre Matrizes III igual Multiplicação Número de colunas da primeira matriz igual ao número de linhas da segunda matriz Propriedades Associativa (I J)K = I(JK) Distributiva I(I ± K) = IJ ± IK Operações sobre Matrizes III igual Multiplicação Número de colunas da primeira matriz igual ao número de linhas da segunda matriz Propriedades Associativa (I J)K = I(JK) Distributiva I(I ± K) = IJ ± IK K = I J K = I J (m x p) = (m x n) (n x p) K ij =produto interno da i -ésima linha de I pela j -ésima coluna de J

25 DSC/CCT/UFCG 25 Definições XVI Operações sobre Matrizes IV Multiplicação Propriedades Não comutativa (I J) (JI) !!! Produto transposto (IJ) T = J T I T Operações sobre Matrizes IV Multiplicação Propriedades Não comutativa (I J) (JI) !!! Produto transposto (IJ) T = J T I T

26 DSC/CCT/UFCG 26 Operações sobre Matrizes V Produto externo Operações sobre Matrizes V Produto externo Definições XVII [] y3y3y3y3 y2y2y2y2 y1y1y1y1 =TY = x3x3x3x3 x2x2x2x2 x1x1x1x1 X = y3y3y3y3 y2y2y2y2 y1y1y1y1 Y = x3x3x3x3 x2x2x2x2 x1x1x1x1 X [] y3y3y3y3 y2y2y2y2 y1y1y1y1 T Y = x3y1x3y1x3y1x3y1 x3y1x3y1x3y1x3y1 x2y1x2y1x2y1x2y1 x2y1x2y1x2y1x2y1 x1y1x1y1x1y1x1y1 x1y1x1y1x1y1x1y1 x3y2x3y2x3y2x3y2 x3y2x3y2x3y2x3y2 x2y2x2y2x2y2x2y2 x2y2x2y2x2y2x2y2 x1y2x1y2x1y2x1y2 x1y2x1y2x1y2x1y2 x3y3x3y3x3y3x3y3 x3y3x3y3x3y3x3y3 x2y3x2y3x2y3x2y3 x2y3x2y3x2y3x2y3 x1y3x1y3x1y3x1y3 x1y3x1y3x1y3x1y3

27 DSC/CCT/UFCG 27 A -1 A = A A -1 = I Definições XVIII Operações sobre Matrizes VI Matriz Inversa I Exemplo Operações sobre Matrizes VI Matriz Inversa I Exemplo A -1 A= 1/71/71/71/ /51/51/51/ /31/31/31/ = = I

28 DSC/CCT/UFCG 28 Operações com Matrizes VII Matriz Inversa II Propriedades A -1 A quadrada Existência de A -1 A quadrada A -1 A não singular inversível Se A -1 existe A é não singular ( inversível ) (AB) -1 = B -1 A -1 ; B -1 A -1 AB = B -1 B = I (A T ) -1 = (A -1 ) T ; (A -1 ) T A T = (AA -1 ) T = I Operações com Matrizes VII Matriz Inversa II Propriedades A -1 A quadrada Existência de A -1 A quadrada A -1 A não singular inversível Se A -1 existe A é não singular ( inversível ) (AB) -1 = B -1 A -1 ; B -1 A -1 AB = B -1 B = I (A T ) -1 = (A -1 ) T ; (A -1 ) T A T = (AA -1 ) T = I A -1 A = A A -1 = I Definições XIX

29 DSC/CCT/UFCG 29 Operações sobre Matrizes VIII Determinante de uma Matriz Quadrada A n,n Adet A Número associado à matriz A n,n, representado por A ou det A, definido por: a 11 n=1 a 11, se n=1 n>1, se n>1 A 1j A 1j A 1j é a submatriz obtida da matriz A eliminando a linha 1 e a coluna j A = 0 A inversível A = 0 se e somente se A não for inversível Operações sobre Matrizes VIII Determinante de uma Matriz Quadrada A n,n Adet A Número associado à matriz A n,n, representado por A ou det A, definido por: a 11 n=1 a 11, se n=1 n>1, se n>1 A 1j A 1j A 1j é a submatriz obtida da matriz A eliminando a linha 1 e a coluna j A = 0 A inversível A = 0 se e somente se A não for inversível Definições XX n + -= jj j a A = j 1,11 1.)1( A

30 DSC/CCT/UFCG 30 Auto-valores e Auto-vetores I M Auto-valores de uma matriz real M não nulo Números reais para os quais há um vetor não nulo tal que Me = e M Auto-vetores de uma matriz real M não nulos e Me = e Vetores não nulos e para os quais há um número real tal que Me = e Me = e e 0 Se Me = e para e 0 eM e é um auto-vetor de M associado ao auto-valor e vice-versa Auto-valores e Auto-vetores I M Auto-valores de uma matriz real M não nulo Números reais para os quais há um vetor não nulo tal que Me = e M Auto-vetores de uma matriz real M não nulos e Me = e Vetores não nulos e para os quais há um número real tal que Me = e Me = e e 0 Se Me = e para e 0 eM e é um auto-vetor de M associado ao auto-valor e vice-versa Definições XXI

31 DSC/CCT/UFCG 31 Auto-valores e Auto-vetores II M Auto-sistema de uma matriz real M M Auto-vetores e auto-valores associados de M Exemplo M Seja M a matriz Constata-se que, para 1 = 1 e 2 = 2, Me 1 = e 1 Me 2 = e 2 Me 1 = e 1, Me 2 = e 2 e Auto-valores e Auto-vetores II M Auto-sistema de uma matriz real M M Auto-vetores e auto-valores associados de M Exemplo M Seja M a matriz Constata-se que, para 1 = 1 e 2 = 2, Me 1 = e 1 Me 2 = e 2 Me 1 = e 1, Me 2 = e 2 e Definições XXII = M = 0 1 e1e1e1e1= 1 0 e2e2e2e2

32 UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCG Av Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: – Campina Grande – PB – Fones: (0xx83) /1192 – Fax: (0xx83) UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCG Av Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: – Campina Grande – PB – Fones: (0xx83) /1192 – Fax: (0xx83) DSC/CCT/UFCG José Eustáquio Rangel de Queiroz Professor Adjunto DSC/UFCG Site departamental: Fone: 1119/1120 Ramal 214


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