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PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR

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Apresentação em tema: "PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR"— Transcrição da apresentação:

1 PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR INTRODUÇÃO Modelos de otimização Componentes e características Classificação dos Modelos Modelos Não-Lineares Alguns Modelos Clássicos Escopo e Conteúdo do Curso aaaaaaaaaaaaaaaaa

2 Programação Não Linear
Definição 1.1 Otimização Ramo da matemática aplicada que se ocupa da determinação das melhores soluções para certos problemas matematicamente bem definidos Envolve: Estudo de critérios de otimalidade Desenvolvimento de métodos algorítmicos de solução Análise da estrutura destes métodos Experimentação numérica em problemas-teste ou em problemas reais Aplicabilidade dos Métodos de Otimização Qualquer área em que se processe informação numérica: Matemática Engenharia Economia

3 Programação Não Linear
Existência: Existe um problema de otimização sempre que, a partir da descrição do problema, é possível identificar, em geral, as seguintes componentes básicas: Objetivos: aspectos essenciais do problema que estão sujeitos a otimização Variáveis de decisão: variáveis do problema sob as quais se exerce controle no sentido de otimizar objetivos Restrições: fatores que limitam ou restringem os valores que as variáveis de decisão do problema podem assumir Parâmetros: dados ou recursos necessários ao problema de otimização

4 Programação Não Linear
Motivações: Utilização racional de recursos escassos Espaço Tempo Energia Exploração racional de recursos naturais renováveis/ não-renováveis Mineração Pesca Papel Celulose Agricultura Planejamento da atividade econômica Melhoria de serviços Melhoria da qualidade de vida Aumento de produtividade

5 Programação Não Linear
Auguns Fatores Complicantes Presença de múltiplos objetivos, em geral conflitantes Ambigüidade entre parâmetros e variáveis de decisão Incertezas com relação a limites e restrições sobre variáveis e funções Elementos probabilísticos e variantes no tempo Conhecimento apenas qualitativo de certos aspectos do problema Dimensão do problema Complexidade X Viablilidade Computacional Memória e capacidade de processamento dos computadores são limitadas Restrições à formulação e ao modelo do problema são necessárias

6 Programação Não Linear
Otimização Como Análise Apoio a tomada de decisões fornecendo ferramentas para a análise do problema sob diferentes cenários Otimização Como Síntese Em muitas situações, o modelo é uma representação fiel do problema a ser resolvido Exemplo dentre os retângulos de mesmo perímetro p, encontre o que produz a maior área

7 Modelo de Otimização Solução Gráfica: Curvas de nível p/2 p/2

8 Modelo de Otimização Solução Analítica: e Solução Computacional:
Como 2x1 + 2x2 = p, é possível reescrever o problema na forma: Do cálculo elementar, g(x1) atinge um máximo em quando e Portanto, e Solução Computacional: alternativa quando as soluções gráfica ou analítica não são possíveis.

9 Modelo de Otimização Qualquer problema de otimização pode ser colocado na forma: Onde  define a região de factibilidade. No caso do exemplo 1.1  = { x = (x1, x2) : x1 0, x2  0 e 2x1 + 2x2 = p } A otimalidade de x*   pode ser expressa como: f (x*)  f (x),  x   a) Condição Necessária de Otimalidade b) Condição Suficiente de Otimalidade

10 Classificação dos Modelos de Otimização
a) Linear x Não Linear b) Mono - Objetivo x Multi - Objetivo c) Determinístico x Estocástico d) Diferenciável x Não - Diferenciável e) Estático x Dinâmico Exemplo 1.2: Problema da Dieta Selecionar alimentos e suas quantidades de modo a atender necessidades diárias mínimas de nutrientes a um custo mínimo. x1, x2 , ... , xn : quantidades dos n alimentos b1 ,b2 , ... , bm : quantidades mínimas dos m nutrientes c1 ,c2 , ... , cn : custo/unidade dos n alimentos aij : concentração do nutriente i no alimento j

11 Modelo de Otimização Linear
Objetivo e restrições são funções lineares das variáveis de decisão. s.a: Características: Aditividade Proporcionalidade Propriedades: Solução por algoritmos extremamente eficientes Convergência em um número finito de passos

12 Modelo de Otimização Linear Multi - Objetivo
Vários objetivos são considerados simultâneamente. s1,s2 , ... , sn : concentração de colesteral/unidade dos n alimentos h1 ,h2 , ... , hn : concentração de carbohidrato/unidade dos n alimentos Características: conflito entre objetivos perda de otimalidade solução de compromisso

13 Modelo de Otimização Estocástica
Objetivos e/ou restrições são funções de variáveis aleatórias valor esperado Características: a solução também é caracterizada em termos estatísticos em geral, busca-se modelos determinísticos equivalentes c1,c2, ... ,Cn aij , i = 1,2, ... , n j = 1,2, ... , m Variáveis aleatórias com distribuições de probabilidades conhecidas.

14 Modelo de Otimização Não - Diferenciável
Objetivo e/ou restrições são funções não - diferenciáveis das variáveis de decisão Exemplo: o custo do alimento j pode ser descrito como: Características: grandes dificuldades numéricas caso especial: se são lineares, então Programação Linear por Partes q1 q2 xj cj(xj) onde: d  nº de pontos de não - diferenciabilidade

15 Modelo de Otimização Dinâmica
O modelo é descrito por relações integro - diferenciais; as variáveis de decisão são funções do tempo. Exemplo Pesca Racional em um lago y(t) : quantidade de peixes no instante t u(t) : intensidade da pesca no instante t p, q, ,  : constantes T : horizonte de otimização Características: Busca-se uma solução do tipo Uma técnica de solução: Programação Dinâmica

16 ANÁLISE GERAL Escopo do Curso Modelos de Otimização Não - Linear
Diferentes modelos impõem diferentes condições de otimalidade e requerem métodos específicos de abordagem. Escopo do Curso Curso se limita apenas a modelos de otimização Não - Lineares Mono - Objetivos Determinísticos Diferenciáveis Estáticos Modelos de Otimização Não - Linear Em função do tipo de não - linearidade, a otimização não - linear pode ser subdividida em: Quadrática Fracionária Geométrica Separável

17 Modelo de Otimização Quadrática
Considere o modelo estocástico do problema da dieta; os custos são variáveis aleatórias. Valor médio da função objetivo Variância da função objetivo Alternativa Restrição de Custo:

18 Modelo de Otimização Fracionária
Seja p a probabilidade de que o custo da dieta seja menor ou igual a cº. p = probc1x1 + c1x cnxn  co Por hipótese, suponha que ci = i + w i, onde w é uma variável aleatória. Neste caso, Problema:

19 Modelo de Otimização Geométrica
Problemas geométricos são freqüentes em projetos de engenharia. Exemplo Encontre o raio x1 e a altura x2 de um cilindro cujo volume não seja inferior a v e que apresente custo de construção mínimo. Onde: e c1 : custo/unid. área circular; c2 : custo/unid. área lateral. As funções do modelo de otimização geométrica são compostas por termos do tipo: x2 x1

20 Outros Modelos Modelo de Otimização Inteira / Mista
Outros modelos de otimização cuja importância advém de características estruturais. Modelo de Otimização Inteira / Mista As variáveis de decisão (ou parte delas) só podem assumir valores inteiros. xi = 0,1,2,3, .... Modelo de Otimização Separável

21 Escalas de Problemas de Otimização
O porte do problema de otimização é função: da quantidade de memória do esforço computacional necessários para obter sua solução. A análise do porte (grande, médio, pequeno) é complicada por alguns fatores: Diversidade de arquiteturas Surgimento de novas tecnologias Processamento paralelo Programação concorrente Desempenho de algoritmos Número de bytes alocados Tempo de CPU (relativa) Número de operações elementares (absoluta)

22 Otimização na FEEC / UNICAMP
Teoria Desenvolvimento de novos métodos / algoritmos Aplicações Quase sempre vinculados a convênios com organizações públicas. ANEEL, ONS, DUKE, CESP, AES, ELETROPAULO, CPFL TELEBRAS, RFFSA, TELESP Algumas Àreas Planejamento e controle da produção Planejamento e programação de sistemas eletro-energéticos Transportes (urbanos, ferroviários, ...) Planejamento de redes de comunicação

23 Exemplo de Aplicação Problema: ci : capacidade da fábrica i
PROBLEMAS DE LOCALIZAÇÃO E TRANSPORTE N  Fábricas M  Mercados Problema: Determine as localizações ( xi, yi ), i = 1,2, ... , N das fábricas e os volumes a transportar wij , i =1,2, ... , N ; j = 1,2, ... , M de forma a minimizar a soma total das distâncias percorridas. ci : capacidade da fábrica i rj : demanda do mercado j dij : distância entre a fábrica i e o mercado j wij : volume destinado pela fábrica i ao mercado j.

24 Exemplo de Aplicação No Modelo, Modelo de Otimização
as distâncias são ponderadas pelos volumes dij = f(xi,yi,aj,bj). Por exemplo,  : região do plano xy onde é possível localizar as fábricas

25 Exemplo de aplicação Tj Dj = Demanda Problema: Hj + Tj= Dj Hj
Determinar os níveis de geração térmica e hidráulica de forma a atender a demanda em cada período do horizonte de planejamento a um custo mínimo. Subsistema Térmico gij: geração da térmica i no período j ci: custo de geração da térmica i Geração Térmica Hidráulica Dj = Demanda Tj Hj + Tj= Dj Hj gij ci (gij)

26 xi,j+1 = xij - uij + zij + yij
Exemplo de aplicação A dinâmica do reservatório da usina i pode ser modelada com: xi,j+1 = xij - uij + zij + yij Na equação dinâmica; zij : representa o volume total de água defluído no período j pelas usinas que estão imediatamente acima da usina i yij : representa o volume total de água afluente incremental (lateral) que chega à usina i no período j

27 xk,j+1 = xkj - ukj + zkj + ykj
Exemplo de aplicação Devido ao elevado custo da energia térmica, o problema é normalmente formulado como: kj( xkj, ukj ) = kkukj kj(xkj) xk,j+1 = xkj - ukj + zkj + ykj k = 1,2, ... , m N: horizonte n: nº de térmicas m: nº de hidráulicas i = 1,2, ... , n j = 1,2, ... ,N

28 Conclusão Geral Min (x) x
A grande diversidade de modelos e aplicações de otimização não - linear torna necessária uma abordagem genérica do problema Neste curso, considera-se problemas de programação matemática na forma geral. O conjunto  é normalmente reservado para descrever restrições mais simples. Por exemplo, Min (x) x hi(x) = 0, i=1,2, ... , m gj(x)  0, j=1,2, ... , n x   onde: x  Rn (.):Rn  R, ; hi(.):Rn  R; gj(.):Rn  R

29 Dois Aspectos Centrais
Primeiro: estabelecer condições necessárias e/ou suficientes para que dada solução x* seja considerada um mínimo do problema; Segundo: estudar o comportamento de algoritmos que obtém x* como o limite de uma seqüência de soluções xo, x1, ... , x* que converge satisfazendo as condições de otimalidade do problema. Estratégia abordagem em grau crescente de complexidade problemas irrestritos problemas com restrições de igualdade problemas com restrições de igualdade e desigualdade Antes disso; fundamentos teóricos


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