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Estatística 3 - Probabilidades
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Exemplo 1 – Espaço Amostral
ESPAÇO AMOSTRAL: S Conjunto de todos os resultados possíveis de uma variável do fenômeno em observação EVENTO : A Sub-conjunto de resultados possíveis Experimento: Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior. Seja: x1 = número da face superior do 1º dado x2 = número da face superior do 2º dado. (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Espaço Amostral “S”:
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Exemplo 1 – Operações B A S A B a) Intersecção de eventos:
Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A S A B
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Exemplo 1 – Operações B A S A B a) União de eventos:
Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A S A B
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Exemplo 1 – Operações B B S B a) Evento complementar:
Consideremos o evento: B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B B S B
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Exemplo 1 – Operações E F S E F a) Eventos excludentes:
Consideremos os eventos: E= x1=x2 = 1 = {(1,1)} F = x1+x2 = 5 = {(1,4) , (2,3), (3,2), (4,1)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) E F S E F
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Probabilidades ESPAÇO AMOSTRAL: S Conjunto de todos os resultados possíveis de uma variável do fenômeno em observação EVENTO : A Sub-conjunto de resultados possíveis FUNÇÃO PROBABILIDADE: P P : S [ 0, 1 ] PROBABILIDADE: onde m = número de resultados favoráveis ao evento A n = número de resultados possíveis
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Exemplo 1 – Propriedades
a) Intersecção de eventos: Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A
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Exemplo 1 – Propriedades
a) União de eventos: Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A Propriedades:
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Exemplo 1 – Propriedades
a) União de eventos: Consideremos os eventos: A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)} B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B A
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Exemplo 1 – Propriedades
a) Evento complementar: Consideremos o evento: B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) B Propriedade:
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Exemplo 1 – Operações E F Propriedades: a) Eventos excludentes:
Consideremos os eventos: E= x1=x2 = 1 = {(1,1)} F = x1+x2 = 5 = {(1,4) , (2,3), (3,2)} ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) E F Propriedades:
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Exercício A B B A C 9 14 16 21 8
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Um escritório tem 70 projetos, dos quais 35 utilizam o software A
15 6 C 10 A 4 5 10 12 B Um escritório tem 70 projetos, dos quais 35 utilizam o software A 31 utilizam o software B 25 utilizam o software C
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Exemplo 1 – Probabilidade Condicionada
Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior: Seja:: x1 = número 1º dado e x2 = número 2º dado. ESPAÇO AMOSTRAL S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Consideremos os eventos: A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10}={(4,6),(5,5),(6,4)} B = {(x1, x2) | x1 > x2} = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)} B A P(A) = 3/ P(B) = 15/ P(A B) = 1/36
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Probabilidade Condicionada
Experimento: Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior: Seja:: x1 = número 1º dado e x2 = número 2º dado. A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10} P(A)=3/36 B = {(x1, x2) | x1 > x2} ESPAÇO AMOSTRAL S A Ocorreu o evento B P(A/B)=? ESPAÇO AMOSTRAL S A Ocorreu o evento B P(A|B)=1/15
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Probabilidade Condicionada
A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10} P(A)=3/36 B = {(x1, x2) | x1 > x2} P(B)=15/36 B A P(A B) = 1/36 Propriedade
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Probabilidade Condicionada
A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10} B = {(x1, x2) | x1 > x2} P(B)=15/36 ESPAÇO AMOSTRAL S B Ocorreu o evento A P(B/A)=? B Ocorreu o evento A P(B|A)=1/3
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Probabilidade Condicionada
A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10} P(A)=3/36 B = {(x1, x2) | x1 > x2} P(B)=15/36 B A P(A B) = 1/36 Propriedade
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Eventos Independentes
Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados Consideremos os eventos : A ={(x1 , x2) | x1 é par} B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6} B A P(A)=18/36=1/2 P(B)=12/36=1/3 P(A B)=6/36=1/6 Observação : A , B são eventos independentes, não relacionados “Saber que A ocorreu não fornece qualquer informação sobre a ocorrência de B ”
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Eventos Independentes
Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados Consideremos os eventos : A ={(x1 , x2) | x1 é par} B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6} Ocorreu o evento A P(B/A)=? Ocorreu o evento A P(B|A)=6/18=1/3 P(A)=18/36=1/ P(B)=12/36=1/ P(A B)=6/36=1/6
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Eventos Independentes
Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados Consideremos os eventos : A ={(x1 , x2) | x1 é par} B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6} Ocorreu o evento B P(A/B)=? Ocorreu o evento B P(A|B)=6/12=1/2 P(A)=18/36=1/ P(B)=12/36=1/ P(A B)=6/36=1/6
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Eventos Independentes
No exemplo : P(A)=18/36=1/ P(B)=12/36=1/ P(A B)=6/36=1/6 Define-se : A , B são eventos independentes
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Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada
Num lote de 100 peças , temos : 20 Defeituosas 80 Não defeituosas Escolhemos 2 peças , ao acaso: com reposição sem reposição Consideremos os eventos : A={primeira peça é defeituosa} B={segunda peça é defeituosa} COM REPOSIÇÃO: Espaço amostral Probabilidade Evento DD 1/5*1/5=1/25 DN 1/5*4/5=4/25 ND 4/5*1/5=4/25 NN 4/5*4/5=16/25 Espaço amostral Probabilidade DD 1/5*1/5=1/25 DN 1/5*4/5=4/25 ND 4/5*1/5=4/25 NN 4/5*4/5=16/25
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Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada
Num lote de 100 peças , temos : 20 Defeituosas 80 Não defeituosas Consideremos os eventos : A={primeira peça é defeituosa} B={segunda peça é defeituosa} Pede-se : P(A) e P(B) COM REPOSIÇÃO:
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Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada
CASO SEM REPOSIÇÃO Espaço amostral Probabilidade Evento DD 20/100*19/99= =19/495 DN 20/100*80/99= =80/495 ND 80/100*20/99= NN 80/100*79/99= =316/495 A B
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Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada
CASO SEM REPOSIÇÃO Espaço amostral Probabilidade Evento DD 20/100*19/99= =19/495 DN 20/100*80/99= =80/495 ND 80/100*20/99= NN 80/100*79/99= =316/495 Eventos A e B não são independentes
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Probabilidades Eventos: A, B são EXCLUDENTES ? NÃO: SIM:
Eventos: A, B são INDEPENDENTES ?
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