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Programação Dinâmica Dual (Modelo Newave) FEEC/Densis/Unicamp Thaís Gama de Siqueira Maio/2002.

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1 Programação Dinâmica Dual (Modelo Newave) FEEC/Densis/Unicamp Thaís Gama de Siqueira Maio/2002

2 Apresentação Introdução Formulação Algoritmo Resultados Conclusões Possíveis melhorias Referências

3 Introdução Introdução Será apresentado aqui o modelo Newave, que se baseia em Programação Dinâmica Dual(PDD) juntamente com o conceito do corte de Benders. A PDD é uma metodologia baseada na PDE onde não é necessário a discretização do espaço de estados do sistema, o que resolve a maldição da dimensionalidade.

4 O modelo para o caso estocástico tem como vantagem a utilização de um modelo de energias afluentes auto- regressivo mensal de ordem p, que pode ser usado tanto no cálculo da estratégia ótima como na simulação da operação.

5 Objetivos Objetivos Implementar o Newave para uma usina, com base na formulação usada em [1]. Observar o comportamento para os casos Determinístico e Estocástico. Comparar resultados com os obtidos em [1].

6 Programação Dinâmica Dual Determinística Seja o problema de 2 estágios: Min c 1 x 1 + c 2 x 2 s.a. A 1 x 1 b 1 E 1 x 1 + A 2 x 2 b 2 Que pode ser interpretado como um processo de decisão em 2 estágios: Estágio 1=> encontro x 1 *, t.q. A 1 x 1 * b 1 (1)

7 Estágio 2=> dada a decisão x1* resolver o problema de otimização do segundo estágio: 1 (x 1 ) = Min c 2 x 2 s.a. A 2 x 2 b 2 - E 1 x 1 * Sendo 1 (x 1 ) a solução ótima do problema (2), pode-se reescrever o problema original (1) como: Min c 1 x (x 1 ) s.a. A 1 x 1 b 1 (2) (3)

8 Pode-se entender a função 1 (x 1 ) como uma função que fornece informações sobre as conseqüências da decisão x 1 no futuro. O princípio de decomposição de Benders é uma técnica permite construir, de forma iterativa, aproximações para a função 1 (x 1 ) baseada na solução do problema de segundo estágio.

9 AlgoritmoAlgoritmo 1. Adotar uma aproximação para 2. Resolver o problema do 1 o estágio, obtendo-se x 1 * 3. Dado x 1 *, resolver o problema do 2 o estágio, obtendo-se x 2 * 4. Associados à solução do problema de 2 o estágio existem os multiplicadores de Lagrange, que são usados para construir uma aproximação mais precisa 5. Retornar ao passo 2

10 Seja o dual do problema (2): 1 (x 1 ) = Max (b 2 - E 1 x 1 ) s.a. A 2 c 2 O conjunto de restrições i A 2 c 2 definem um poliedro convexo, que é caracterizado pelo conjunto de pontos extremos ou vértices ={ 1, 2,..., p }. (4)

11 A solução ótima de um PL será um dos vértices da região factível, logo o problema (4) pode ser resolvido por enumeração: Max i (b 2 - E 1 x 1 ) s.a. i i=1, 2,..., p (5)

12 O problema (5) pode então ser reescrito como: Min s.a. 1 (b 2 - E 1 x 1 ) 2 (b 2 - E 1 x 1 ) p (b 2 - E 1 x 1 ) Sendo uma variável escalar. (6)

13 Em PL, o valor da função objetivo do PP e PD são iguais na solução ótima. Portanto o problema original pode ser reescrito como: Min c 1 x 1 + s.a. A 1 x 1 b 1 1 (b 2 - E 1 x 1 ) (b 2 - E 1 x 1 ) - 0 p (b 2 - E 1 x 1 ) - 0 (7)

14 O conjunto de restrições i (b 2 - E 1 x 1 ) - 0, i=1,...,p pode ter grandes dimensões, porém somente algumas delas estarão ativas na solução ótima, o que sugere o uso de técnicas de relaxação, base do algoritmo de decomposição de Benders. A idéia é obter iterativamente, uma melhor aproximação para a função custo futuro 1 (x 1 ).

15 Algoritmo para múltiplos estágios:Algoritmo para múltiplos estágios: a) Faça J=0, t=1,...,T b) Resolva o problema aproximado do 1 o estágio: Min c 1 x 1 + s.a. A 1 x 1 b 1 2 j (b 2 - E 1 x 1 ) - 0 j=1,...,J Solução ótima: (x 1 *, )

16 c) Calcule d) Repita para t=2,...,T (FORWARD) Dado x * t-1, resolver: = Min c t x t + s.a. A t x t b t - E t-1 x * t-1 j t+1 ( b t+1 – E t x * t ) - 0 j=1,...,J Solução Ótima: (x * t, )

17 e) O vetor (x 1 *,..., x T * ) é uma solução factível, mas não necessariamente a ótima f) Verifique se ( ) TOL. Em caso afirmativo a solução ótima é (x 1 *,..., x T * ) associado a. Caso contrário, vá para (g) g) J=J+1

18 Repita para t=T-1,..., 2 (BACKWARD) Resolva o problema de otimização: Min c t x t + s.a. A t x t b t - E t-1 x * t-1 Cortes de Benders j t+1 ( b t+1 – E t x t ) - 0 j=1,...,J Ou w j t+1 + j t+1 E t (x t * - x t ) - 0 h) Vá para (b)

19 Referências Bibliográficas Referências Bibliográficas [1] Pereira, M. V. F., Optimal Stochastic Operations Scheduling of Large Hydroeletric Systems, Eletrical Power & Energy Systems, Vol.11, N o 13, pages , July, [2] Kligerman, A. S., Operação Ótima de Subsistemas Hidrotérmicos Interligados utilizando Programação Dinâmica Estocástica Dual, Tese de mestrado, FEEC, Unicamp, Fevereiro, 1992.

20 [3] Pereira, M. V. F. e Pinto, L.M.V.G., Stochastic Optimization of a Multireservoir Hydroeletric System – A decomposition approach, Water Resources Res. Vol 21, N o 6, [4] Modelo Estratégico de Geração Hidrotérmica a Subsistemas, Projeto Newave, Manual do Usuário CEPEL, Agosto, 1999


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