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Profa. Silvia Modesto Nassar Raciocínio Aproximado Relações Clássicas Relações Difusas Implicação: se A então B –Lógica Clássica –Lógica.

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1 Profa. Silvia Modesto Nassar Raciocínio Aproximado Relações Clássicas Relações Difusas Implicação: se A então B –Lógica Clássica –Lógica Difusa : regras difusas e operações de composição Princípio de Extensão e Raciocínio Aproximado: se A então B Ross – cap 7: Classical Logic and Fuzzy Logic

2 Profa. Silvia Modesto Nassar Raciocínio aproximado: regra difusa e operação de composição Regra difusa: A e B são conjuntos difusos. –Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B –Regra 1: A B = R=(AxB)U( AxY) Produto Cartesiano Considerando uma nova entrada (antecedente) A teremos a saída (conseqüente) B: B= A R Relação R Operação de Composição

3 Profa. Silvia Modesto Nassar Sistema Difuso: raciocínio aproximado Entradascrisp Fuzzificação Regras Inferência Fuzzy Desfuzzifica- ção Saídascrisp

4 Profa. Silvia Modesto Nassar Relações Clássicas Produto Cartesiano: –Uma seqüência ordenada de n elementos (a 1, a 2, a 3,..., a n ) é chamada de n-tupla ordenada. –Sejam os conjuntos A 1, A 2, A 3,..., A r então o conjunto de todas as r-tuplas, onde a 1 A 1, a 2 A 2 e a r A r, é chamado de PRODUTO CARTESIANO A 1 xA 2 xA 3 x... xA r –Quando A r são iguais a A então o produto cartesiano A 1 xA 2 xA 3 x... xA r é denotado por A r

5 Profa. Silvia Modesto Nassar Produto Cartesiano: exemplos Para os conjuntos A={0, 1} e B={a, b, c} temos os seguintes produtos cartesianos: –AxB= {(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c)} –BxA= {(a, 0), (b, 0), (c, 0), (a, 1), (b, 1), (c, 1)} –AxA=A 2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}

6 Profa. Silvia Modesto Nassar Produto Cartesiano: relações n-árias Um subconjunto do Produto Cartesiano A 1 xA 2 x... xA n é chamada de um RELAÇÃO n-ária sobre A 1, A 2,...,A n. O PRODUTO CARTESIANO de dois universos X e Y é definido como: X x Y = {(x,y) | x X e y Y} x X e y Y A força desta RELAÇÃO entre os pares ordenados de elementos é definida pela função característica א a seguir: א XxY (x,y) =1 se (x,y) XxY (completamente relacionado) 0 se (x,y) XxY (não relacionado)

7 Profa. Silvia Modesto Nassar Produto Cartesiano: representação Um subconjunto do Produto Cartesiano A 1 xA 2 x...xA n é chamada de um RELAÇÃO n-ária sobre A 1, A 2,...,A n. –Diagrama Sagittal –Matriz de Relação - Cardinalidade da relação R : n x *n y X Y 1 a 2 b 3 c R = a b c R

8 Profa. Silvia Modesto Nassar Relações Clássicas: operações Sejam duas relações R e S no universo cartesiano X x Y: União: R S – R S (x,y) = max [ R (x,y), S (x,y) ] Intersecção: R S – R S (x,y) = min [ R (x,y), S (x,y) ] Complemento: R – R (x,y) = 1 - R (x,y)

9 Profa. Silvia Modesto Nassar Relações Clássicas: operações Sejam duas relações R e S no universo cartesiano X x Y: Contido: R S – R (x,y) S (x,y) Identidade: – O e X E onde a relação O é a relação nula (matriz nula) e a relação E é a relação universal ou completa (matriz identidade)

10 Profa. Silvia Modesto Nassar Relações Clássicas: composição X Y Z x 1 y 1 x 2 y 2 z 1 x 3 y 3 z 2 R S A relação T é uma relação de COMPOSIÇÃO na forma T= R S

11 Profa. Silvia Modesto Nassar Relações Clássicas: composição T= R S S = y1 y2 y3 z1 z2 R = x1 x2 x3 y1 y2 y3 T = x1 x2 x3 z1 z2 COMPOSIÇÃO: max-min

12 Profa. Silvia Modesto Nassar Relações Clássicas: exemplos de composição Sejam as relações R, S e T= R S: Composição max-min: – T (x,z) = max [min(( R (x,y), S (y,z) )] y Y Composição max-produto ou max-dot : – T (x,z) = max [( R (x,y) * S (y,z) )] y Y

13 Profa. Silvia Modesto Nassar Inferência Dedutiva: exemplo Sejam os universos de discurso X e Y definidos por X={1,2,3,4} e Y={1,2,3,4,5,6}. Sejam os conjuntos clássicos A={2,3} e B={3,4}. Obtenha a matriz de relação para a regra Se A então B, utilizando R= (AxB) ( A x Y) R (x,y) = max [( A (x) B (y) ), ((1- A (x)) 1) ] (cap. 7, pag ROSS)

14 Profa. Silvia Modesto Nassar Relações Difusas: princípio da extensão Mapeiam os elementos de um universo X para outro universo Y Produto Cartesiano X x Y A força da relação para os pares (x,y) é definida em [0;1] por uma Função de Pertinência. A cardinalidade de uma relação difusa R é infinita

15 Profa. Silvia Modesto Nassar Sejam dois conjuntos difusos A em X e B em Y então o produto cartesiano AxB=R XxY A relação difusa R tem a seguinte função de pertinência R (x,y) = AxB (x,y) =min [ A (x), B (y) ] Relação Difusa R: princípio da extensão

16 Profa. Silvia Modesto Nassar Raciocínio aproximado: regra difusa e operação de composição Regra difusa: A e B são conjuntos difusos –Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B –Regra 1: A B = R=(AxB)U( AxY) Produto Cartesiano Considerando uma nova entrada (antecedente) A teremos a saída (conseqüente) B: B= A R Relação R Operação de Composição

17 Profa. Silvia Modesto Nassar Relações Difusas: operações padrão União: R S – R S (x,y) = max [ R (x,y), S (x,y) ] Intersecção: R S – R S (x,y) = min [ R (x,y), S (x,y) ] Complemento: R – R (x,y) = 1 - R (x,y) Contido: R S – R (x,y) S (x,y)

18 Profa. Silvia Modesto Nassar Relações Difusas: propriedades ATENDEM: –Comutatividade, associatividade, distributividade, involução e idempotência. NÃO ATENDEM: –Leis do meio excluído: R R E (relação completa, identidade) R R O (relação nula, nula)

19 Profa. Silvia Modesto Nassar Lógica Difusa: Raciocínio aproximado: –proposições imprecisas –extensão da lógica de predicados –valores de verdade [0, 1]

20 Profa. Silvia Modesto Nassar Lógica Clássica: inferência dedutiva (Modus Ponens) Regra R: Se A então B – onde A é definido no universo X e B é definido no universo Y – A regra é considerada uma RELAÇÃO entre os conjuntos A e B – R= (AxB) ( A x Y) – supondo um novo antecedente A então temos um novo conseqüente B – regra: Se A então B – onde B = A R = A ((AxB) ( A x Y)) – R (x,y) = max [( A (x) B (y) ), ((1- A (x)) 1) ]

21 Profa. Silvia Modesto Nassar Lógica Difusa: Raciocínio aproximado Regra difusa: A e B são conjuntos difusos. –Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B –Regra 1: A B = R=(AxB)U( AxY) Produto Cartesiano Considerando uma nova entrada (antecedente) A teremos a saída (conseqüente) B: B= A R Relação R Operação de Composição

22 Profa. Silvia Modesto Nassar Formas de Implicação Difusa Para a relação difusa R com base na regra SE A então B, isto é R = A B, temos: Mamdani: R (x,y) = min [ A (x), B (y) ] Lukasiewicz: R (x,y) = min [1, ( 1- A (x)+ B (y) ] Soma Limitada: R (x,y) = min [ 1, ( A (x) + B (y)) ] Goguen: R (x,y) = min [1, ( B (y)/ A (x) ] Ross – cap 7: pag 209

23 Profa. Silvia Modesto Nassar Formas de Composição Difusa Composição B = A R temos para todo x X: max-min: B (y) = max{min [ A (x), R (x,y) ] } max-produto: B (y) = max { A (x)* R (x,y)} min-max: B (y) = min{max [ A (x), R (x,y) ] } max-max: B (y) = max{max [ A (x), R (x,y) ] } min-min: B (y) = min{min [ A (x), R (x,y) ] } Ross – cap 7: pag 210


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