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02-1UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Estatística 2 - Estatística Descritiva.

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1 02-1UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Estatística 2 - Estatística Descritiva

2 02-2UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Possibilita descrever as Variáveis: DESCRIÇÃO GRÁFICA MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO MEDIDAS DE ASSIMETRIA MEDIDAS DE ACHATAMENTO MEDIDAS DE CORRELAÇÃO ESTATÍSTICA DESCRITIVA

3 02-3UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Uma peça após fundida sob pressão a alta temperatura recebe um furo com diâmetro especificado em 12,00 mm e tolerância de 0,25 mm: (11,75 – 12,25) Deseja-se DESCREVER as seguintes Variáveis de Resposta: X: número de defeitos por peça fundida Y: diâmetro do furo Para tanto, coletou-se dados de uma Amostra de 25 peças PROBLEMA:

4 02-4UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 COLETA DE DADOS: Peça iX i : número de defeitosY i : diâmetro do Furo (mm) 1212,21 2011,73 3111,94 4211,86 5112,31 6012,10 7112,19 8011,78 9212,20 10112,05 11111,81 12312,00 13112,34 14011,99 15212,27 16112,11 17611,80 18312,02 19012,23 20112,08 21011,88 22111,76 23212,05 24012,07 25012,20

5 02-5UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 VARIÁVEL X : Número de Defeitos por Peça Tabela de Distribuição de frequências: frequência total 25 100% DIAGRAMA DE BARRAS (Variável Discreta) 10832% 21936% 32520% 4328% 5400% 650 7614% Ordem XiXi (absoluta) (relativa)

6 02-6UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 frequência total 25 100% classeDiâmetro do Furo Valor médio Y i 111,705 até 11,83511,77520% 211,835 até 11,96511,90312% 311,965 até 12,09512,03728% 412,095 até 12,22512,16624% 512,225 até 12,35512,29416% HISTOGRAMA (Variável Contínua) VARIÁVEL Y : Diâmetro de Furo (mm) Tabela de Distribuição de frequências:

7 02-7UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Amplitude da amostra: Número de classes: Amplitude das classes: Número de classes: Amplitude da Amostra: Amplitude das classes: Exemplo da Fundição : População: Total de peças produzidas Tamanho da Amostra: n = 25 peças Variável Y: diâmetro do furo (mm) HISTOGRAMA: dicas para construção (inteiro) h = 0,13

8 02-8UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 HISTOGRAMA: dicas usando Excel: 1. Selecionar: Ferramentas >> Análise de Dados >> Histograma >> OK 2. Selecionar células com os dados da Amostra 3. Selecionar células com os limites inferiores das classes 4. Escolher opção de saída 5. Selecionar Porcentagem Cumulativa 6. Selecionar Resultado do Gráfico 7. Clicar OK 8. Clicar em qualquer barra do Histograma gerado 9. Selecionar no painel superior: Formatar >> Seqüência de dados selecionada >> Opções >> Espaçamento >> DIMINUIR PARA ZERO! 10. Clicar OK

9 02-9UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 frequência total 25 100% DIAGRAMA CIRCULAR (PIZZA) classeDiâmetro do FuroCategoriaabsolutarelativa 1< 11,75 abaixo da especificação14% 211,75 até 12,25 dentro da especificação2184% 3> 12,25 Acima da especificação312% VARIÁVEL: Categoria do Diâmetro de Furo Distribuição de frequência:

10 02-10UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Peça iDiâmetro Y i 112,21 211,73 311,94 411,86 512,31 612,10 712,19 811,78 912,20 1012,05 1111,81 1212,00 1312,34 1411,99 1512,27 1612,11 1711,80 1812,02 1912,23 2012,08 2111,88 2211,76 2312,05 2412,07 2512,20 VARIÁVEL: Diâmetro de Furo (mm) 11,7368 11,80168 11,949 12.0025578 12,1019 12,200137 12,314 DIAGRAMA DE CAULE E FOLHAS (Steam and Leaf Diagram)

11 02-11UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 MEDIDAS DE POSIÇÃO Média Mediana Quartil Decil Percentil Moda

12 02-12UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 X i : i-ésimo valor da Variável X N : tamanho da População Média da População (Variável X): E(X) é um PARÂMETRO, isto é, um DETERMINADO NÚMERO, pois considera TODOS os possíveis valores da População

13 02-13UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 X i : i-ésimo valor de uma Amostra da Variável X n : tamanho da Amostra é uma VARIÁVEL, pois depende dos valores de cada Amostra Média da Amostra ou Média Amostral : Dica Excell para a Média: Selecionar: fx >> Estatística >> Média Selecionar: células com a tabela de dados Clicar: OK

14 02-14UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Média da Amostra ou Média Amostral: Dados em Tabela de frequência dos valores de uma dada Amostra da Variável X Dados em Tabela de frequência das classes de uma dada Amostra da Variável X f i : frequência do valor X i k : número de diferentes valores da Amostra x i : valor médio da classe i f i : freqüência da classe i k : número de classes

15 02-15UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 MÉDIA AMOSTRAL: Exemplo da Fundição Variável X: número de defeitos por peça Número de Defeitos X i frequência f i total2531 Tabela de Distribuição de frequência dos Valores Ordem i 1080 2199 32510 4326 5400 6500 7616

16 02-16UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 MÉDIA AMOSTRAL: Exemplo da Fundição Variável Y: diâmetro do furo (mm) frequência Diâmetro do Furo 111,705 até 11,83511,77558,85 211,835 até 11,96511,90335,7 311,965 até 12,09512,03784,21 412,095 até 12,22512,16672,96 512,225 até 12,35512,29449,16 total25300,88 Classe i Tabela de Distribuição de frequência das Classes Dica Excell para Média em tabela de frequência das classes: Selecionar: fx >> Matemática >> SOMARPRODUTOS Selecionar: células com os valores de X i Selecionar: células com os valores de f i >> Clicar: OK >> Dividir por n

17 02-17UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Idéia: dividir em 2 partes um conjunto ordenado de valores MEDIANA : md 1 - Tabela com n valores ordenados: n: ímpar md = valor de ordem (n + 1)/2 n = 9 (n+1)/2 = 5 valor de ordem 5 = 40 Exemplo: n = 8 valor de ordem n/2 = 15 valor de ordem(n/2) + 1 = 16 n: par md = valor médio entre o de ordem n/2 e o de ordem n/2+1 Exemplo: Dica Excell: Selecionar: fx >> Estatística >> Med Selecionar: células com a tabela de dados >> Clicar: OK md = 40 ordem 123456789 valor 3536373840 414346 ordem 12345678 valor 1214 1516 1720

18 02-18UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 2 – Tabela de Distribuição em classes de freqüências : MEDIANA : md onde: L md : limite inferior da classe que contém a mediana n : tamanho da Amostra F { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.com.br/354540/2/slides/slide_17.jpg", "name": "02-18UNESP – FEG – DPD – Prof.", "description": "Edgard - 2011 2 – Tabela de Distribuição em classes de freqüências : MEDIANA : md onde: L md : limite inferior da classe que contém a mediana n : tamanho da Amostra F

19 02-19UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 MEDIANA : md Exemplo da Fundição: 111,70511,83555 2 11,96538 3 12,095715 412,09512,225621 512,22512,355425 classe Lim. inf.Lim. sup. Variável Y: diâmetro do furo (mm) absolutaAcumulada frequência Limites Reais

20 02-20UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Idéia: dividir em 4 partes um conjunto ordenado de valores numéricos QUARTIL : Q i Q1Q1 Q 2 =mdQ3Q3 0%75%100%50%25% Dica Excell (os dados não precisam estar ordenados): Selecionar:Inserir>>função fx >> Estatística >>Quartil >> OK Selecionar: células com a tabela de dados >> OK Seguir instruções da janela Q 1 : Primeiro Quartil Q 3 : Terceiro Quartil Q 2 : Segundo Quartil = Mediana

21 02-21UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 QUARTIL : Q i ordem i X i Q 1 = 0 (primeiro quartil) Q 2 = 1 (segundo quartil) Q 3 = 2 (terceiro quartil) Exemplo da Fundição: 10 20 30 40 50 60 70 80 91 101 111 121 131 141 151 161 171 182 192 202 212 222 233 243 256 Variável X: número de defeitos por peça

22 02-22UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 QUARTIL : Q i peça i Y i Q 1 = 11,88 (primeiro quartil) Q 2 = 12,05 (segundo quartil) Q 3 = 12,20 (terceiro quartil) Exemplo da Fundição: Variável Y: diâmetro do furo (mm) 111,73 211,76 311,78 411,80 511,81 611,86 711,88 811,94 911,99 1012,00 1112,02 1212,05 1312,05 1412,07 1512,08 1612,10 1712,11 1812,19 1912,20 2012,20 2112,21 2212,23 2312,27 2412,31 2512,34

23 02-23UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Distribuição em classes de freqüências: QUARTIL : Q i onde: L Qi : limite inferior da classe que contém o i-ésimo Quartil n: tamanho da Amostra F { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.com.br/354540/2/slides/slide_22.jpg", "name": "02-23UNESP – FEG – DPD – Prof.", "description": "Edgard - 2011 Distribuição em classes de freqüências: QUARTIL : Q i onde: L Qi : limite inferior da classe que contém o i-ésimo Quartil n: tamanho da Amostra F

24 02-24UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Exemplo da Fundição: 111,70511,83555 2 11,96538 3 12,095715 412,09512,225621 512,22512,355425 classe Lim. inf.Lim. sup. Variável Y: diâmetro do furo (mm) absolutaAcumulada frequência Limites Reais QUARTIL : Q i Q 1 = valor de ordem 7 (25/4) classe 2 Q 2 = valor de ordem 13 (50/4) classe 3 Q 3 = valor de ordem 19 (75/4) classe 4 Analogamente: Q 2 =12,05 Q 3 =12,18

25 02-25UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 DIAGRAMA DE CAIXA E BIGODE (Box-plot) PE: Pontos Extremos (outliers) PE: Ponto Extremo (outlier) BS: Barreira Superior = BI: Barreira Inferior = PS: Ponto Adjacente Superior Q 3 : Terceiro Quartil Q 2 : Segundo Quartil = Mediana Q 1 : Primeiro Quartil PS: Ponto Adjacente Inferior Usualmente: apresentar os Pontos Extremos não apresentar as Barreiras ( (BI e BS)

26 02-26UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 DIAGRAMA DE CAIXA E BIGODE (Box-plot) BS = 5 BI = -3 PS = 3 Q 3 = 2 Q 2 = 1 Q 1 = 0 PS = 0 (sem bigode inferior) Exemplo da Fundição: Variável X: número de defeitos por peça X 17 = 6 Ponto Extremo (outlier)

27 02-27UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 DIAGRAMA DE CAIXA E BIGODE (Box-plot) BS = 12,68 BI = 11,40 PS = 12,34 Q 3 = 12,20 Q 2 = 12,05 Q 1 = 11,88 PS = 11,73 Observação: no exemplo não ocorreram Pontos Extremos Exemplo da Fundição:Variável Y: diâmetro do furo (mm)

28 02-28UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Decil (D i ) Idéia: Dividir o conjunto de dados em 10 partes iguais onde: L Di : limite inferior da classe que contém o i-ésimo Decil n: número de elementos do conjunto de dados; F Di : frequência acumulada das classes anteriores à classe que contém o i-ésimo Decil; f Di : freqüência da classe que contém o i-ésimo Decil; h Di : amplitude da classe que contém o i-ésimo Decil. D1D1 D5D5 0%10% 20% 40% 30%60%50%80%70%90%100% D4D4 D2D2 D6D6 D7D7 D8D8 D9D9 D3D3 Dica Excell: Como D i = P 10.i então pode-se usar a função Percentil D 5 = mediana

29 02-29UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Percentil (P i ) Idéia: Dividir o conjunto de dados em 100 partes iguais onde: L Pi : limite inferior da classe que contém o i-ésimo Percentil n: número de elementos do conjunto de dados; F Pi : frequência acumulada das classes anteriores à classe que contém o i-ésimo Percentil f Pi : freqüência da classe que contém o i-ésimo Percentil h Pi : amplitude da classe que contém o i-ésimo Percentil P1P1 P 50 =md 0%1% 2%3%50%98%97%99%100% P2P2 P 97 P 98 P 99 P3P3 Dica Excell: Selecionar: fx >> Estatística >> Percentil Selecionar: células com a tabela de dados Clicar: OK >> seguir instruções da janela

30 02-30UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Valor de máxima freqüência dentro de um conjunto de dados Moda: mo Dados em Tabela de frequência dos valores Exemplo da Fundição Variável X: número de defeitos por peça mo = 1 moda é apresentar 1 defeito por peça frequência total 25 100% 10832% 21936% 32520% 4328% 5400% 650 7614% Ordem XiXi (absoluta) (relativa)

31 02-31UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Moda: mo Dados em Tabelas de frequência das classes Li : limite inferior da classe modal d 1 : diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior d 2 : diferença entre a freqüência da classe modal e a da imediatamente seguinte h : amplitude das classes Classe Modal: aquela(s) de maior frequência Dica Excell (os dados não precisam estar ordenados): Selecionar:Inserir>>função fx >> Estatística >>Modo >> OK Selecionar: células com a tabela de dados >> OK Seguir instruções da janela

32 02-32UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 111,70511,83555 2 11,96538 3 12,095715 412,09512,225621 512,22512,355425 classe Lim. inf.Lim. sup. absolutaAcumulada frequência Limites Reais Moda: mo Dados em Tabelas de frequência das classes Exemplo da Fundição Variável Y: diâmetro do furo (mm)

33 02-33UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 MEDIDAS DE DISPERSÃO Variância Desvio padrão Coeficiente de Variação Amplitude

34 02-34UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 X i : i-ésimo valor da Variável X x : Média da População N : tamanho da População Variância da População (Variável X): Var(X) é um PARÂMETRO, isto é, um DETERMINADO NÚMERO, pois considera TODOS os possíveis valores da População

35 02-35UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 X i : i-ésimo valor de uma Amostra da Variável X n : tamanho da Amostra é uma VARIÁVEL, pois depende dos valores de cada Amostra Variância da Amostra ou Variância Amostral : Dica Excell: Selecionar: fx >> Estatística >> VAR Selecionar: células com a tabela de dados Clicar: OK Obs.: No caso de População usar VARP No Cap. 9 – Estimação de Parâmetros por Ponto será apresentada a justificativa da divisão por n-1

36 02-36UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Exemplo: valores da amostra: Variância Amostral

37 02-37UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Considerando distribuição de freqüências de valores Variância Amostral equivalente Exemplo da Fundição X: número de defeitos por peça total 25 31 83 10800 21999 3251020 432618 54000 65000 761636

38 02-38UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Considerando distribuição de freqüências de classes Variância Amostral equivalente Exemplo da Fundição Y: diâmetro do furo (mm) total 25 300,88 3621,91 111,77558,85692,66 211,90335,7424,83 312,03784,211013,05 412,16672,96887,19 512,29449,16604,18

39 02-39UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Dica Excell: Selecionar: fx >> Estatística >> DESVPAD Selecionar: células com a tabela de dados Clicar: OK Obs.: Para População usar DESVPADP Desvio Padrão DP(X) População: Amostra: Empiricamente: onde c: Exemplo da Fundição n = 25 c = 0,9896 X: número de defeitos por peça Y: diâmetro do furo (mm) No Cap. 9 – Estimação de Parâmetros por Ponto será apresentada a justificativa da divisão por c

40 02-40UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Exemplo da Fundição: Regra empírica: CV < 5% dispersão baixa 5% < CV < 15% dispersão moderada 15% < CV < 30% dispersão moderada 30% < CV < 50% dispersão alta CV > 50% dispersão muito alta Coeficiente de Variação CV(X) dispersão muito alta População:Amostra: Idéia: relação entre Desvio padrão e Média (%) X: número de defeitos por peça dispersão muito baixa Y: diâmetro do furo

41 02-41UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Amplitude: R(X) Exemplo da Fundição: Relação Empírica (útil para verificação de erros grosseiros): OK! Y mín = 11,73 Y máx = 12,34 R(Y) = 12,34 - 11,73 = 0,61 R(Y) = 0,61 S Y = 0,181 Y: diâmetro do furo (mm) X máx = 6 R(X) = 6 – 0 = 6 X: número de defeitos por peça X mín = 0 Exemplo da Fundição: X: número de defeitos por peçaR(X) = 6S X = 1,38 OK! Y: diâmetro do furo (mm)

42 02-42UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Momentos de Ordem t Centrado Logo:

43 02-43UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Idéia: representa o grau de afastamento da condição de simetria MEDIDAS DE ASSIMETRIA Coeficiente de Assimetria de Fisher (g 1 ): g 1 < 0 : Assimetria Negativa g 1 = 0 : Simetria g 1 > 0 : Assimetria Positiva

44 02-44UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 MEDIDAS DE ASSIMETRIA Coeficiente de Assimetria de Fisher (g 1 ): Exemplo da Fundição: X: número de defeitos por peça Y: diâmetro do furo (mm)

45 02-45UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Idéia: representa o grau de achatamento comparado com a Gaussiana (distribuição Normal) Medidas de Achatamento ou Curtose Coeficiente de Achatamento de Fisher (g 2 ): Curva Platicúrtica Curva Mesocúrtica (Normal) Curva Leptocúrtica g 2 < 0 Curva Platicúrtica g 2 = 0 Curva Mesocúrtica ( Normal) g 2 > 0 Curva Leptocúrtica

46 02-46UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Coeficiente de Achatamento de Fisher (g 2 ): Exemplo da Fundição: X: número de defeitos por peça Y: diâmetro do furo (mm) Medidas de Achatamento ou Curtose Curva Platicúrtica Curva Leptocúrtica

47 02-47UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 CORRELAÇÂO LINEAR & RETA DE REGRESSÃO Exemplo: amostra de 8 países X : Renda Per Capita (U$ 1000) Y : Taxa de Analfabetismo ( % ) Verificação Visual: Existe tendência dos maiores valores de X corresponderem aos menores valores de Y, ou seja: Existe Correlação Linear Negativa entre as variáveis Uma Correlação Linear Positiva ocorre quando se verifica uma reta ascendente. reta de regressão

48 02-48UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 CORRELAÇÂO LINEAR 1) Grau Acentuado (Correlação Positiva): 2) Grau Moderado (Correlação Positiva): 3) Grau Nulo

49 02-49UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 MEDIDA DE CORRELAÇÂO LINEAR Covariância: Mede a variabilidade considerando duas variáveis Caso particular: População: Amostra: Dica Excell: Selecionar: fx >> Estatística >> Pearson Selecionar: células com os dados da variável X Selecionar: células com os dados da variável Y Clicar: OK Coeficiente de Correlação Linear de Pearson

50 02-50UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 EXISTE CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS ? Variáveis: D: Número de Defeitos por Peça F: Diâmetro do Furo NÃO EXISTE EVIDÊNCIA DE CORRELAÇÃO ENTRE O DIÂMETRO DO FURO E O NÚMERO DE DEFEITOS POR PEÇA DIAGRAMA DE DISPERSÃO E RETA DE REGRESSÃO

51 02-51UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 CORRELAÇÃO: dicas usando Excell Reta de Regressão: >> Selecionar os pontos do gráfico gerado >> Clicar aba Gráfico (painel superior) >> Adicionar linha de tendência: >> Tipo: linear >> Clicar opções: exibir equação e exibir R-quadrado; >> clicar OK Diagrama de Dispersão: >> Selecionar: Assistente de gráfico >> Tipo: Dispersão (XY) >> Sub-tipo: só pontos; >> Avançar; >> Intervalo de dados: selecionar células com os dados da variável Y >> Clicar na aba Sequência >> Valores de x: selecionar células com os dados da variável X >> Avançar >> Concluir

52 02-52UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Exercício 2.1

53 02-53UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Exercício 2.2


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