Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional

Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional
Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional Capítulo 3 - Teoria dos Grafos Fernando Marins – Departamento de Produção

Sumário Introdução Histórico Aplicações de grafos Conceitos e Notação
Representações de um grafo Tipos de grafos Problemas típicos e Algoritmos Caminho Ótimo - Algoritmo de Djisktra Árvore Ótima - Algoritmo de Kruskal Fluxo Máximo - Algoritmo de Ford - Fulkerson

Introdução Histórico Euler resolveu o problema das pontes de Königsberg do rio Pregel, em 1736, utilizando um modelo de grafos: partir de uma das 4 regiões, atravessar cada ponte uma única vez e retornar à região de partida. Figura 1. Rio Pregel e suas sete pontes. Figura 2. Leonhard Euler.

Introdução Figura 3. Königsberg -Kalinigrado nos tempos atuais.

Introdução Figura 4. Modelo de Grafo para o Rio Pregel e suas sete pontes. Modelo de grafos utilizado por Euler para demonstrar que o problema não tem solução. Para haver solução é necessário que cada região tenha um número par de pontes associadas.

Aplicações de modelos em grafos
Introdução Aplicações de modelos em grafos 1. Grafos planares: problemas de montagens/ trevos A, B, C : linhas de montagens/ rodovias principais D1, D2, D3: departamentos/ rodovias secundárias Ligações: esteiras/ viadutos ou túneis Figura 3. Um problema de montagem.

Introdução 2. Problemas de Localização
Existindo n cidades consumidoras do produto fabricado por uma determinada empresa, deseja-se saber onde seria o melhor local para a instalação de uma filial desta empresa que atendesse as n cidades com menor custos de distribuição do produto. Existem algoritmos próprios para este problema, além de várias heurísticas que possuem bom desempenho.

Notação Representações de um grafo G 1. G(V, A) onde:
1. G(V, A) onde: V = Conjunto de vértices ou nós do grafo A = Conjunto de arcos ou arestas do grafo 2. Diagramas e tipos de grafos 3 a b c d e f 1 4 2 1 2 3 a b c Grafo Não- orientado Grafo Orientado

Notação 3. Matriz de adjacência (grafo não-orientado) A = (aij) = A =
A = (aij) = 1 2 3 a b c A =

Notação 4. Matriz de incidência (grafos orientados) A = [aij] é a matriz (não necessariamente quadrada) de incidência de G se 3 a b c d e f 1 4 2

Grafo Valorado Grafo com as distâncias de São Paulo a 3 capitais: 400
Rio de Janeiro São Paulo Belo Horizonte 700 1500 Brasília

Grafos Especiais Para o grafo G abaixo: árvore, cadeia, caminho, ciclo e circuito d a b c e f g h j l i

Árvore 1. Árvore (arborescência): grafo conexo sem ciclos a b d h j g

Cadeia 2. Cadeia: seqüência de arcos com extremidade em comum d l a j
h j l

Caminho 3. Caminho: seqüência de arcos com mesma orientação a c f j

Ciclo e Circuito 4. Ciclo: cadeia fechada 5. Circuito: caminho fechado
b g 5. Circuito: caminho fechado a b c

Problemas e Algoritmos
Otimização em grafos Determinação de Árvores ótimas: Algoritmo de Kruskal Determinação de Caminhos Ótimos: Algoritmo de Djisktra Determinação de Fluxo Máximo: Algoritmo de Ford & Fulkerson

Algoritmo de Kruskal Histórico
Em 1956 o matemático americano Joseph Kruskal (29/01/ /09/2010) propôs um algoritmo para resolução do Problema da Árvore Mínima. Ele completou seu Ph.D. na Universidade de Princeton em 1954. Figura 5. Joseph Kruskal.

Algoritmo de Kruskal Determinação de uma árvore mínima num grafo G (V, A) Para cada aresta (i, j) existe um custo associado Cij. |V| = cardinalidade do conjunto de nós V = número de nós. Passo 1. Considerar o grafo trivial formado apenas pelos nós de G Passo 2. Construção da Árvore Acrescentar ao grafo trivial a aresta (i, j) associada ao menor valor de custo Cij. Repetir o procedimento respeitando a ordem crescente de valores de Cij, desde que a aresta analisada não forme ciclo com as arestas já incorporadas à árvore. Após incorporar |V| - 1 arestas  Parar! A árvore mínima foi obtida. 19

Exemplo para o Algoritmo de Kruskal
Determinar uma árvore mínima 8 4 11 2 1 6 5 9 3 10 A B C D F E G H I J 20

Passo 1: Grafo trivial 21

Passo 2: A primeira aresta a ser incorporada será a aresta associada ao valor de custo = 1. Observe-se que há duas arestas nestas condições: aresta (a, b) e aresta (c, d). Pode-se escolher arbitrariamente qual delas será incorporada primeiro ao grafo trivial. A seguir incorpore a outra (observe que elas não formam ciclo). 22

Árvore parcial: colocar as arestas com custo 1 1 A B C D E 23

A seguir tem-se as arestas (b, e) e (b, f) correspondentes aos custo com valor 2. Analogamente ao caso anterior pode-se optar por qualquer uma elas para ser analisada primeiro. Ambas serão incorporadas ao grafo resultante da operação anterior, pois também não formam ciclo.

Árvore parcial: colocar as arestas com custo 2. 1 2 A B C D E 25

Árvore parcial: colocar a aresta com custo 3. 1 2 A B C D E 3 26

Árvore parcial: colocar as arestas com custo 4. 1 2 A B C D E 4 3 4 27

Árvore parcial: colocar uma das duas arestas com custo 5, a outra será descartada. 5 1 2 A B C D E 4 3 4 28

Como o número de nós é 10 prossegue-se neste processo até que sejam incorporadas = 9 arestas, sendo obtida uma árvore mínima: 4 2 1 5 8 3 Observe que esta é uma solução ótima do problema. Custo ótimo: = 30. 29

Algoritmo de Dijsktra Histórico
Em 1956 o cientista da computação holandês Edsger Wybe Dijkstra concluiu o desenvolvimento do algoritmo para o problema do caminho mínimo mas somente em 1959 foi publicado seu trabalho. Este algoritmo foi o seu primeiro trabalho e o mais conhecido. Edsger Wybe Dijkstra nasceu em 11 de maio de 1930 e morreu em 6 de agosto de 2002. “ Ciência não estuda ferramentas, mas o que fazemos e o que descobrimos com elas.” Edsger Dijkstra Figura 6. Edsger Wybe Dijkstra .

Problema do Caminho Ótimo
Algoritmo de Dijsktra Problema do Caminho Ótimo Determinação de caminhos mínimos em grafos valorados. Princípio de Otimalidade de Bellman: “Um caminho mínimo é constituído de sub-caminhos mínimos” Aplica-se a grafos valorados onde não há laços, arcos paralelos e todos valores associados aos arcos são não-negativos. Achar caminho ótimo entre dois nós (origem = S e destino = T) de um grafo.

Algoritmo de Dijsktra Aspectos Gerais
Adota a técnica de rotulação dos nós, havendo dois tipos de rótulos: rótulos temporários e rótulos definitivos. A cada iteração, alguns nós são rotulados temporariamente e apenas um nó é rotulado definitivamente. O valor do rótulo definitivo associado a um nó j corresponde ao valor da distância mínima entre o nó origem S e o nó j. A execução do algoritmo termina quando se consegue rotular definitivamente o nó destino T.

Algoritmo de Djisktra 1. Inicialização
2. Atualização dos rótulos temporários 3. Rotulação Definitiva de um nó 4. Passo geral Inicialização Rotular definitivamente o nó origem S com valor 0. Rotular temporariamente os demais nós com valor .

Min {rótulo atual do nó j, rótulo do nó i + cij},
Algoritmo de Djisktra 2. Atualização dos rótulos temporários Todo nó j ainda não rotulado definitivamente deve receber novo valor de rótulo dado por Min {rótulo atual do nó j, rótulo do nó i + cij}, onde, i = último nó rotulado definitivamente cij = valor associado ao arco que liga os nós i e j.

Algoritmo de Djisktra 3. Rotulação definitiva
Comparar os rótulos temporários e escolher para ser rotulado definitivamente o nó j associado ao menor valor. 4. Passo geral Repetir sucessivamente os passos 2 e 3 até rotular definitivamente o nó destino T. O valor da distância mínima entre os nós S e T é o valor do rótulo definitivo do nó destino T.

Obtenção dos nós do caminho mínimo
A partir do nó t achar qual foi o nó i do passo 2 responsável pelo valor de seu rótulo definitivo. Suponha que tenha sido o nó k. A partir do nó k achar qual foi o nó i do passo 2 responsável pelo valor de seu rótulo definitivo. Suponha que tenha sido o nó h. Repetir este processo até que o nó i seja o nó origem s Os nós i encontrados em cada etapa deste processo de busca serão os nós intermediários do caminho mínimo entre s e t.

Exemplo para Caminho Ótimo
Achar a distância mínima entre os nós S e T: S A C D T 7 1 3 2 4 10 8 B 6 E

Algoritmo de Djisktra Resolução completa do exemplo de caminho mínimo
Aplicação do Algoritmo de Djisktra - Tabela completa Rótulos Explicação S A B C E D T Vetor com nós do grafo 0*  Passo 1 - Inicialização 0* 7 1  Passo 2 com i = S 0* 7 1*  Passo 3 - Rot. Def. Nó B 0* 4 1*  5 Passo 2 com i = B 0* 4 1*  5 4* Passo 3 - Rot. Def. Nó D 0* 4 1* 14 5 4* 11 Passo 2 com i = D 0* 4* 1* 14 5 11 Passo 3 - Rot. Def. Nó A 0* 4* 1* 12 5 11 Passo 2 com i = A 0* 4* 1* 12 5* 11 Passo 3 - Rot. Def. Nó E 0* 4* 1* 12 5* 7 Passo 2 com i = E 0* 4* 1* 12 5* 7* Passo 3 - Rot. Def. Nó T (parar!)

Distância mínima entre os nós S e T = 7 = Rótulo definitivo do nó T.
Algoritmo de Djisktra Distância mínima entre os nós S e T = 7 = Rótulo definitivo do nó T. Recuperação do caminho mínimo (ótimo): Valor do rótulo definitivo do nó T = 7 sendo o nó i responsável = E Valor do rótulo definitivo do nó E = 5 sendo o nó i responsável = B Valor do rótulo definitivo do nó B = 1 sendo o nó i responsável = S T E B S 2 4 1

Exercício Achar a distância mínima entre os nós S e T: A B C D E F S T
1 3 4 2 6 5 10

Análise de Redes: Problema do Fluxo Máximo
Histórico Em 1956 os matemáticos americanos Lester Randolph Ford (nascido em 23/09/1927) e Delbert Ray Fulkerson (14/08/ /01/1976) propuseram em um trabalho conjunto o algoritmo para resolução do Problema de Fluxo Máximo. Figura 7. Lester Randolph Ford, Jr. . Figura 8. Delbert Ray Fulkerson. .

Análise de Redes: Problema do Fluxo Máximo
Rede: Formada por duas entidades - Nós, Arcos Interesse: Comportamento da Variável Fluxo Exemplos: Aplicação Nós Arcos Fluxo Sistemas de comunicação Satélites, computadores Micro ondas, fibra ótica Mensagens, dados Sistemas hidráulicos Estação de bombeamento, reservatório Tubos Água, gás, petróleo Sistemas de transportes Interseções, aeroportos Estradas, rotas aéreas Veículos, passageiros

Problema de Fluxo Máximo
Notação: Nó fonte: S Nó destino: T Fluxo no arco (i,j): Fij = quantidade de produto no arco (i,j) Kij = capacidade do arco (i,j) = maior fluxo possível no arco (i,j) Restrições envolvidas: Há conservação de fluxo nos nós. Há limitação do valor de fluxo nos arcos. Observações: O método simplex resolve este problema. Método mais eficiente: Ford &Fulkerson.

Seja a rede abaixo. Deseja-se achar o valor do fluxo máximo que pode ser enviado do nó S ao nó T, respeitando as restrições de capacidade nos arcos e a conservação de fluxo nos nós. Sejam Kij (ou Cij) as restrições de fluxo (capacidade) no arco (i, j) S T 1 2 F

Modelo de Programação Linear
Max Z = F F S1 + FS2 = F (1) F12 + F 1T = FS1 + F (2) s. a: F21 + F2T = FS2 + F12 (3) F1T + F2T = F (4) 0 ≤ Fij ≤ Kij (5) Restrição (1) representa a conservação de fluxo no nó fonte S. Restrições (2) e (3) representam a conservação de fluxo nos nós intermediários 1 e 2. Restrição (4) representa a conservação de fluxo no nó destino T. Restrição (5) restringe os fluxos a serem não-negativos e respeitarem os limites de capacidade nos arcos.

Dada uma rede orientada formada por arcos onde há restrições de capacidade, deseja-se enviar a maior quantidade (fluxo) possível de um produto a partir de um nó fonte (S) para um nó destino (T). Fluxo de produto pode ser fluxo de eletricidade, de água, de informação, ou de veículos, entre outros. Extensões: Rede não-orientada Múltiplas fontes e múltiplos destinos

Conceitos Básicos Arcos Forward para o nó i: todo arco que sai do nó i. Arcos Backward para o nó i: todo arco que entra no nó i. Caminho entre o nó fonte e o nó destino: sequência de arcos que se inicia no nó fonte S e termina no nó destino T. Ciclo é um caminho cujos nós inicial e final são os mesmos. Seja N = conjunto de todos os nós da rede. Um Corte separando a fonte S do destino T é uma partição dos nós da rede em dois subconjuntos denotando por S aquele que contém o nó S e por S aquele que contém o nó T.

Exemplos: Seja a rede anteriormente considerada: Nó 1: arcos Forward = {(1,2),(1,T)}, arcos Backward = {(S,1),(2,1)} Caminho: (S,1),(1,2),(2,T) Corte: S = {S,1,2}, S = {T} capacidade = K1T + K2T S = {S,2}, S = {1,T} capacidade = KS1 + K21 + K2T S T 1 2 F

Resultados Importantes: O corte mínimo é aquele corte com o menor valor de capacidade associado. Excluindo os arcos de um corte da rede  não há caminho entre os nós S e T  nenhum fluxo ocorrerá entre S e T. Todo fluxo entre S e T deve se dar pelos arcos de um corte o valor do fluxo é limitado pela capacidade do corte. Lema 1: Se F é o fluxo da fonte ao destino e (S,S) é um corte  o valor de F é menor ou igual a capacidade daquele corte (S,S).

Consequências: Todo fluxo viável da fonte ao destino não pode exceder a capacidade de um corte qualquer. O fluxo máximo na rede é limitado pela capacidade do corte mínimo. Teorema do Fluxo Máximo e do Corte Mínimo O valor do fluxo máximo numa rede é igual a capacidade do corte mínimo. Usando o teorema do fluxo máximo e corte mínimo pode-se obter o valor do fluxo máximo. Basta encontrar as capacidades de todos os cortes existentes na rede e escolher o menor valor de capacidade.

Princípios Básicos do Algoritmo do Fluxo Máximo: Encontrar um caminho pelo qual um fluxo positivo possa ser enviado da fonte S ao destino T. Este caminho é denominado Flow Augmenting Path = caminho com fluxo crescente – CFC. O CFC é usado para enviar a maior quantidade de fluxo possível de S para T. Repete-se o processo até que nenhum CFC possa ser obtido.

Rotina de rotulação adotada pelo algoritmo: Usada para achar CFC de S para T. Iniciar com o nó fonte S. Dizemos que o nó j pode ser rotulado se um fluxo positivo pode ser enviado a partir de S para j. Em geral a partir de qualquer nó i pode-se rotular um nó j se uma das condições abaixo se verifica: O arco que conecta os nós i e j é do tipo Forward e o fluxo Fij neste arco (i,j) é menor que o valor da sua capacidade Kij. O arco que conecta os nós i e j é do tipo Backward e o fluxo Fij neste arco (j,i) é maior que zero. 3. O processo continua até que o nó destino T é rotulado. Tem-se então um CFC.

Algoritmo do fluxo máximo
1. Inicialização Obter um fluxo viável em todos os arcos da rede. Este fluxo deve satisfazer as restrições de conservação de fluxo nos nós e as restrições de capacidade nos arcos. Inicialmente adotar fluxo nulo em todos os arcos. 2. Procura de um caminho de fluxo crescente – CFC de S para T Usar o procedimento de rotulação de nós, iniciando com o nó origem e terminando com o nó destino T. Se não for possível obter um CFC Parar! Uma solução ótima foi obtida o fluxo atual é máximo. Caso contrário ir a etapa 3. 3. Aumento no valor do fluxo entre S e T Calcular o valor máximo δ de fluxo que pode ser enviado pela CFC obtida na etapa anterior. Nos arcos Forward do CFC aumentar o fluxo de δ. Nos arcos Backward do CFC diminuir o fluxo de δ. Voltar à etapa 2.

Exemplo Completo Determinar o fluxo máximo F da fonte S ao destino T, na rede a seguir. Os números ao lado dos arcos representam suas capacidades Cij. Notação: Nas próximas figuras os números ao lado dos arcos representam (Fij, Cij), onde Fij é o fluxo no arco (i, j). Nós rotulados serão marcados por asteriscos. Etapa 1 – Inicialização: Fazer Fij = 0 em todos as arcos. 1 7 9 S 3 T F F 9 8 2

Exemplo Completo Etapa 2 – (Figura 1) Para achar um CFC de S para T: Rotular inicialmente S. Deste nó S pode-se rotular o nó 1 pois o arco (S,1) é do tipo Forward e 0 = FS1 ≤ CS1 = 7 a seguir, do nó 1 pode-se rotular o nó 2 pois o arco (1,2) é do tipo Forward e 0 = F12 ≤ C12 = 3. Finalmente rotula-se o nó destino T pois o arco (2,T) é do tipo Forward e 0 = F2T ≤ C2T = 8. Isto resulta num valor de fluxo F = 0. Figura 1 S* T* 1* 2* F = 0 (0,7) (0,9) (0,8) (0,3)

Exemplo Completo Desta forma foi obtida uma CFA formada por arcos do tipo Forward, (S,1), (1,2), (2,T). Etapa 3 O fluxo máximo neste CFC é dado por min {(7 - 0), (3 - 0), (8 - 0)} = 3. Assim pode-se aumentar o fluxo entre S e T de δ = 3. Os novos fluxos estão na Figura 2. Figura 2 S T 1 2 F = 3 (3,7) (0,9) (3,3) (3,8)

Exemplo Completo Etapa 2 – Repetindo o processo de rotulação de nós para a configuração da Figura 2 obtém-se um novo CFC dado por: Etapa 3 – O fluxo máximo permitido neste CFC = min {(7 -3), (9 -0)}= 4. Isto aumenta o fluxo pela rede para F = = 7. A nova configuração de fluxos fica sendo a da Figura 3. Figura 3 v S* 1* T* S T 1 2 F = 7 (7,7) (4,9) (0,9) (3,3) (3,8)

Exemplo Completo Etapa 2 – Na busca de um novo CFC, o nó 1 não pode ser rotulado a partir do nó S pois o arco (S,1) é Forward e agora FS1 = CS1 = 7. Mas um novo CFC pode ser obtido rotulando-se o nó 2 e depois o nó T: Etapa 3 – Neste CFC o fluxo pode ser aumentado de min {(9 -0), (8 -3)} = 5, o que resulta na configuração dada pela Figura 4: Figura 4 v S* 2* T* S T 1 2 F = 12 (7,7) (4,9) (5,9) (3,3) (8,8)

Exemplo Completo Etapa 2: Partindo-se do nó S pode-se rotular o nó 2, a seguir rotula-se o nó 1, pois o arco (1,2) contém um fluxo positivo de 3 unidades e fica sendo Backward neste novo CFC, finalmente a partir do nó 1, pelo arco (1,T) rotula-se o nó destino T: Etapa 3 – Neste CFC pode-se aumentar o fluxo na rede de min{(9 -5),3,(9 -4)} = 3, pois o arco (1,2) é Backward e pode ter o fluxo de 3 diminuído até zero. A nova configuração de fluxos está na Figura 5: Figura 5 v S* 2* T* 1* S T 1 2 F = 15 (7,7) (7,9) (8,9) (0,3) (8,8)

Exemplo Completo Etapa 2: O nó 2 pode ser rotulado a partir do nó S, mas nenhum outro nó pode ser rotulado a partir do nó 2, ou seja, não há nenhum CFC adicional. Logo obteve-se o fluxo máximo de S para T dado por 15 unidades de fluxo. Observação: Pode-se usar o teorema de Ford & Fulkerson para provar que o fluxo máximo é de fato 15. Veja a Figura 6.

Exemplo Completo S* T 1 2* F = 15 (7,7) (0,3) (8,8) Figura 6 Considere o corte que separa os nós rotulados dos não rotulados na última etapa 2, ele é formado pelos arcos (S,1),(1,2) e (2,T), tendo capacidade = 15 e separa o nó S do nó T. Pelo Teorema de F & F o fluxo não pode exceder a capacidade de nenhum corte que separe o nó S do nó T, logo o corte em questão é o corte mínimo e o fluxo máximo = 15 é igual a capacidade deste corte mínimo.

Extensões para o problema de Fluxo Máximo
Rede não-orientada: considere a rede urbana abaixo: Maximizar o fluxo de tráfego de S até T. S T 1 3 2 4 40 30 15 20 50 25

Trabalhar com modelo equivalente de redes: S T 1 3 2 4 40 30 15 20 50 25 Aplicar o algoritmo apresentado e achar Fluxo Máximo. Se arco (i,j) não é direcionado e fij > fji  fluxo = (fij – fji) será enviado de i para j. (Adequar mão de trânsito no arco i  j)

Múltiplas fontes e múltiplos destinos: C 10 5 15 20 A B D E F G H Capacidade do arco Nó A = Fonte com oferta produto = (Oferta Total = 40) Nó D = Fonte com oferta produto = 20 Nó E = Destino com demanda produto = (Demanda Total = 35) Nó H = Destino com demanda produto =20

O problema é viável ? C 20 10 5 15 f fictícia A B T H G F E D s MAXIMIZAR f  fMAX = 30 < 35 = Demanda Total Problema Inviável

Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback

Login

Autorizar-se através da rede social:

Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional

Apresentações semelhantes

Apresentação em tema: "Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional"— Transcrição da apresentação:

Apresentações semelhantes

Sobre projeto

Feedback