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Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE -

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Apresentação em tema: "Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE -"— Transcrição da apresentação:

1 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-1 Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR INTRODUÇÃO Modelos de otimizaçãoModelos de otimização Componentes e característicasComponentes e características Classificação dos ModelosClassificação dos Modelos Modelos Não-LinearesModelos Não-Lineares Alguns Modelos ClássicosAlguns Modelos Clássicos Escopo e Conteúdo do CursoEscopo e Conteúdo do Curso

2 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-2 Programação Não Linear + Definição 1.1 Otimização –Ramo da matemática aplicada que se ocupa da determinação das melhores soluções para certos problemas matematicamente bem definidos + Envolve: –Estudo de critérios de otimalidade –Desenvolvimento de métodos algorítmicos de solução –Análise da estrutura destes métodos –Experimentação numérica em problemas-teste ou em problemas reais + Aplicabilidade dos Métodos de Otimização –Qualquer área em que se processe informação numérica: – Matemática – Engenharia – Economia

3 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-3 Programação Não Linear + Existência: Existe um problema de otimização sempre que, a partir da descrição do problema, é possível identificar, em geral, as seguintes componentes básicas:Existe um problema de otimização sempre que, a partir da descrição do problema, é possível identificar, em geral, as seguintes componentes básicas: Objetivos: Objetivos: aspectos essenciais do problema que estão sujeitos a otimização aspectos essenciais do problema que estão sujeitos a otimização Variáveis de decisão: Variáveis de decisão: variáveis do problema sob as quais se exerce controle no sentido de otimizar objetivos variáveis do problema sob as quais se exerce controle no sentido de otimizar objetivos Restrições: Restrições: fatores que limitam ou restringem os valores que as variáveis de decisão do problema podem assumir fatores que limitam ou restringem os valores que as variáveis de decisão do problema podem assumir Parâmetros: Parâmetros: dados ou recursos necessários ao problema de otimização dados ou recursos necessários ao problema de otimização

4 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-4 Programação Não Linear + Motivações: –Utilização racional de recursos escassos –Espaço –Tempo –Energia –Exploração racional de recursos naturais renováveis/ não-renováveis MineraçãoMineração PescaPesca Papel CelulosePapel Celulose AgriculturaAgricultura –Planejamento da atividade econômica Melhoria de serviçosMelhoria de serviços Melhoria da qualidade de vidaMelhoria da qualidade de vida Aumento de produtividade Aumento de produtividade

5 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-5 Programação Não Linear + Auguns Fatores Complicantes Presença de múltiplos objetivos, em geral conflitantesPresença de múltiplos objetivos, em geral conflitantes Ambigüidade entre parâmetros e variáveis de decisãoAmbigüidade entre parâmetros e variáveis de decisão Incertezas com relação a limites e restrições sobre variáveis e funçõesIncertezas com relação a limites e restrições sobre variáveis e funções Elementos probabilísticos e variantes no tempoElementos probabilísticos e variantes no tempo Conhecimento apenas qualitativo de certos aspectos do problemaConhecimento apenas qualitativo de certos aspectos do problema Dimensão do problemaDimensão do problema + Complexidade X Viablilidade Computacional Memória e capacidade de processamento dos computadores são limitadasMemória e capacidade de processamento dos computadores são limitadas Restrições à formulação e ao modelo do problema são necessáriasRestrições à formulação e ao modelo do problema são necessárias

6 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-6 Programação Não Linear + Otimização Como Análise –Apoio a tomada de decisões fornecendo ferramentas para a análise do problema sob diferentes cenários + Otimização Como Síntese –Em muitas situações, o modelo é uma representação fiel do problema a ser resolvido Exemplo dentre os retângulos de mesmo perímetro p, encontre o que produz a maior área

7 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-7 Modelo de Otimização Curvas de nível Solução Gráfica: p/2

8 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-8 Modelo de Otimização + Solução Analítica: Como 2x 1 + 2x 2 = p, é possível reescrever o problema na forma: Do cálculo elementar, g(x 1 ) atinge um máximo em quando e Portanto, e + Solução Computacional: – alternativa quando as soluções gráfica ou analítica não são possíveis.

9 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-9 Modelo de Otimização + Qualquer problema de otimização pode ser colocado na forma: Onde define a região de factibilidade. No caso do exemplo 1.1 = { x = (x 1, x 2 ) : x 1 0, x 2 0 e 2x 1 + 2x 2 = p } = { x = (x 1, x 2 ) : x 1 0, x 2 0 e 2x 1 + 2x 2 = p } A otimalidade de x* pode ser expressa como: f (x*) f (x), x f (x*) f (x), x –a) Condição Necessária de Otimalidade –b) Condição Suficiente de Otimalidade

10 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-10 Classificação dos Modelos de Otimização –a) Linear xNão Linear –b) Mono - ObjetivoxMulti - Objetivo –c) DeterminísticoxEstocástico –d) DiferenciávelxNão - Diferenciável –e) EstáticoxDinâmico + Exemplo 1.2: Problema da Dieta. Selecionar alimentos e suas quantidades de modo a atender necessidades diárias mínimas de nutrientes a um custo mínimo. x 1, x 2,..., x nx 1, x 2,..., x n : quantidades dos n alimentos b 1,b 2,..., b m : quantidades mínimas dos m nutrientes c 1,c 2,..., c n : custo/unidade dos n alimentos a ij : concentração do nutriente i no alimento j

11 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-11 Modelo de Otimização Linear + Objetivo e restrições são funções lineares das variáveis de decisão. s.a: s.a: + Características: –Aditividade –Proporcionalidade + Propriedades: –Solução por algoritmos extremamente eficientes –Convergência em um número finito de passos

12 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-12 Modelo de Otimização Linear Multi - Objetivo + Vários objetivos são considerados simultâneamente. s 1,s 2,..., s n : concentração de colesteral/unidade dos n alimentos h 1,h 2,..., h n : concentração de carbohidrato/unidade dos n alimentos + Características: –conflito entre objetivos –perda de otimalidade –solução de compromisso

13 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-13 + Objetivos e/ou restrições são funções de variáveis aleatórias valor esperado + Características: –a solução também é caracterizada em termos estatísticos –em geral, busca-se modelos determinísticos equivalentes Modelo de Otimização Estocástica c 1, c 2,..., C n a ij, i = 1,2,..., n j = 1,2,..., m Variáveis aleatórias com distribuições de probabilidades conhecidas.

14 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-14 + Objetivo e/ou restrições são funções não - diferenciáveis das variáveis de decisão Exemplo: o custo do alimento j pode ser descrito como: + + Características: grandes dificuldades numéricas caso especial: se são lineares, então Programação Linear por Partes Modelo de Otimização Não - Diferenciável 0 q1q1 q2q2 xjxj c j (x j ) onde: d nº de pontos de não - diferenciabilidade

15 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-15 Modelo de Otimização Dinâmica + O modelo é descrito por relações integro - diferenciais; as variáveis de decisão são funções do tempo. Exemplo Pesca Racional em um lago y(t) : quantidade de peixes no instante ty(t) : quantidade de peixes no instante t u(t) : intensidade da pesca no instante tu(t) : intensidade da pesca no instante t p, q,, : constantesp, q,, : constantes T : horizonte de otimizaçãoT : horizonte de otimização + Características: –Busca-se uma solução do tipo –Uma técnica de solução: Programação Dinâmica

16 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-16 ANÁLISE GERAL Diferentes modelos impõem diferentes condições de otimalidade e requerem métodos específicos de abordagem. + Escopo do Curso –Curso se limita apenas a modelos de otimização Não - LinearesNão - Lineares Mono - ObjetivosMono - Objetivos DeterminísticosDeterminísticos DiferenciáveisDiferenciáveis EstáticosEstáticos + Modelos de Otimização Não - Linear –Em função do tipo de não - linearidade, a otimização não - linear pode ser subdividida em: Quadrática Fracionária Geométrica Separável

17 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-17 Modelo de Otimização Quadrática – –Considere o modelo estocástico do problema da dieta; os custos são variáveis aleatórias. Valor médio da função objetivo Variância da função objetivoVariância da função objetivo – –Alternativa –Restrição de Custo:

18 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-18 Seja p a probabilidade de que o custo da dieta seja menor ou igual a c º. p = prob c 1 x 1 + c 1 x c n x n c o p = prob c 1 x 1 + c 1 x c n x n c o Por hipótese, suponha que c i = i + w i, onde w é uma variável aleatória. Neste caso, + Problema: Modelo de Otimização Fracionária

19 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-19 Problemas geométricos são freqüentes em projetos de engenharia. Exemplo Encontre o raio x 1 e a altura x 2 de um cilindro cujo volume não seja inferior a v e que apresente custo de construção mínimo. Onde: e c 1 : custo/unid. área circular; c 2 : custo/unid. área lateral. As funções do modelo de otimização geométrica são compostas por termos do tipo: Modelo de Otimização Geométrica x 2 x1x1

20 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-20 Outros Modelos Outros modelos de otimização cuja importância advém de características estruturais. + + Modelo de Otimização Inteira / Mista – –As variáveis de decisão (ou parte delas) só podem assumir valores inteiros. x i = 0,1,2,3, Modelo de Otimização Separável

21 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-21 Escalas de Problemas de Otimização –O porte do problema de otimização é função: da quantidade de memóriada quantidade de memória do esforço computacionaldo esforço computacional necessários para obter sua solução. –A análise do porte (grande, médio, pequeno) é complicada por alguns fatores: Diversidade de arquiteturasDiversidade de arquiteturas Surgimento de novas tecnologiasSurgimento de novas tecnologias Processamento paraleloProcessamento paralelo Programação concorrenteProgramação concorrente –Desempenho de algoritmos Número de bytes alocadosNúmero de bytes alocados Tempo de CPU (relativa)Tempo de CPU (relativa) Número de operações elementares (absoluta)Número de operações elementares (absoluta)

22 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-22 Otimização na FEEC / UNICAMP + Teoria –Desenvolvimento de novos métodos / algoritmos + Aplicações –Quase sempre vinculados a convênios com organizações públicas. ANEEL, ONS, DUKE, CESP, AES, ELETROPAULO, CPFLANEEL, ONS, DUKE, CESP, AES, ELETROPAULO, CPFL TELEBRAS, RFFSA, TELESPTELEBRAS, RFFSA, TELESP + Algumas Àreas –Planejamento e controle da produção –Planejamento e programação de sistemas eletro-energéticos –Transportes (urbanos, ferroviários,...) –Planejamento de redes de comunicação

23 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-23 Exemplo de Aplicação PROBLEMAS DE LOCALIZAÇÃO E TRANSPORTE – –N Fábricas – –M Mercados + Problema: Determine as localizações ( x i, y i ), i = 1,2,..., N das fábricas e os volumes a transportar w ij, i =1,2,..., N ; j = 1,2,..., M de forma a minimizar a soma total das distâncias percorridas. –c i : capacidade da fábrica i –r j : demanda do mercado j –d ij : distância entre a fábrica i e o mercado j –w ij : volume destinado pela fábrica i ao mercado j.

24 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-24 Exemplo de Aplicação Modelo de Otimização + No Modelo, –as distâncias são ponderadas pelos volumes –d ij = f(x i,y i,a j,b j ). Por exemplo, – – : região do plano xy onde é possível localizar as fábricas

25 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-25 Exemplo de aplicação + Problema: Determinar os níveis de geração térmica e hidráulica de forma a atender a demanda em cada período do horizonte de planejamento a um custo mínimo. Subsistema Térmico g ij : geração da térmica i no período j c i : custo de geração da térmica i c i : custo de geração da térmica i GeraçãoTérmica GeraçãoHidráulica D j = Demanda TjTj H j + T j = D j HjHj g ij c i (g ij ) 0

26 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-26 Exemplo de aplicação – –A dinâmica do reservatório da usina i pode ser modelada com: x i,j+1 = x ij - u ij + z ij + y ij – –Na equação dinâmica; z ij :representa o volume total de água defluído no período j pelas usinas que estão imediatamente acima da usina i y ij : representa o volume total de água afluente incremental (lateral) que chega à usina i no período j

27 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-27 Exemplo de aplicação –Devido ao elevado custo da energia térmica, o problema é normalmente formulado como: kj ( x kj, u kj ) = k k u kj kj (x kj ) kj ( x kj, u kj ) = k k u kj kj (x kj ) x k,j+1 = x kj - u kj + z kj + y kj i = 1,2,..., n j = 1,2,...,N N: horizonte n: nº de térmicas m: nº de hidráulicas k = 1,2,..., m

28 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-28 Conclusão Geral A grande diversidade de modelos e aplicações de otimização não - linear torna necessária uma abordagem genérica do problema Neste curso, considera-se problemas de programação matemática na forma geral. O conjunto é normalmente reservado para descrever restrições mais simples. Por exemplo, Min (x) x h i (x) = 0, i=1,2,..., m g j (x) 0, j=1,2,..., n x onde: x R n (. ):R n R, ; h i (. ):R n R; g j (. ):R n R

29 Programação Não Linear e Dinâmica no Planejamento e Programação da Operação Energética Copyright, 2005 © Notas de Aula - Prof. Secundino Soares COSE Slide-29 Dois Aspectos Centrais – –Primeiro:estabelecer condições necessárias e/ou suficientes para que dada solução x * seja considerada um mínimo do problema; – –Segundo:estudar o comportamento de algoritmos que obtém x * como o limite de uma seqüência de soluções x o, x 1,..., x * que converge satisfazendo as condições de otimalidade do problema. – –Estratégia abordagem em grau crescente de complexidade problemas irrestritos problemas com restrições de igualdade problemas com restrições de igualdade e desigualdade –Antes disso –Antes disso; fundamentos teóricos


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