Delineamentos Fatoriais Fracionários com Dois Níveis

Apresentação em tema: "Delineamentos Fatoriais Fracionários com Dois Níveis"— Transcrição da apresentação:

1 Delineamentos Fatoriais Fracionários com Dois Níveis
Nos experimentos fatoriais, o número de tratamentos aumenta rapidamente quando temos muitos fatores em estudo. Por exemplo: 26 = 64 tratamentos, a divisão dos graus de liberdade é dada por: 6 graus de liberdade para os efeitos principais 15 gruas de liberdade para as interações de 1a ordem (interações com dois fatores) 42 graus de liberdade para interações de 2a ordem ou de ordem superior Se o pesquisador pode assumir que as interações de maior ordem (2a ordem ou acima) podem ser desprezíveis, então, informações sobre os efeitos principais e interações de ordem menor podem ser obtidas utilizando apenas uma fração do experimento fatorial completo. Estes delineamentos estão entre os mais usados em projetos de desenvolvimento de produtos e processos e, também, na melhoria de processos.

2 Principal uso: experimentos pilotos (screening experiments)  são experimentos, nos quais, usamos muitos fatores, com o propósito de identificar aqueles com efeito bastante grande. Geralmente são realizados numa etapa anterior ao experimento definitivo. Os fatores identificados com efeito significante, são estudados num experimento mais completo. Três idéias básicas: 1) quando existem muitas variáveis, o processo ou o sistema é conduzido por alguns poucos efeitos principais e interações de menor ordem; 2) A partir dos experimentos fatoriais fracionários podemos projetar experimentos mais completos (maiores) dentro de um subconjunto de fatores significantes; 3) Pode-se combinar dois ou mais experimentos fracionários, sequencialmente e, assim, estimar os efeitos e interações de interesse.

3 Exemplo: Validação de metodologia
ROBUSTEZ De acordo com as recomendações do INMETRO para a realização do teste de Youden, as variações analisadas foram dispostas em oito combinações de ensaio com as ordens previamente definidas como mostra a Tabela. Tabela. Fatores com as respectivas variações Fator Nominal Variação Massa da amostra g (A) g (a) Utilização do vidro relógio Com (B) Sem (b) Tempo de aquecimento 5 minutos (C) minutos ( c) Agitação x (D) x (d) Vidraria Conjunto 1 (E) Conjunto 2 (e) Tempo de repouso para leitura da absorbância 10 minutos (F) 2 horas (f) Temperatura da Mufla ºC (G) ºC (g)

4 Fração 1/2 de um delineamento 2k
Vamos considerar o experimento fatorial: 23=8 tratamentos. Porém, só podemos realizar 4 tratamentos, assim, temos: 2k-p onde k=3 e p=1 A tabela com sinais de + e - para o fatorial 23 é dada na tabela a seguir:

5 + C + B a - - - A +

6 Podemos escolher os tratamentos a, b,c, abc, para o nosso experimento.
Observe que o nosso fatorial fracionário 23-1, é formado pelos tratamentos com sinal + para a coluna ABC. Então ABC é chamado de GERADOR da fração. Observe que, para a fração escolhida, temos: I=ABC denominada de RELAÇÃO DE DEFINIÇÃO (DEFINIDORA). Em geral, a relação de definição, sempre será o conjunto de todas as colunas que são iguais a coluna identidade I. No exemplo, temos uma só coluna. Observando-se a tabela de sinais (+ e -), as combinações lineares para estimar os efeitos principais de A, B e C, são:

7 Observamos, também, que as combinações lineares para estimar os efeitos das interações com dois fatores são: Observamos, que: Na realidade, estamos estimando: A+BC; B+AC; C+AB Dois ou mais efeitos com esta propriedade são chamados de ASSOCIADOS (ALIASES). Portanto, A e BC são associados, e assim por diante. Notação: A estrutura dos associados pode ser encontrada usando a relação de definição I=ABC. Multiplicando qualquer coluna pela relação de definição, obtemos os associados para aquele efeito. No exemplo, o associado do efeito A é: A.I=A.ABC=A2BC=A0BC=BC A=BC (Dois módulo dois=0)

8 De forma similar, encontramos:
B.I=B.ABC=AB2C=AB0C=AC B=AC e C.I=C.ABC=ABC2=ABC0=AB C=AB Esta fração, com I=+ABC, é denominada de fração principal. A fração 1/2 complementar, é formada pelos tratamentos (1), ab, ac e bc. A relação de definição para esta fração é: I=-ABC As combinações lineares, para esta fração, são: Assim, quando nós estimamos A,B e C, com esta fração, nós realmente estamos estimando: A-BC; B-AC; C-AB

9 A resolução de um delineamento
Se, após executarmos uma fração do experimento, executarmos a outra fração do experimento, teremos os 8 tratamentos. Agora, podemos estimar todos os efeitos. Isto é feito através da adição e subtração das combinações lineares dos efeitos das frações individuais. Por exemplo: E, assim, para os demais efeitos. A resolução de um delineamento 1- Resolução III. Os efeitos principais não estão associados com qualquer outro efeito principal, mas efeitos principais estão associados com interações de dois fatores e interações com dois fatores podem estar associadas entre elas. 2- Resolução IV. Os efeitos principais não estão associados com qualquer outro efeito principal ou com qualquer interação de dois fatores, mas interações com dois fatores estão associadas entre elas. 3- Resolução V. Os efeitos principais ou interações com dois fatores não estão associados com qualquer outro efeito principal ou interação com dois fatores, mas interações com dois fatores estão associadas com interações de três fatores.

10 Construção das frações 1/2.
Em geral, a resolução de um delineamento fatorial fracionário com dois níveis é igual ao menor número de letras em qualquer palavra na relação definidora. Quanto maior a resolução, mais fácil é a interpretação dos dados. Construção das frações 1/2. Para ilustrar a técnica do fracionamento (1/2 dos tratamentos), de resolução máxima, em experimentos fatoriais 2k, vamos considerar um experimento com k=5 fatores. 1) escrever um fatorial completo (delineamento básico), com 2k-1 tratamentos. No exemplo, temos 25-1 = 24 (nos fatores A, B, C e D) = 16 tratamentos, sem repetição.

11 2) Adicionar uma coluna para o fator E
2) Adicionar uma coluna para o fator E. Vamos identificar os seus sinais de + e - com os sinais de + e - da interação ABCD (ABC...(K-1)),portanto, E=ABCD. A fração alternativa pode ser obtida fazendo-se E=-ABCD. 3) A relação de definição é dada por: I=ABCDE. De modo geral I=ABC...K. Cada um dos efeitos principais terá uma interação de terceira ordem (4 fatores) como associado, e cada interação de primeira ordem (2 fatores) estará associada à uma de segunda ordem ( 3 fatores). Dessa maneira, o delineamento é de resolução V, e espera-se que este tipo de ensaio, dê informações satisfatórias com relação aos efeitos principais e interações de primeira ordem. Exemplo: (Montgomery, fourth edition, página 378)[arquivo: filtrationrateexperiment2na4menos1.sas]. Sobre a produção de um produto químico em um recipiente sob pressão. É um experimento fatorial 24, com uma repetição, onde os fatores são: A= Temperatura B= Pressão; C= Concentração de formaldeído; D= taxa de agitação. Vamos usar o delineamento 24-1, com relação de definição I=ABCD, com esta escolha do gerador (D=ABC) vamos conseguir um delineamento com a maior resolução possível (IV). O delineamento é mostrado na tabela a seguir.

12 Cada efeito principal é associado com uma interação de três fatores, por exemplo, AI=A(ABCD)=A2BCD=BCD. Interações com dois fatores estão associados com outras interações de dois fatores, por exemplo: AB.ABCD=A2B2CD=CD. As estimativas dos efeitos, por exemplo, para lA, é dada por: A tabela a seguir mostra as estimativas dos efeitos e a estrutura dos associados.

13 Observamos, na tabela acima, os seguintes efeitos significativos: A, C, D, AC e AD. Como o fator B, não é significativo, vamos desconsiderá-lo da análise.

14 .Pode-se verificar o efeito das interações na figura abaixo.
75 96 80 60 + Concentração (C) 45 100 + - Agitação - (D) 45 65 - Temperatura (A) +

15 Podemos ajustar um modelo de regressão para fazer predições dentro da faixa de pesquisa. O modelo é dado por: Onde: xi são variáveis codificadas (-1 xi  1) e os ’s são os parâmetros do modelo e que devem ser estimados. O modelo de regressão estimado é dado por: O intercepto é a média geral de todas as respostas. Na página seguinte ver superfície de resposta. Estimação do valor da taxa: temperatura = 1, concentração = -1 e agitação = 1.

16 Pressão = 1 e formaldeído = 1

17 A+BCDE, B+ACDE, C+ABDE e AB+CDE
Exemplo: [arquivo: example9_2process_improvement.sas] para o fatorial 25, vamos dar nomes aos fatores: A=concentração de farelo de aveia; B=níveis de gordura; C=níveis de bromato de potássio; D=níveis de fermento; E=níveis de água. O resultados a seguir foram obtidos através do SAS Software. Pode-se observar na tabela que os maiores coeficientes de regressão foram obtidos para os efeitos: A, B, C e AB. O gráfico normal de probabilidades para as estimativas dos efeitos mostra que os efeitos de A, B , C e AB, são os maiores. Lembre-se, que esses efeitos, na verdade, estão estimando: A+BCDE, B+ACDE, C+ABDE e AB+CDE Entretanto, parece ser, de bom senso, que interações com 3 fatores e maiores são desprezíveis e, concluímos, que apenas os efeitos de A, B, C e AB, são importantes.

18 Degrees of Parameter Parameter Freedom Estimate INTERCEPT A B C D E B*A C*A C*B D*A D*B D*C E*A E*B E*C E*D EFEITO ESTIMADO A B C D E AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE

19 Plot of VI*X$EFEITO. Symbol points to label.
‚ 2.0 ˆ ‚ > B 1.5 ˆ ‚ > A R 1.0 ˆ A ‚ > C N ‚ K ‚ > AB F 0.5 ˆ O ‚ AE 2 AD R ‚ ‚ > CD V ‚ A 0.0 ˆ R ‚ BC 2 E I ‚ A ‚ B ‚ CE 2 AC L -0.5 ˆ E ‚ X ‚ BE 2 BD -1.0 ˆ ‚ > D -1.5 ˆ ‚ > DE -2.0 ˆ Šƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒ X

20 A tabela a seguir apresenta a análise de variância com os efeitos importantes.
General Linear Models Procedure Dependent Variable: YIELD Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square C.V Root MSE YIELD Mean Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F A B C A*B

21 A distribuição é aleatória em torno de zero.
Segue aproximadamente a distribuição normal.

22 Verificando-se o gráfico da interação A x B, conclui-se que a maior produção é obtida nos níveis altos de A e de B. B+ 63 Produção B- 6 Baixo Alto A

23 Fração 1/4 de um delineamento 2k
Estes experimentos contém 2k-2=2k2-2=2k/22=2k/4 tratamentos. São chamados de fatoriais fracionários 2k-2. Construção: vamos através de um exemplo ilustrar a construção desses fatoriais fracionários. Vamos considerar um fatorial fracionário 26-2. 1) Inicialmente, vamos escrever um fatorial completo com k-2 fatores, no exemplo, 6-2=4 (ver tabela na próxima página). 2) Adicionar duas colunas, com escolha apropriada de interações com os primeiros k-2 fatores. Assim os fracionários (1/4)2k, tem dois geradores. Suponha que escolhemos I=ACDF e I=BCDE como geradores. A interação dos geradores ACDF e BCDE é ABEF; portanto, a relação de definição completa é dada por: I=ACDF=BCDE=ABEF portanto, este delineamento é de resolução 4. Os associados, para qualquer efeito, é obtido multiplicando-se este fator por cada palavra da relação de definição. Por exemplo, para o efeito A, temos: A=CDF=ABCDE=BEF (cada fator tem 3 associados). Os efeitos principais estão associados com interações de três e cinco fatores, ao passo que interações com dois fatores estão associados com interações de dois fatores ou mais. Portanto, quando estimamos A, na verdade estamos estimando, A+CDF+ABCDE+BEF. Se as interações triplas ou de maior ordem são desprezíveis, então este delineamento dá estimativas dos efeitos principais.

24 Exemplo de fatorial 26 [arquivo:injectionmoldingprocessexample9_4
Exemplo de fatorial 26 [arquivo:injectionmoldingprocessexample9_4.sas]; vamos estudar mais um fator no experimento anterior: A=concentração de farelo de aveia; B=níveis de gordura; C=níveis de bromato de potássio; D=níveis de fermento; E= água; F=leite em pó. Vamos supor que o pesquisador usou as 16 combinações da tabela acima.

25 0 = A*B*E*F = A*C*D*F = B*C*D*E
A = B*E*F = C*D*F = A*B*C*D*E B = A*E*F = C*D*E = A*B*C*D*F C = A*D*F = B*D*E = A*B*C*E*F D = A*C*F = B*C*E = A*B*D*E*F E = A*B*F = B*C*D = A*C*D*E*F F = A*B*E = A*C*D = B*C*D*E*F A*B = E*F = A*C*D*E = B*C*D*F A*C = D*F = A*B*D*E = B*C*E*F A*D = C*F = A*B*C*E = B*D*E*F A*E = B*F = A*B*C*D = C*D*E*F A*F = B*E = C*D = A*B*C*D*E*F B*C = D*E = A*B*D*F = A*C*E*F B*D = C*E = A*B*C*F = A*D*E*F A*B*C = A*D*E = B*D*F = C*E*F A*B*D = A*C*E = B*C*F = D*E*F Regression Parameter Coefficient INTERCEPT A B C D E F B*A+E*F C*A+D*F C*B+D*E D*A+C*F D*B+C*E E*A+B*F F*A+B*E EFEITO Estimativa A B C D E F AB AC AD AE AF BC BD

26 Fatoriais fracionários 2k-p
Os maiores efeitos são: C(Bromato de potássio), D(Fermento) e A*F(Farelo de aveia*leite em pó). Como a interação A*F foi significativa, para manter o princípio da hierarquia, recomenda-se incluir no modelo de regressão os efeitos de A e de F. Comentários: * Fazer estudo das interações (gráficos) * fazer gráficos de resíduos versus fatores (ver variabilidade) Fatoriais fracionários 2k-p Quando usamos a fração 1/(2p), temos um experimento com 2k-p tratamentos e o experimento é denominado de fatorial fracionário 2k-p. - Necessita-se de p geradores independentes - A relação definição é formada pelos p geradores inicialmente selecionados e as 2p-p-1 interações. A estrutura de associados pode ser encontrada multiplicando-se cada efeito pela relação de definição.

27 Uso de blocos nos fatoriais fracionários
Deve-se ter cuidado na escolha dos p geradores para um fatorial fracionário 2k-p, de tal forma que efeitos de interesse não estejam associados com outros também de interesse. Um critério razoável é selecionar os geradores de tal forma que o delineamento tenha a maior resolução possível. Montgomery, 1997, página , apresenta uma série de experimentos fatoriais fracionários 2k-p para k15fatores e até 128 tratamentos. Apresenta sugestões de geradores os quais resultam num delineamento de maior resolução possível. Uso de blocos nos fatoriais fracionários Algumas vezes, nos fatoriais fracionários necessita-se utilizar muitos tratamentos e não temos material experimental homogêneo suficiente, ou seja, as unidades experimentais são heterogêneas. Nestas situações podemos confundir, geralmente interações desprezíveis podem ser confundidas com blocos, ou seja, não sabemos se o que estamos testando é efeito de blocos ou dos efeitos. O apêndice Tabela XII, Montgomery, 1997, página , contém projetos de blocos para diversos fatoriais fracionários.

28 Exemplo [arquivo:injectionmoldingprocessexample9_4
Exemplo [arquivo:injectionmoldingprocessexample9_4.sas]: para ilustrar a técnica de confundimento, vamos usar o fatorial fracionário 26-2, de resolução IV, com relação de definição I=ACDF=BCDE=ABEF. Este delineamento contém 16 tratamentos. Vamos fazer o experimento com dois blocos de 8 tratamentos cada. Vamos precisar selecionar uma interação para confundir com blocos, examinando a estrutura de associados, observamos que existem dois conjuntos de associados que envolvem interações com 3 fatores. Vamos selecionar a interação ABC para confundir com blocos. Bloco I Bloco II (1) abef ace bcf def abd acdf bcde af be cef abc ade bdf cd abcdef Podemos usar o método da geometria finita para fazer o confundimento:

29 I=ABD=ACE=BCF=ABCG=BCDE=ACDF=CDG=ABEF=BEG=AFG=DEF=ADEG=CEFG=
Delineamentos de resolução III Vamos tratar, através de um exemplo, do uso seqüencial de delineamentos fatoriais fracionários, pois eles representam economia e eficiência na experimentação. É possível construir experimentos fatoriais fracionários de resolução III para estudar k=N-1 fatores em apenas N combinações (tratamentos) ou realizações, onde N é um múltiplo de 4. Por exemplo, 4 realizações para 3 fatores, 8 realizações para k=7 e 16 realizações para 15 fatores. Se k=N-1 o fatorial fracionário é dito saturado. Fatorial fracionário 27-4 de resolução III Construção: 1) escrever um delineamento completo básico para o fatorial 27-4=23=8 realizações em A, B e C; 2) vamos associar os níveis dos outros 4 fatores com as interações dos três fatores originais (A,B e C) do seguinte modo: D=AB, E=AC, F=BC, G=ABC; 3) os geradores são: I=ABD, I=ACE, I=BCF, I=ABCG; 4) a relação de definição é obtida multiplicando-se os geradores dois a dois, três a três e quatro a quatro. Daí obtemos: I=ABD=ACE=BCF=ABCG=BCDE=ACDF=CDG=ABEF=BEG=AFG=DEF=ADEG=CEFG= BDFG=ABCDEFG

30 Nome da tabela: professor.

31 5) para encontrar os associados para qualquer efeito, multiplicar o efeito por cada palavra da relação definidora. Por exemplo, os associados para B, são: B=AD=ABCE=CF=ACG=CDE=ABCDF=BCDG=AEF=EG=ABFG=BDEF=ABDEG=BCEFG=DFG=ACDEFG Este delineamento tem (1/16)27=8 tratamentos. É de resolução III, pois a menor “palavra” da relação definidora tem 3 letras. Qualquer um dos 16 diferentes delineamentos podem ser construídos usando-se geradores com um dos 16 possíveis arranjos em I= ±ABD, I= ±ACE, I= ±BCF, I= ±ABCG. Nesse delineamento foi escolhido os sinais positivos dos geradores (fração principal). Os 7 graus de liberdade podem ser usados para estimar os 7 efeitos principais. Cada um desses efeitos tem 15 associados; entretanto, se nós assumirmos que interações de 3 fatores ou de ordem maior são desprezíveis, então considerável simplificação ocorre na estrutura dos associados. Fazendo esta suposição, cada combinação linear associada com os 7 efeitos principais nesse delineamento estimam os efeitos principais e três interações duplas: Apêndice tabela XII(h) Lembrete: fazer algumas interpretações, gráficos.

32 Construção de delineamentos de resolução III para estudos com menos do que 7 fatores em 8 realizações Podemos usar o fatorial fracionário 27-4, de resolução III. Exemplo: desejamos fazer um estudo com 6 fatores em 8 realizações. Para gerar este delineamento simplesmente, eliminamos qualquer coluna da tabela do fatorial 27-4, de resolução III, por exemplo, a coluna do fator G. Assim temos o delineamento:

33 I=ABD=ACE=BCF=BCDE=ACDF=ABEF=DEF
A relação definidora para o delineamento 26-3, de resolução III, é a mesma do delineamento 27-4 com qualquer “palavra” que contenha a letra G sendo eliminada. Assim, a relação definidora, fica: I=ABD=ACE=BCF=BCDE=ACDF=ABEF=DEF Realização sequencial de frações para separar efeitos – Fold Over Combinando-se delineamentos fatoriais fracionários nos quais certos sinais são trocados (nos geradores), podemos sistematicamente isolar efeitos de grande interesse. Este tipo de experimento é chamado Fold over do delineamento original Exemplo: voltamos a considerar o delineamento 27-4, de resolução III. Suponha que, junto com a fração principal, uma segunda fração do delineamento foi utilizada com os sinais trocados na coluna para o fator D. Isto é, a coluna para D é dada por: Na fração principal a coluna D tem sinais: Os efeitos que podem ser estimados nesta segunda fração são (assumindo que interações de três fatores ou maior não são significativas):

34 Agora, a partir das duas combinações lineares dos efeitos
obtemos, Assim, isolamos o efeito principal de D e todas as suas interações de dois fatores. Em geral, se nós adicionamos a um fatorial fracionário de resolução III ou maior, mais uma fração com os sinais trocados de um único fator, então, o delineamento combinado produzirá estimativas do efeito principal deste fator e de todas as suas interações duplas. Agora, suponha que nós adicionamos uma segunda fração com os sinais trocados de todos os fatores.Este procedimento o qual é denominado “full fold over” (Completamente dobrado ou fracionado), quebra a associação entre efeitos principais e interações de dois fatores. Isto é, nós podemos usar um delineamento combinado para estimar todos os efeitos principais, livres de interação de dois fatores.

35 Exemplo:[arquivo: fatfracionario2na7menos4formulacaoqueijo
Exemplo:[arquivo: fatfracionario2na7menos4formulacaoqueijo.sas] um tecnólogo fez um experimento para formular um queijo. Dentre diversas variáveis respostas, ele está interessado em estudar a variável denominada sólidos totais. O pesquisador selecionou um conjunto de sete fatores sobre os quais ele tem controle. Os fatores julgados importantes pelo pesquisador são: A) extrato aquoso de soja, B) leite bovino, C) sal, D) ácido láctico, E) tempo de acidificação da massa, F) temperatura da massa e G) Coalho. Dois níveis de cada fator foram considerados. O pesquisador suspeita que apenas alguns fatores são significantes e que interações de alta ordem são desprezíveis. Assim, o pesquisador decide realizar um experimento piloto para identificar os fatores importantes e, então, concentrar esforços nos fatores significativos. Ele usou as combinações de tratamentos de um 27-4, de resolução III da tabela professor, em ordem aleatória, obtendo os seguintes valores de sólidos totais:

36 Os valores estimados dos sete efeitos principais e seus associados são:
Por exemplo: Os três maiores efeitos são: lA, lB e lD. Portanto, os efeitos de A, B e D são significantes. Entretanto, poderíamos interpretar que A,B e a interação AB, ou talvez, B,D e a interação BD, ou, ainda, A,D e a interação AD são significativos. Para separar os efeitos principais e as interações com dois fatores, uma segunda fração é realizada com todos os sinais trocados. Este delineamento “fold-over” é mostrado na tabela seguinte, juntamente com os valores verificados no experimento:

37 Note que quando temos um delineamento “fold over” de resolução III, na verdade mudamos os sinais dos geradores que tem um número ímpar de letras. Os efeitos estimados por esta fração são:

38 Combinando-se as duas frações, obtemos as seguintes estimativas dos efeitos:
Por exemplo, para B, na primeira fração, temos: (-85,5-75,1+93,2+145,4-83,7-77,6+95,0+141,8)/4= 38,38; para B, na segunda fração, temos: (+91,3+136,7-82,4-73,4+94,1+143,8-87,3-71,9)/4=37,73 Os maiores efeitos são de B e D. Além disso, o terceiro maior efeito é devido a BD+CE+FG, parece razoável atribuir essa significância à interação BD. O pesquisador realiza um novo experimento com os fatores B e D, com os outros fatores, A,C,E e F padronizados (nos níveis padrões).

39 A relação definidora para o delineamento “fold over”
Cada fração separada terá L+U palavras usadas como geradores: L palavras de mesmo sinal e U palavras de sinais diferentes. O delineamento combinado terá (L+U-1) palavras usadas como geradores. Estas serão as L palavras de mesmo sinal e as U-1 palavras consistindo de independentes produtos pares das palavras de sinais diferentes.(produtos pares são palavras tomadas duas a duas, quatro a quatro, e assim por diante.) Exemplo: vamos considerar o delineamento para elaboração de um queijo; para a primeira fração, os geradores são: I=ABD, I=ACE, I=BCF, I=ABCG e, para a segunda fração, os geradores são I=-ABD, I=-ACE, I=-BCF e I=ABCG Observe que, na segunda fração, trocamos os sinais dos geradores com um número ímpar de letras. Temos L=1 (I=ABCG, palavra de mesmo sinal nas duas frações como gerador), e U=3 (número de palavras com sinais diferentes nas duas frações). O delineamento combinado teráI=ABCG ( a palavra de mesmo sinal) como gerador, e U-1=3-1=2 palavras que são produtos pares independentes das palavras de sinais diferentes. Por exemplo, tomando I=ABD e I=ACE; então I=(ABD)(ACE)=BCDE é um gerador do delineamento combinado. Tomando, I=ABD e I=BCF, então, I=(ABD)(BCF)=ACDF é um gerador do delineamento combinado. A relação definidora completa para o delineamento combinado é dada por: I=ABCG=BCDE=ACDF=ADEG=BDFG=ABEF=CEFG

40 Delineamentos de resolução IV e V
As duas frações combinadas do fatorial fracionário 27-4, de resolução III, dado na seção anterior, fica um 27-3, de resolução IV, isto é, os efeitos principais não estão associados com interações de dois fatores e interações de dois fatores estão associadas com outras interações de dois fatores. Assim, se interações triplas e de ordem maior são desprezíveis, os efeitos principais podem ser estimados diretamente. Qualquer 2k-p, de resolução IV, deve conter pelo menos 2K realizações (tratamentos). Delineamentos de resolução IV que contém exatamente 2k realizações (tratamentos) são chamados de delineamento mínimo (minimal design). Para obter um delineamento fold over de resolução IV, fazer uma segunda fração na qual o sinal é trocado para todo o gerador que tem um número par de letras. Para exemplificar vamos considerar o fatorial fracionário 26-2, de resolução IV, usado anteriormente. Os geradores são: I=ACDF, I=BCDE. A segunda fração usaria os geradores: I=-ABCE, I=-BCDF. E o único gerador par o delineamento combinado seria : I=ADEF. Portanto, o delineamento continua de resolução IV. Entretanto, a estrutura dos associados é muito mais simples do que o original. De fato, as interações de dois fatores que serão associadas são: AD=EF, AE=DF e AF=DE.