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Estatística Aula 14 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado.

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1 Estatística Aula 14 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

2 Aula 13 Esperança Matemática Esperança Matemática Propriedades da Esperança Propriedades da Esperança Variância Variância Desvio Padrão Desvio Padrão Aplicações Aplicações

3 Já tínhamos visto que podemos representar graficamente uma distribuição de probabilidade com Já tínhamos visto que podemos representar graficamente uma distribuição de probabilidade com Um histograma Um gráfico de barras Esperança Matemática Para entender o conceito de Esperança matemática ou Para entender o conceito de Esperança matemática ou valor esperado, partiremos de um exemplo discreto com valor esperado, partiremos de um exemplo discreto com um histograma de probabilidade descobriremos onde um histograma de probabilidade descobriremos onde está o Centro dele (CVDOT) estenderemos o conceito está o Centro dele (CVDOT) estenderemos o conceito de média para Esperança matemática ou valor esperado de média para Esperança matemática ou valor esperado generalizaremos para distribuições contínuas generalizaremos para distribuições contínuas

4 Esperança Matemática Exemplo Um estudo consiste na escolha aleatória de 14 recém-nascidos e na contagem do número de meninas. Se considerarmos que meninos e meninas são igualmente prováveis, construa a distribuição de probabilidade e calcule a média Xf(x) = P(X=x) 00,000 10,001 20,006 30,022 40,061 50,122 60,183 70,209 80,183 90, , , , , ,000 histograma de probabilidade Distribuição de probabilidade

5 Esperança Matemática Onde está a média? Como calculá-la? Lembrando do cálculo de média em dados agrupados... = 0. 0, , , , , , , = 0. 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , = 6, , , = 6,993 7

6 Esperança Matemática CVDOT

7 Esperança Matemática O que fizemos no exemplo anterior? Vimos que uma distribuição de probabilidade pode ser interpretada como uma distribuição de frequência dos valores do espaço amostral Imaginemos uma população, onde são possíveis vários resultados N resultados possíveis Podemos fazer: distribuição de frequência de cada resultado Calcular parâmetros, 2,,...

8 Esperança Matemática Se quisermos calcular a média a partir dos dados agrupados Onde a frequência relativa do resultado x i da população é a probabilidade de ocorrência de x i O que fizemos no exemplo anterior?

9 Esperança Matemática As distribuições de probabilidade são modelos teóricos em que as As distribuições de probabilidade são modelos teóricos em que as probabilidades dos valores assumidos pela v.a. podem ser probabilidades dos valores assumidos pela v.a. podem ser interpretadas como limites de freqüências relativas interpretadas como limites de freqüências relativas Podemos, assim, definir, para as distribuições de probabilidade as Podemos, assim, definir, para as distribuições de probabilidade as mesmas medidas de tendência central e de dispersão utilizadas nas mesmas medidas de tendência central e de dispersão utilizadas nas distribuições de freqüência distribuições de freqüência Assim como definimos a média de uma distribuição de freqüências Assim como definimos a média de uma distribuição de freqüências como a soma dos produtos dos diversos valores observados pelas como a soma dos produtos dos diversos valores observados pelas respectivas frequências relativas, define-se a média de uma v.a., ou respectivas frequências relativas, define-se a média de uma v.a., ou de sua distribuição de probabilidade, como a soma dos produtos de sua distribuição de probabilidade, como a soma dos produtos dos diversos valores x i da v.a. pelas respectivas probabilidades f(x i ) dos diversos valores x i da v.a. pelas respectivas probabilidades f(x i ) Então …

10 Esperança Matemática Da média à esperança matemática (ou valor esperado) A média de uma v.a. discreta é o resultado médio teórico para um n o infinito de tentativas. Podemos considerar a média como o valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se as tentativas pudessem continuar indefinidamente Repita o processo de jogar uma moeda cinco vezes, e o n o médio de caras é 2,5. Ao jogar uma moeda 5 vezes, o valor esperado do n o de caras é também 2,5.

11 Esperança Matemática A média de uma v.a. X é também chamada de valor esperado, ou A média de uma v.a. X é também chamada de valor esperado, ou esperança matemática, ou simplesmente esperança de X esperança matemática, ou simplesmente esperança de X É representada por E(X) e se define como: É representada por E(X) e se define como: Estendendo-se o somatório a todos os possíveis valores de X Estendendo-se o somatório a todos os possíveis valores de X E(X) é também chamada média populacional, denotada usualmente E(X) é também chamada média populacional, denotada usualmente por por Definição

12 Se a e b são constantes e X é uma v.a., então: Se a e b são constantes e X é uma v.a., então: Propriedades da Esperança de uma v.a. Demonstração

13 Demonstração

14 A média é uma medida de posição de uma v.a. A média é uma medida de posição de uma v.a. É natural que procuremos uma medida de dispersão da v.a. em relação à média É natural que procuremos uma medida de dispersão da v.a. em relação à média Essa medida é a variância Essa medida é a variância Variância da Variável Aleatória Introdução

15 Seja a v.a. X com valores numéricos x 1, x 2,..., x n e probabilidades associadas P(x 1 ),P(x 2 ),..., P(x n ). Definimos como variância de X: Seja a v.a. X com valores numéricos x 1, x 2,..., x n e probabilidades associadas P(x 1 ),P(x 2 ),..., P(x n ). Definimos como variância de X: Variância Definição Demonstração

16 O desvio padrão ( ) é a raiz quadrada positiva da variância O desvio padrão ( ) é a raiz quadrada positiva da variância O desvio padrão expressa a dispersão na mesma unidade de medida da v.a. O desvio padrão expressa a dispersão na mesma unidade de medida da v.a. Desvio padrão

17 No problema da contagem do número de meninas, ache agora a variância e o desvio padrão. Use a regra empírica da amplitude (abaixo) para achar os valores máximos e mínimos usuais Regra empírica da amplitude baseia-se no princípio de que, para muitos conjuntos de dados, a grande maioria (tal como 95%) dos valores amostrais se localiza a 2 desvios padrões da média média-2. s média média+2. s 95% dos valores Xf(x) = P(X=x)x. f(x)x2x2 x 2. f(x) 00, , ,0060,01240,024 30,0220,06690,198 40,0610,244160,976 50,1220,610253,050 60,1831,098366,588 70,2091, ,241 80,1831, ,712 90,1221,098819, ,0610, , ,0220, , ,0060, , ,0010, , , ,000 Total6,993 52,467 Valor usual mínimo = – 2. = 7 – 2. 1,9 = 3,2 Valor usual máximo = + 2. = ,9 = 10,8 Aplicações

18 Continuando o problema anterior, se uma empresa diz ter desenvolvido uma técnica que, supostamente aumenta as chances de um casal ter uma filha. Em um teste preliminar, foram encontrados 14 casais que desejavam ter filhas. Após o uso da técnica, 13 deles tiveram uma filha e um teve 1 filho. A técnica é eficaz ou devemos explicar o fato como resultado aleatório. Em outras palavras, a técnica é eficaz ou poderíamos obter 13 meninas entre 14 bebês apenas por acaso? Forma de solução 1: pela regra empírica, a grande maioria dos valores devem estar entre 3,2 e 10,8. Então 13 é um valor não usual. A técnica parece eficaz, pois é altamente improvável que, ao acaso, haja 13 meninas em 14 bebês Forma de solução 2: Se a probabilidade de nascer 13 ou mais meninas for muito pequena, este valor é não usual. Assim P(13 ou mais meninas) = P(13) + P(14) = 0, ,000 = 0,001. Então, como a probabilidade é muito baixa, 13 é um valor não usual. A técnica parece eficaz, pois é altamente improvável que, ao acaso, haja 13 meninas em 14 bebês Aplicações

19 Em um jogo, uma aposta direta funciona da forma seguinte: aposte 50 centavos e escolha um número de 3 dígitos entre 000 e 999. Se os seus 3 dígitos coincidem com os 3 sorteados, você recebe R$ 275,00, com um ganho líquido de R$ 274,50 (porque seus 50 centavos não serão devolvidos). Suponha que você aposte R$ 0,50 no número 007. Qual o valor esperado de ganho ou perda? Solução: há 2 resultados simples: você ganha ou você perde. Há possibilidades e você escolheu um número (007) Sua probabilidade de ganhar é 1/1000 = 0,001 Sua probabilidade de perder é 999/1000 = 0,999 Aplicações EventoXf(x)x. f(x) GanhaR$ 274,500,001R$ 0,2745 Perde- R$ 0,500,999- R$ 0,4995 Total- R$ 0,225 A longo prazo, para cada 50 centavos apostados, podemos esperar perder uma média de 22,5 centavos. Embora você não possa perder 22,5 centavos em um jogo individual, o valor esperado de – 22,5 centavos mostra que, numa longa sequência de jogos, a perda média é de 22,5 centavos

20 Uma loja de materiais de construção mantém registros de vendas diárias de furadeiras. O quadro abaixo fornece a quantidade de furadeiras vendidas em uma semana e a respectiva probabilidade. Uma loja de materiais de construção mantém registros de vendas diárias de furadeiras. O quadro abaixo fornece a quantidade de furadeiras vendidas em uma semana e a respectiva probabilidade. Quantidade f(x) 012 0,1 0,2 34 0,4 5 0,20,1 Se é de R$ 37,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado nas vendas de uma semana? Calculemos inicialmente E(X), que é o número esperado de aparelhos vendidos em uma semana: E(X) = 0(0,1) + 1(0,1) + 2(0,2) + 3(0,4) + 4(0,2) + 5(0,1) E(X) = 3,0 Solução: Para x unidades vendidas, o lucro é 37. x Logo: O lucro é dado por : R$ 111,00 (= 37. 3) Aplicações

21 O número de mensagens enviada por hora por meio de uma rede de computadores tem a seguinte distribuição: O número de mensagens enviada por hora por meio de uma rede de computadores tem a seguinte distribuição: x = nº de mensagens f(x) ,080,150, , ,200,07 Determine a média, a variância e o desvio padrão do número de mensagens enviadas por hora. 2 = 10 2 (0,08) (0,15) (0,30) (0,20) (0,20) (0,07) – 12,5 2 2 = 10 2 (0,08) (0,15) (0,30) (0,20) (0,20) (0,07) – 12,5 2 2 = 1,85 2 = 1,85 = (1,85) 1/2 = 1,36 = (1,85) 1/2 = 1,36 = E(X) = 10(0,08) + 11(0,15) + 12(0,30) + 13(0,20) + 14(0,20) + 15(0,07) = 12,5 = E(X) = 10(0,08) + 11(0,15) + 12(0,30) + 13(0,20) + 14(0,20) + 15(0,07) = 12,5 Aplicações

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