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Transições de Fase e Fenômenos Críticos PG – 2º Semestre de 2007 Ementa: 1.Fenomenologia de transições de fase. 2.Modelos magnéticos simples. 3.Universalidade.

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1 Transições de Fase e Fenômenos Críticos PG – 2º Semestre de 2007 Ementa: 1.Fenomenologia de transições de fase. 2.Modelos magnéticos simples. 3.Universalidade e scaling. 4.Métodos de aproximação. 5.Teoria de escala de tamanhos finitos. 6.Invariância conforme. 7.Sistemas desordenados. 8.Transições de fase quânticas. Instituto de Física, UFRJ última atualização: 16/8/2007

2 Modelos magnéticos simples A origem da interação magnética Modelo de Heisenberg isotrópico Modelo de Heisenberg anisotrópico Modelo de Ising Modelo de Heisenberg planar Modelo XY Dimensionalidade da rede magnética Simetria discreta vs. simetria contínua O modelo de Potts Universalidade: modelos de pseudo-spin

3 Interação magnética responsável pelo ordenamento magnético: troca (exchange) = repulsão coulombiana + princípio de Pauli Spins paralelos elétrons mais afastados diminui atração dos núcleos menor energia de ligação Spins anti-paralelos elétrons mais próximos aumenta atração dos núcleos maior energia de ligação acoplamento de troca: depende do recobrimento dos orbitais atômicos Molécula de H 2 Energia (Ry) Separação intermolecular (a 0 ) A origem da interação magnética

4 exchange direto superexchange: mediada por átomos não magnéticos exchange indireto em metais: mediada por elétrons de condução A origem da interação magnética

5 Modelo de Heisenberg isotrópico Spins-S localizados em sítios de uma rede regular: S i magnetismo de isolantes A interação entre pares de spin é isotrópica (no espaço de spins: Alcance da interação: J ij decai com |i j| implicações para dimensionalidade efetiva da rede

6 Modelo de Heisenberg isotrópico Com J > 0, o estado fundamental corresponde a ferromagnetismo saturado; Estados excitados: ondas de spin (deslocamentos transversais compartilhados por todos os sítios) spin de cada sítio não está em um estado bem definido

7 Fontes de anisotropia de spin: campo cristalino ou campo dipolar que atuam nos momentos magnéticos Exemplo: Dy 3+ L = 5, S = 5/2, J = 15/2 sem campo cristalino, o estado fundamental é o multipleto 2 H 15/2 degenerescência 16 com campo cristalino uniaxial (< acoplamento spin- órbita) quebra degenerescência em oito dubletes Para Dy 3 Al 5 O 12 (DAG), T c 2.5K << E/k B ~ 80K a baixas temperaturas o spin tem apenas dois estados, os de anisotropia máxima spin ½ efetivo J || ~ 100 J melhor descrito por anisotropia single-ion 15/2 13/2 1/2 80K Modelo de Heisenberg anisotrópico

8 Exemplo: Co 2+ [L = 3, S = 3/2] em CoCs 3 Cl 5. campo cristalino mais forte que acoplamento spin-órbita contribuição orbital para momento magnético é quenched componente axial do campo cristalino quebra degenerescência 4 do estado fundamental T c 0.52K << E/k B ~ 10K a baixas temperaturas o spin tem apenas dois estados, de anisotropia máxima spin ½ efetivo J || ~ 10 J melhor descrito por anisotropia Ising Modelo de Ising Na base de autoestados de S i z, |S 1 S 2 S n, com S i = S, (S 1), +S cada spin mantém sua individualidade pode-se substituir o operador por seu autovalor na Hamiltoniana No que diz respeito a classes de universalidade, diferença entre Heisenberg anisotrópico e Ising é imaterial; discrepâncias com relação a grandezas não- universais serão comentadas posteriormente.

9 Modelo de Heisenberg planar Exemplo: CsNiF 3. sem exchange: campo cristalino singleto (menor energia) e dubleto com exchange ~ gap singleto-dubleto mistura 3 estados spin efetivo S = 1 + anisotropia single-ion favorecendo alinhamento num plano fácil anisotropia single-ion (só se S > ½) com D < 0: favorece o alinhamento das componentes planares

10 Modelo XY É o limite extremo de anisotropia planar: spins confinados a um plano Planar XY Para grandezas universais, diferença entre planar e XY é imaterial

11 Dimensionalidade da rede magnética Anisotropia espacial possível (p.ex., materiais estruturados em camadas) determina a dimensionalidade da rede magnética: J ij pode depender da direção de i j : A distância entre átomos magnéticos entre planos distintos é bem maior que a distância quando estão no mesmo plano J || << J d = 2 YBa 2 Cu 3 O 7- (YBCO) Bi-2212 Cu O Ca Sr Bi

12 Dimensionalidade da rede magnética d = 1

13 Simetria discreta vs. simetria contínua

14 Generalização do modelo de Ising: o modelo de Potts modelo de Ising FM: dois estados possíveis para o spin num sítio energia de interação: J se dois spins vizinhos num mesmo estado (paralelos) +J se dois spins vizinhos em estados diferentes (paralelos) N.B.: o importante é que há um E 0 separando estes estados, e não de quanto é a separação simetria discreta: {S } { S } Questão [tese de doutorado proposta por C Domb a seu estudante RB Potts (tese de doutorado, Oxford, 1951)]: como generalizar Ising para q estados, preservando a simetria discreta? Imagine vetores clássicos em cada sítio de uma rede que podem apontar em qq uma de q direções: q = 2 q = 3 q = 4 Revisão: FY Wu (1982)

15 Modelo de Potts de 3 estados em 3 dimensões NdAl 2 PrAl 2, e DyAl 2 são ferromagnetos com simetria cúbica: na ausência de campo magnético H, a magnetização aponta em uma das dirções cristalinas [100], [010], ou [001]. A aplicação de um campo magnético na direção [111] estabiliza qualquer uma das direções igualmente. O sistema sofre uma transição de primeira ordem – descontinuidade na magnetização – em H c (T) B Barbara et al., JPC 11, L183(1978)

16 Modelo de Potts de 3 estados em 2 dimensões Gases nobres (He, Kr,...) adsorvidos na superfície de grafite; eles ocupam os centros dos hexágonos Berker et al., PRB 17, 3650 (1978) Para cobertura (i.e., fração de sítios ocupados) 1/3, os átomos de Kr preferem ocupar uma das 3 sub-redes q = 3

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18 Efeitos da dimensionalidade Modelo de Ising d=3: séries; d=2: exato (Onsager); d=1: exato (Ising) MF falha até mesmo em 3D: T c superestimada descontinuidade, ao invés de divergência ausência da cauda de altas temperaturas Flutuações mais importantes quando d : T c descresce T c 0 em d =1

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26 Paul Coddington, University of Adelaide,

27 Referências [RMP=Rev Mod Phys; PRX=Phys Rev X;] LJ de Jongh and AR Miedema, Adv Phys 23, 1 (1974) LP Kadanoff et al., RMP 39, 395 (1967) HE Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, (Oxford), 1967 FY Wu, RMP 54, 235 (1982); 55, 315 (1983) (E). JM Yeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions, (Oxford), 1992.


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