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1 Considerações Iniciais Newton-Raphson – Método de Newton-Raphson f(x) Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de f(x) e o cálculo de seu.

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1 1 Considerações Iniciais Newton-Raphson – Método de Newton-Raphson f(x) Um grande inconveniente é a necessidade da obtenção de f(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração – Forma de desvio do inconveniente f(x k ) Substituição da derivada f(x k ) pelo quociente das diferenças f(x k ) [f(x k ) - f(x k-1 )]/(x k - x k-1 ) x k-1 x k onde x k-1 e x k são duas aproximações para a raiz Secante Cálculo Numérico – Secante

2 2 Considerações Iniciais – A função de iteração será g(x) = x k - f(x k )/[(f(x k ) - f(x k-1 ))/(x k - x k-1 )] = (x k - x k-1 ). f(x k )/[f(x k ) - f(x k-1 )] = [x k-1.f(x k ) – x k.f(x k-1 )]/[f(x k ) - f(x k-1 )] Secante Cálculo Numérico – Secante

3 3 Interpretação Geométrica x k-1 x k A partir de duas aproximações x k-1 e x k x k+1 oxx k- 1, f(x k-1 ) x k, f(x k ) Obtém-se o ponto x k+1 como sendo a abscissa do ponto de intersecção do eixo ox e da reta que passa pelos pontos (x k- 1, f(x k-1 ) ) e (x k, f(x k ) ) (secante à curva da função) Secante Cálculo Numérico – Secante

4 4 Análise Gráfica xcondições de parada Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada. x 1 a iteração 2 a iteração 3 a iteração 4 a iteração f(x) x1x1 x0x0x0x0 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 Secante Cálculo Numérico – Secante

5 5 Testes de Parada – A cada iteração, testa-se se a aproximação encontrada poderá ser considerada como a solução do problema. |f(x k )| |f(x k )| |((x k+1 – x k )/x k+1 )| |((x k+1 – x k )/x k+1 )| Secante Cálculo Numérico – Secante

6 6 Algoritmo k := 0; x 0 := X 0 ; x 1 := X 1 k L while critério de interrupção não satisfeito and k L k := k +1; x k+1 := (x k-1 *f(x k ) - x k *f(x k-1 ))/(f(x k ) - f(x k-1 )) endwhile Secante Cálculo Numérico – Secante

7 7 1,51,7 Seja x k - 1 = 1,5 e x k = 1,7 g(x) = [x k-1.f(x k ) – x k. f(x k-1 )] [f(x k ) – f(x k-1 )] [f(x k ) – f(x k-1 )] f(x) = x 3 - x - 1 = 0,002 Exemplo 19: Considere-se a função f(x) = x 3 - x - 1, e = 0,002 cujos zeros encontram- se nos intervalos: Secante Cálculo Numérico – Secante

8 8 1,51,7 Cálculo da 1ª aproximação x 0 = 1,5 x 1 = 1,7 0,875 > 0 f(x 0 ) = 0,875 > 0 2,213 > 0 f(x 1 ) = 2,213 > 0 1,36921 x 2 = [1,5.(2,213) – 1,7.(0,875)] = 1,36921 [2,213– (0,875)] Teste de Parada 0,19769 | f(x 2 )| =|0,19769| = 0,19769 > Escolha do Novo Intervalo 1,369211,5 x 1 = 1,36921 e x 2 = 1,5 Exemplo 19: Secante Cálculo Numérico – Secante

9 9 Exemplo 19: 1,36921 e 1,5 Cálculo da 2ª aproximação: x 1 = 1,36921 e x 2 = 1,5 0,19769 > 0 f(x 1 ) = 0,19769 > 0 0,875 > 0 f(x 2 ) = 0,875 > 0 x 3 = [1,36921.(0,875) – 1,5.(0,19769)] [0,875– (0,19769)] 1,33104 x 3 = 1,33104 Secante Cálculo Numérico – Secante

10 10 Exemplo 19: 1,36921 e 1,5 Cálculo da 2ª aproximação: x 1 = 1,36921 e x 2 = 1,5 Teste de Parada f(x 3 )0,02712 |f(x 3 )| =|0,02712| = 0,02712 > Escolha do Novo Intervalo 1,331041,36921 x 2 = 1,33104 e x 3 = 1,36921 Secante Cálculo Numérico – Secante

11 11 Exemplo 19: 1,33104 e 1,36921 Cálculo da 3ª aproximação: x 2 = 1,33104 e x 3 = 1, ,02712 > 0 f(x 2 ) = 0,02712 > 0 0,19769 > 0 f(x 3 ) = 0,19769 > 0 x 4 = [1,33104.(0,19769) – 1,36921.(0,02712)] [0,19769 – (0,02712)] 1, x 4 = 1, Secante Cálculo Numérico – Secante

12 12 Exemplo 19: 1,33104 e 1,36921 Cálculo da 3ª aproximação: x 2 = 1,33104 e x 3 = 1,36921 Teste de Parada f(x 4 )0,00108 |f(x 4 )| =|0,00108| = 0,00108 < valor aceitável para a raiz (valor aceitável para a raiz) Secante Cálculo Numérico – Secante

13 13 1,5 1,7 Sejam x 0 = 1,5 e x 1 = 1,7 Assim: x 3 = [x 1.f(x 2 ) – x 2. f(x 1 )]/[f(x 2 ) - f(x 1 )] 1,99774 = 1,99774 x 2 = [x 0.f(x 1 ) – x 1. f(x 0 )]/[f(x 1 ) - f(x 0 )] = [1,5.(-1,41) – 1,7.(2,25)]/(-1,41 + 2,25) 2,03571 = 2,03571 Exemplo 13 Exemplo 20: Resgatando o Exemplo 13, no qual x 2 + x – 6 = 0 : Secante Cálculo Numérico – Secante

14 14 Assim: x 4 = [x 2.f(x 3 ) – x 3. f(x 2 )]/[f(x 3 ) - f(x 2 )] 1,99999 = 1,99999 Exemplo 13 Exemplo 20: Resgatando o Exemplo 13, no qual x 2 + x – 6 = 0 : Secante Cálculo Numérico – Secante Comentários: x = 1,99999 A parada poderá ocorrer na 3 a iteração (x = 1,99999 ), caso a precisão do cálculo com 5 casas decimais for satisfatória para o contexto do trabalho

15 15 Vantagens: Rapidez processo de convergência; Cálculos mais convenientes que do método de Newton; Desempenho elevado. Secante Cálculo Numérico – Secante

16 16 Desvantagens: f(x) Se o cálculo f(x) não for difícil, então o método logo será substituído pelo de Newton-Raphson; Secante Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos, logo não se deve usar o método da Secante ; Difícil implementação. Secante Cálculo Numérico – Secante


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