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Estatística 3 - Probabilidades. Experimento: Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior. Seja: x 1 = número da face superior.

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1 Estatística 3 - Probabilidades

2 Experimento: Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior. Seja: x 1 = número da face superior do 1º dado x 2 = número da face superior do 2º dado. Exemplo 1 – Espaço Amostral (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Espaço Amostral S: ESPAÇO AMOSTRAL: S Conjunto de todos os resultados possíveis de uma variável do fenômeno em observação EVENTO : A Sub-conjunto de resultados possíveis

3 Exemplo 1 – Operações a) Intersecção de eventos: ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1), (3,1), (3,2),..., (6,4), (6,5)} S A B

4 a) União de eventos: Exemplo 1 – Operações ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1), (3,1), (3,2),..., (6,4), (6,5)} S A B

5 a) Evento complementar: Exemplo 1 – Operações ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Consideremos o evento: B = x1>x2 = {(2,1), (3,1), (3,2),..., (6,4), (6,5)} B S B B

6 a) Eventos excludentes: Exemplo 1 – Operações ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Consideremos os eventos: E= x1=x2 = 1 = {(1,1)} F = x1+x2 = 5 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} E S E F F

7 ESPAÇO AMOSTRAL: S Conjunto de todos os resultados possíveis de uma variável do fenômeno em observação EVENTO : A Sub-conjunto de resultados possíveis FUNÇÃO PROBABILIDADE: P P : S [ 0, 1 ] Probabilidades PROBABILIDADE: onde m = número de resultados favoráveis ao evento A n = número de resultados possíveis

8 Exemplo 1 – Propriedades a) Intersecção de eventos: ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1), (3,1), (3,2),..., (6,4), (6,5)}

9 Propriedades: a) União de eventos: Exemplo 1 – Propriedades ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1), (3,1), (3,2),..., (6,4), (6,5)}

10 a) União de eventos: Exemplo 1 – Propriedades ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1), (3,1), (3,2),..., (6,4), (6,5)} B A

11 a) Evento complementar: Exemplo 1 – Propriedades ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Consideremos o evento: B = x1>x2 = {(2,1), (3,1), (3,2),..., (6,4), (6,5)} B Propriedade:

12 a) Eventos excludentes: Exemplo 1 – Operações Propriedades: ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Consideremos os eventos: E= x1=x2 = 1 = {(1,1)} F = x1+x2 = 5 = {(1,4), (2,3), (3,2)} F E

13 A B Exercício B A C

14 B A C Um escritório tem 70 projetos, dos quais 35 utilizam o software A 31 utilizam o software B 25 utilizam o software C

15 Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior: Seja:: x 1 = número 1º dado e x 2 = número 2º dado. ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Consideremos os eventos: A={(x 1,x 2 ) | x 1 + x 2 = 10}={(4,6),(5,5),(6,4)} B = {(x 1, x 2 ) | x 1 > x 2 } = {(2,1), (3,1), (3,2),..., (6,4), (6,5)} B A Exemplo 1 – Probabilidade Condicionada P(A) = 3/36 P(B) = 15/36 P(A B) = 1/36

16 Experimento: Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior: Seja:: x 1 = número 1º dado e x 2 = número 2º dado. Ocorreu o evento B P(A/B)=? ESPAÇO AMOSTRAL S A={(x 1,x 2 ) | x 1 + x 2 = 10} P(A)=3/36 B = {(x 1, x 2 ) | x 1 > x 2 } AA Ocorreu o evento B P(A|B)=1/15 Probabilidade Condicionada

17 A={(x 1,x 2 ) | x 1 + x 2 = 10} P(A)=3/36 B = {(x 1, x 2 ) | x 1 > x 2 } P(B)=15/36 A Probabilidade Condicionada B P(A B) = 1/36 Propriedade

18 ESPAÇO AMOSTRAL S A={(x 1,x 2 ) | x 1 + x 2 = 10} B = {(x 1, x 2 ) | x 1 > x 2 } P(B)=15/36 Probabilidade Condicionada Ocorreu o evento A P(B/A)=? BB Ocorreu o evento A P(B|A)=1/3

19 A={(x 1,x 2 ) | x 1 + x 2 = 10} P(A)=3/36 B = {(x 1, x 2 ) | x 1 > x 2 } P(B)=15/36 A Probabilidade Condicionada B P(A B) = 1/36 Propriedade

20 Retome o Exemplo 1: lan ç amento de 2 dados equilibrados Consideremos os eventos : A ={(x 1, x 2 ) | x 1 é par} B ={(x 1, x 2 ) | x 2 = 5 ou x 2 = 6} Eventos Independentes Observa ç ão : A, B são eventos independentes, não relacionados Saber que A ocorreu não fornece qualquer informa ç ão sobre a ocorrência de B P(A)=18/36=1/2P(B)=12/36=1/3 P(A B)=6/36=1/6 A B

21 Retome o Exemplo 1: lan ç amento de 2 dados equilibrados Consideremos os eventos : A ={(x 1, x 2 ) | x 1 é par} B ={(x 1, x 2 ) | x 2 = 5 ou x 2 = 6} Eventos Independentes Ocorreu o evento A P(B/A)=? Ocorreu o evento A P(B|A)=6/18=1/3 P(A)=18/36=1/2 P(B)=12/36=1/3 P(A B)=6/36=1/6

22 Retome o Exemplo 1: lan ç amento de 2 dados equilibrados Consideremos os eventos : A ={(x 1, x 2 ) | x 1 é par} B ={(x 1, x 2 ) | x 2 = 5 ou x 2 = 6} Eventos Independentes Ocorreu o evento B P(A/B)=? Ocorreu o evento B P(A|B)=6/12=1/2 P(A)=18/36=1/2 P(B)=12/36=1/3 P(A B)=6/36=1/6

23 No exemplo : Eventos Independentes P(A)=18/36=1/2 P(B)=12/36=1/3 P(A B)=6/36=1/6 Define-se : A, B são eventos independentes

24 Num lote de 100 peças, temos : 20 Defeituosas 80 Não defeituosas Escolhemos 2 peças, ao acaso: – com reposição – sem reposição Consideremos os eventos : A={primeira peça é defeituosa} B={segunda peça é defeituosa} Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada COM REPOSIÇÃO: Espaço amostral Probabilidade DD1/5*1/5=1/25 DN1/5*4/5=4/25 ND4/5*1/5=4/25 NN4/5*4/5=16/25 Espaço amostral ProbabilidadeEvento DD1/5*1/5=1/25 DN1/5*4/5=4/25 ND4/5*1/5=4/25 NN4/5*4/5=16/25

25 Num lote de 100 peças, temos : 20 Defeituosas 80 Não defeituosas Consideremos os eventos : A={primeira peça é defeituosa} B={segunda peça é defeituosa} Pede-se : P(A) e P(B) COM REPOSIÇÃO: Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada

26 CASO SEM REPOSIÇÃO Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada Espaço amostral ProbabilidadeEvento DD20/100*19/99= =19/495 DN20/100*80/99= =80/495 ND80/100*20/99= =80/495 NN80/100*79/99= =316/495 A B

27 CASO SEM REPOSIÇÃO Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada Espaço amostral ProbabilidadeEvento DD20/100*19/99= =19/495 DN20/100*80/99= =80/495 ND80/100*20/99= =80/495 NN80/100*79/99= =316/495 Eventos A e B não são independentes

28 Eventos: A, B são EXCLUDENTES ? NÃO: SIM: Eventos: A, B são INDEPENDENTES ? NÃO: SIM: Probabilidades


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