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Operações com Conjuntos Nebulosos Nossa vida é desperdiçada em detalhes. Simplifique, simplifique. Henry Thoureau Adriano Cruz ©2002 NCE e IM/UFRJ

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Apresentação em tema: "Operações com Conjuntos Nebulosos Nossa vida é desperdiçada em detalhes. Simplifique, simplifique. Henry Thoureau Adriano Cruz ©2002 NCE e IM/UFRJ"— Transcrição da apresentação:

1 Operações com Conjuntos Nebulosos Nossa vida é desperdiçada em detalhes. Simplifique, simplifique. Henry Thoureau Adriano Cruz ©2002 NCE e IM/UFRJ

2 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 2 Sumário n Operações de Zadeh n Normas T n Normas S n Propriedades de Conjuntos Nebulosos n Entropia Nebulosa

3 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 3 Operacões de Zadeh n Lofty Zadeh definiu funções para as operações básicas entre conjuntos nebulosos n Estas operações reduzem-se as operações booleanas quando utilizamos conjuntos nitidamente definidos.

4 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 4 Operação de União União: a função de inclusão U (x) da união dos conjuntos A e B (A B) é definida como

5 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 5 Operação de Interseção Interseção: a função de inclusão (x) da interseção dos conjuntos A e B (A B) é definida como

6 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 6 Operação de Complemento Complemento: a função de inclusão C (x) do complemento de um conjunto A é definida como

7 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 7 Por que estes operadores? n Para conjuntos nitidamente definidos as operações básicas estão bem definidas, mas para conjuntos nebulosos esta definição é nebulosa n As operações com conjuntos nebulosos devem obedecer a um conjunto de regras que as generalizam e são chamadas de normas T e normas S n Normas T generalizam a operação de Interseção e Normas S as de união

8 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 8 Operação de Interseção n Qualquer função que seja empregada para representar interseção deve respeitar as Normas T n Normas T mapeiam [0,1]x[0,1] [0,1] e devem satisfazer os cinco axiomas mostrados a seguir n Sejam A (x), B (x), C (x) e D (x) quatro funções. Para facilitar vamos representá-las por a, b, c e d.

9 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 9 Normas T

10 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 10 Normas T - comentários n Pode ser provado que a operação de mínimo é uma norma T n A operação de produto também é uma norma T n Existem outras operações que satisfazem a estes axiomas n Pode ser provado que para qualquer norma T temos

11 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 11 Mínimo, norma T?

12 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 12 Operação de União n Qualquer função que seja empregada para representar união deve respeitar as Normas S n Normas S mapeiam [0,1]x[0,1] [0,1] e devem satisfazer os cinco axiomas mostrados a seguir n Sejam A (x), B (x), C (x) e D (x) quatro conjuntos nebulosos. Para facilitar vamos chamá-los de a,b,c e d.

13 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 13 Normas S

14 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 14 Normas S - comentários n Pode ser provado que a operação de máximo é uma norma S n Existem outras operações que satisfazem a estes axiomas n A operação de soma não satisfaz a norma S.1 e não pode ser usada n Pode ser provado que para qualquer norma S temos

15 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 15 Máximo, norma S?

16 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 16 Operação de soma limitada, norma S?

17 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 17 Operação de soma limitada, norma S?

18 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 18 Outros testes Provar que T(a,b)<= min(a,b)

19 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 19 Pairs of T-norms and S-norms n T-norm - Drastic Product: n S-norm - Drastic Sum:

20 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 20 Pairs of T-norms and S-norms n T-norm - Bounded Difference: n S-norm - Drastic Sum:

21 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 21 Pairs of T-norms and S-norms n T-norm – Einstein Product: n S-norm - Einstein Sum:

22 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 22 Pairs of T-norms and S-norms n T-norm – Algebraic Product: n S-norm - Algebraic Sum:

23 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 23 Pairs of T-norms and S-norms n T-norm – Hamacher Product: n S-norm - Hamacher Sum:

24 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 24 Pairs of T-norms and S-norms n T-norm – Dubois-Prade: n S-norm – Dubois-Prade: Obs. p is a parameter that ranges from 0 to 1.

25 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 25 Dubois-Prade Operators n When p=1 –Dubois-Prade T-norm becomes the Algebraic Product (xy) –Dubois-Prade S-norm becomes the Algebraic Sum (x+y-xy) n When p=0 –Dubois-Prade T-norm becomes the min(xy) –Dubois-Prade S-norm becomes the max(xy)

26 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 26 Pairs of T-norms and S-norms n T-norm – Yager: n S-norm – Yager: Obs. p is a parameter that ranges from 0 to.

27 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 27 Yager Operators n When p=1.0 –Yager T-norm becomes the bounded difference (max(0,x+y-1)) –Yager S-norm becomes the bounded sum (min(1,x+y)) n When p-> –Yager T-norm converges to min(x,y) –Yager S-norm converges to max(x,y)

28 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 28 Propriedades de Conjuntos Nebulosos

29 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 29 Propriedades de Conjuntos Nebulosos

30 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 30 Verificando propriedades Lembrar que e

31 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 31 Verificando propriedades Vamos verificar a propriedade de Absorção

32 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 32 Verificando propriedades

33 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 33 Verificando propriedades

34 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 34 Leis de Aristóteles n Lei da não contradição: Estabelece que um elemento ou pertence a um conjunto ou ao seu complemento. n Como a interseção entre um conjunto e seu complemento pode não ser vazia temos o seguinte resultado

35 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 35 Leis de Aristóteles n Lei da exclusão do meio: Estabelece que a união de um conjunto ao seu complemento fornece o conjunto Universo n O resultado pode não ser o universo domínio

36 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 36 Interseção entre conjuntos adultosNão adultos

37 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 37 Entropia Nebulosa n A entropia de um conjunto é definida pela fórmula n c refere-se a uma contagem (adição ou integração) sobre o suporte do conjunto. n Observar que para um conjunto nítido o numerador é sempre 0 e a entropia de um conjunto nítido é sempre igual a 0.

38 @2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJOperações com Conjuntos Nebulosos 38 Entropia Nebulosa adultosNão adultos A entropia dos conjunto dos adultos é igual a


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